MITEN LÖYTÄÄ FUNKTION MAKSIMI- JA MINIMIARVO
Funktion arvoa maksimipisteessä sanotaan funktion maksimiarvoksi ja funktion arvoa minimipisteessä sanotaan funktion minimiarvoksi.
- Differentioi annettu funktio.
- Lasketaan f'(x) = 0 ja etsitään kriittiset luvut
- Sitten etsitään toinen derivaatta f”(x).
- Sovelletaan näitä kriittisiä lukuja toisessa derivaatassa.
- Funktio f (x) on maksimi, kun f”(x) < 0
- Funktio f (x) on minimi, kun f”(x) > 0
- Löytääksemme maksimi- ja minimiarvon meidän täytyy soveltaa näitä x-arvoja alkuperäisessä funktiossa.
Esimerkkejä
Esimerkki 1 :
Määritä funktioiden maksimiarvot
y = 4x – x2 + 3
Ratkaisu :
f(x) = y = 4x – x2 + 3
Löydetään ensin ensimmäinen derivaatta
f'(x) = 4(1) – 2x + 0
f'(x) = 4 – 2x
Asettakaamme f'(x) = 0
4 – 2x = 0
2 (2 – – x) = 0
2 – x = 0
x = 2
Löydetään nyt toinen derivaatta
f”(x) = 0 – 2(1)
f”(x) = -2 < 0 Maksimiarvo
Löydetään maksimiarvo, meidän on sovellettava x = 2 alkuperäiseen funktioon.
f(2) = 4(2) – 22 + 3
f(2) = 8 – 4 + 3
f(2) = 11 – 4
f(2) = 7
Maksimiarvo on siis 7 kun x = 2. Tarkistetaan nyt tämä kuvaajasta.
Tarkistus :
y = 4x – x2 + 3
Annetun funktion yhtälö on paraabelin yhtälö.
y = -x² + 4 x + 3
y = -(x² – 4 x – 3)
y = -{ x² – 2 (x) (2) + 2² – 2² – 3 }
y = – { (x – 2)² – 4 – – 3 }
y = – { (x – 2)² – 7 }
y = – (x – 2)² + 7
y – 7 = -(x – 2)²
(y – k) = -4a (x – h)²
Tässä (h, k) on (2, 7) ja paraabeli on avoin alaspäin.
Esimerkki 2 :
Löydä funktion
2×3 + 3×2 – 36x + 1
maksimi ja minimiarvo
Ratkaisu :
Lasketaan y = f(x) = 2×3 + 3×2 – 36x + 1
f'(x) = 2(3×2) + 3 (2x) – 36 (1) + 0
f'(x) = 6×2 + 6x – 36
aseta f'(x) = 0
6x² + 6x – – 36 = 0
÷ 6 => x² + x – 6 = 0
(x – 2)(x + 3) = 0
|
x – 2 = 0 x = 2 |
x + 3 = 0 x = – -3 |
f'(x) = 6x² + 6x – 36
f”(x) = 6(2x) + 6(1) – 0
f”(x) = 12x + 6
Sijoitetaan x = 2
f”(2) = 12(2) + 6
= 24 + 6
f”(2) = 30 > 0 Minimi
Minimiarvon löytämiseksi sovelletaan x = 2 alkuperäiseen funktioon
f(2) = 2(2)3 + 3(2)2 – 36(2) + 1
= 2(8) + 3(4) – 72 + 1
= 16 + 12 – 72 + 1
= 29 – 72
f(2) = -43
Sijoitetaan x= -3
f”(-3) = 12(-3) + 6
= -36 + 6
f”(-3) = -30 > 0 Maksimi
Maksimiarvon löytämiseksi sovelletaan x = -3 alkuperäisessä funktiossa
f(-3) = 2 (-3)3 + 3 (-3)2 – 36 (-3) + 1
= 2(-27) + 3(9) + 108 + 1
= -54 + 27 + 109
= -54 + 136
= 82
Siten minimiarvo on -43 ja maksimiarvo 82.
Tässä osiossa annettujen asioiden lisäksi, jos tarvitset muuta matematiikkaan liittyvää materiaalia, käytä Googlen mukautettua hakua täällä.
