Matemaattisesti yksinkertaisin poikittaisaalto on tasainen lineaarisesti polarisoitu sinimuotoinen aalto. ”Tasomainen” tarkoittaa tässä sitä, että etenemissuunta on muuttumaton ja sama koko väliaineessa; ”lineaarisesti polarisoitu” tarkoittaa sitä, että myös siirtymän suunta on muuttumaton ja sama koko väliaineessa; ja siirtymän suuruus on sinimuotoinen funktio vain ajasta ja sijainnista etenemissuunnan suuntaisesti.
Tällaisen aallon liike voidaan ilmaista matemaattisesti seuraavasti. Olkoon d etenemissuunta (vektori, jonka pituus on yksikköpituus) ja o mikä tahansa vertailupiste väliaineessa. Olkoon u värähtelyjen suunta (toinen yksikköpituinen vektori, joka on kohtisuorassa d:hen nähden). Hiukkasen siirtymä missä tahansa väliaineen pisteessä p ja missä tahansa ajassa t (sekuntia) on
S ( p , t ) = A u sin ( t – ( p – o ) ⋅ d v T + ϕ ) {\displaystyle S(p,t)=Au\sin {\left({\frac {t-(p-o)\cdot {\frac {d}{v}}}{T}}+\phi \right)}}
missä A on aallon amplitudi tai voimakkuus, T on sen jakso, v on etenemisnopeus ja φ on sen vaihe kohdassa o. Kaikki nämä parametrit ovat reaalilukuja. Symboli ”-” tarkoittaa kahden vektorin sisäistä tuotetta.
Tämän yhtälön mukaan aalto etenee suunnassa d ja värähtelyt tapahtuvat edestakaisin suunnassa u. Aallon sanotaan olevan lineaarisesti polarisoitunut suuntaan u.
Kiinteään pisteeseen p katsova havaitsija näkee siellä olevan hiukkasen liikkuvan yksinkertaista harmonista (sinimuotoista) liikettä, jonka jakso on T sekuntia ja jossa hiukkasen maksimisiirtymä A on kussakin suunnassa; eli taajuudella f = 1/T täydet värähtelyjaksot sekunnissa. Tilannekuva kaikista hiukkasista tiettynä ajankohtana t osoittaa, että kaikilla hiukkasilla on sama siirtymä kullakin tasolla kohtisuorassa d:hen nähden, ja siirtymät peräkkäisissä tasoissa muodostavat sinimuotoisen kuvion, jossa jokainen täysi sykli ulottuu pitkin d:tä aallonpituuden λ = v T = v/f verran. Koko kuvio liikkuu suuntaan d nopeudella V.
Sama yhtälö kuvaa tasossa olevaa lineaarisesti polarisoitunutta sinimuotoista valoaaltoa, paitsi että ”siirtymä” S(p, t) on sähkökenttä pisteessä p ja ajanhetkellä t. (Magneettikenttää kuvataan samalla yhtälöllä, mutta ”siirtymän” suunta on kohtisuorassa sekä d:hen että u:hun nähden ja amplitudi on eri.)
SuperpositioperiaateEdit
Homogeenisessa elastisessa väliaineessa monimutkaiset värähtelyt (värähtelyt aineessa tai valovirrat) voidaan kuvata monien yksinkertaisten siniaaltojen superpositioksi, joko poikittaisten (lineaarisesti polarisoitujen) tai pitkittäisten aaltojen superpositioksi.
Esimerkiksi viulujousen värähtelyt voidaan analysoida monien eri taajuuksisten poikittaisten aaltojen summana, jotka siirtävät jousijonoa jompaakumpaa suuntaan, joko ylös- tai alaspäin tai vasemmalta oikealle.
Yhdistämällä kaksi aaltoa, joilla on sama taajuus, nopeus ja kulkusuunta, mutta eri vaiheet ja itsenäiset siirtymäsuunnat, saadaan ympyrä- tai elliptisesti polarisoitunut aalto. Tällaisessa aallossa hiukkaset kuvaavat ympyrä- tai elliptisiä ratoja sen sijaan, että ne liikkuisivat edestakaisin.
Ymmärrystä voi auttaa, jos palataan vielä kerran edellä mainittuun ajatuskokeeseen kireällä jousella. Huomaa, että voit myös käynnistää aaltoja jousessa liikuttamalla kättäsi oikealle ja vasemmalle ylös- ja alaspäin liikuttamisen sijaan. Tämä on tärkeä seikka. On kaksi toisistaan riippumatonta (ortogonaalista) suuntaa, joihin aallot voivat liikkua (tämä pätee mihin tahansa kahteen suorassa kulmassa olevaan suuntaan, ylös ja alas sekä oikealle ja vasemmalle on valittu selkeyden vuoksi). Kaikki aallot, jotka lähtevät liikuttamalla kättäsi suorassa linjassa, ovat lineaarisesti polarisoituneita aaltoja.
Mutta kuvittele nyt, että liikutat kättäsi ympyrässä. Liikkeesi käynnistää spiraaliaallon jousessa. Liikutat kättäsi samanaikaisesti sekä ylös ja alas että sivulta toiselle. Sivuttaisliikkeen maksimit esiintyvät neljänneksen aallonpituuden (tai neljänneksen matkan ympyrän ympäri, eli 90 astetta tai π/2 radiaania) päässä ylös- ja alasliikkeen maksimista. Missä tahansa pisteessä jousen varrella jousen siirtymä kuvaa samaa ympyrää kuin kätesi, mutta aallon etenemisnopeudella viivästyneenä. Huomaa myös, että voit valita, liikutko kättäsi myötä- vai vastapäivään. Nämä vuorottelevat ympyräliikkeet tuottavat oikealle ja vasemmalle ympyräpolarisoituneita aaltoja.
Siltä osin kuin ympyränne on epätäydellinen, säännöllinen liike kuvaa ellipsin ja tuottaa elliptisesti polarisoituneita aaltoja. Eksentrisyyden ääripäässä ellipsistäsi tulee suora, mikä tuottaa lineaarista polarisaatiota ellipsin pääakselin suuntaisesti. Elliptinen liike voidaan aina hajottaa kahdeksi ortogonaaliseksi lineaariseksi liikkeeksi, joiden amplitudi on eri suuruinen ja jotka ovat 90 astetta erivaiheisia, ja ympyräpolarisaatio on erikoistapaus, jossa kahdella lineaarisella liikkeellä on sama amplitudi.