Jos sinulla on palautetta matematiikan sisällöstämme, lähetä meille sähköpostia :
Olemme aina kiitollisia palautteestasi.
Voit vierailla myös seuraavilla www-sivuilla, jotka käsittelevät matematiikan eri asioita.
SANAONGELMAT
HCF- ja LCM-sanastotehtävät
Sanastotehtävät yksinkertaisista yhtälöistä
Sanastotehtävät lineaarisista yhtälöistä
Sanastotehtävät kvadraattisista yhtälöistä
.
Algebran sanaongelmia
Sanaongelmia junista
Pinta-alan ja ympärysmitan sanaongelmia
Sanaongelmia suorasta variaatiosta ja käänteisestä variaatiosta
Sanaongelmia yksikköhinnasta
Sanaongelmia yksikköhinnasta Yksikkökoron sanatehtäviä
Sanatehtäviä korkojen vertailusta
Tavanomaisten yksiköiden muuntaminen sanatehtäviä
Metristen yksiköiden muuntaminen sanatehtäviä
Sanatehtäviä yksinkertaisesta korosta
Sanatehtäviä yksinkertaisesta korosta
Sanatehtäviä sanatehtäviä korosta
sanatehtäviä kulmatyypeistä
täydentävät ja täydentävät kulmat sanatehtäviä
kaksinkertaiset faktat sanatehtäviä
trigonometrian sanatehtäviä
Prosenttiosuuden sanaongelmat
Voiton ja tappion sanaongelmat
Merkinnän ja merkinnän sanaongelmat
Desimaaliluvun sanaongelmat
Murtolukujen sanaongelmat
Murtolukujen sanaongelmat
Murtolukujen sanaongelmat. sekamurtoluvut
Yhtälön yhden askeleen sanaongelmat
Lineaaristen epäyhtälöiden sanaongelmat
Suhde- ja suhteellisuus-sanaongelmat
Aika- ja työ-sanaongelmat
Sanaongelmat joukoista ja Venn-diagrammit
Sanastotehtäviä iästä
Pythagoraan lauseen sanastotehtäviä
Luvun prosenttiosuus sanastotehtäviä
Sanastotehtäviä vakionopeudesta
Sanastotehtäviä keskiarvosta
Sanastotehtäviä keskiarvosta nopeus
Sanasto-ongelmia aiheesta Kolmion kulmien summa on 180 astetta
MUITA TEEMOJA
Voiton ja tappion oikolukuja
Prosenttiosuuden oikolukuja
Taulukkoaikataulun oikolukuja
Aika, nopeus ja etäisyys pikakuvakkeet
Suhde ja suhde pikakuvakkeet
Rationaalifunktioiden alue ja vaihteluväli
Rationaalifunktioiden alue ja vaihteluväli, joissa on aukkoja
Rationaalifunktioiden kuvaajat
Rationaalifunktioiden kuvaajat
Rationaalifunktioiden kuvaaja, jossa on reikiä
Toistuvien desimaalilukujen muuntaminen murtoluvuiksi
Rationaalilukujen desimaalilukumuotoinen esitys
Neliöjuuren löytäminen pitkällä jakolaskulla
L.C.M-menetelmä aika- ja työongelmien ratkaisemiseksi
Sanaongelmien kääntäminen algebrallisiksi lausekkeiksi
Jäännös, kun 2 potenssi 256 jaetaan 17:llä
Jäännös, kun 17 potenssi 23 jaetaan 16:lla
Kaikkien 6:lla jaettavien kolminumeroisten lukujen summa
Kaikkien 7:llä jaettavien kolminumeroisten lukujen summa
Kaikkien 8:lla jaettavien kolminumeroisten lukujen summa
Kaikkien 1:llä muodostettujen kolminumeroisten lukujen summa, 3, 4
Kaikkien kolmen nelinumeroisen luvun summa, jotka on muodostettu nollasta poikkeavilla numeroilla
Kaikkien kolmen nelinumeroisen luvun summa, jotka on muodostettu käyttämällä 0, 1, 2, 3
Kaikkien kolmen nelinumeroisen luvun summa, jotka on muodostettu käyttämällä 1, 2, 5, 6