Kompleksiluvut ovat lukuja, jotka koostuvat kahdesta osasta – reaaliluvusta ja imaginaariluvusta. Kompleksiluvut ovat monimutkaisemman matematiikan, kuten algebran, rakennuspalikoita. Niitä voidaan soveltaa monilla tosielämän osa-alueilla, erityisesti elektroniikassa ja sähkömagnetismissa.
Kompleksilukujen vakiomuoto on a + bi, jossa reaaliluku on ensimmäisenä ja imaginääriluku viimeisenä. Koska kumpikin osa voi olla 0, teknisesti mitä tahansa reaalilukua tai imaginäärilukua voidaan pitää kompleksilukuna. Kompleksi ei tarkoita monimutkaista; se tarkoittaa, että kahdenlaiset luvut yhdistyvät muodostaen kompleksin, kuten asuinkompleksi – ryhmä yhteen liitettyjä rakennuksia.
Reaaliluvut ovat konkreettisia arvoja, jotka voidaan piirtää vaakasuoralle lukujonolle, kuten murtolukuja, kokonaislukuja tai mitä tahansa laskettavaa lukua, jonka voit ajatella. Kuvitteelliset luvut ovat abstrakteja käsitteitä, joita käytetään, kun tarvitaan negatiivisen luvun neliöjuurta.
Yhteenlasku & kompleksilukujen kertominen
Koska kompleksiluku on binomi – numeerinen lauseke, jossa on kaksi termiä – aritmeettinen laskutoimitus tehdään yleensä samalla tavalla kuin minkä tahansa binomin laskutoimitus, yhdistämällä samankaltaisia termejä ja yksinkertaistamalla. Esimerkiksi:
(3 + 2i) + (4 – 4i)
(3 + 4) = 7
(2i – 4i) = -2i
Tulos on 7-2i.
Kertolaskuihin käytetään polynomien kertolaskujen FOIL-menetelmää: Kerro Ensimmäinen, kerro Ulompi, kerro Sisempi, kerro Viimeinen ja laske sitten yhteen. Esim:
(3 – 2i)(5 + 3i) =
(3)(5) + (3)(3i) + (-2i)(5) + (-2i)(3i) =
15 + 9i + -10i + -6i2 =
15 – – i – 6(-1) =
21 – i
Syy siihen, että i2 yksinkertaistuu (-1:ksi) on se, että i on -1:n neliöjuuri.
Kompleksilukujen jakaminen
Jako muuttuu kuitenkin monimutkaisemmaksi ja vaatii konjugaattien käyttöä. Kompleksikonjugaatit ovat kompleksilukupareja, joilla on eri merkit, kuten (a + bi) ja (a – bi). Kompleksikonjugaattien kertominen keskenään saa aikaan sen, että keskimmäinen termi kumoutuu. Esimerkiksi:
(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – (bi)2
Tämä yksinkertaistuu muotoon a2 – b2(i2) = a2 – b2(-1)
Lopputulos on a2 + b2
Kompleksilukuja jakaessasi määrittele nimittäjän konjugaatti ja kerro osoittaja ja nimittäjä konjugaatilla. Esimerkiksi,
(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)
(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)
Luvun 7 + 4i konjugaatti on 7 – 4i. Kerro siis osoittaja ja nimittäjä konjugaatilla:
(5 + 2i)(7 – 4i) ÷ (7 + 4i)(7 – 4i) =
(35 + 14i – 20i – 8i2) ÷ (49 – 28i + 28i – 16i2 ) =
(35 – 6i + 8) ÷ (49 + 16) =
(43 – – 6i) ÷ 65
Kompleksilukujen absoluuttinen arvo
Luvun absoluuttisena arvona pidetään sen etäisyyttä nollasta lukujonolla. Koska kompleksiluvut sisältävät imaginaarilukuja, niitä ei voi piirtää reaalilukulinjalle. Ne voidaan kuitenkin mitata nollasta kompleksilukutasolla, joka sisältää x-akselin (reaaliluvulle) ja y-akselin (imaginääriluvulle).
Kompleksilukujen käyttökohteet
Kompleksilukuja voidaan käyttää nollakohtien ratkaisemiseen kvadraateissa. Kvadraattikaava ratkaisee ax2 + bx + c = 0 x:n arvoille. Jos kaava antaa neliöjuurelle negatiivin, kompleksilukuja voidaan käyttää nollan yksinkertaistamiseen.
Kompleksilukuja käytetään elektroniikassa ja sähkömagnetismissa. Yksi kompleksiluku kokoaa yhteen kaksi reaalista suuretta, mikä helpottaa lukujen käsittelyä. Esimerkiksi elektroniikassa piirielementin tila määritellään jännitteen (V) ja virran (I) avulla. Piirielementeillä voi olla myös kapasitanssi (c) ja induktanssi (L), jotka kuvaavat piirin taipumusta vastustaa muutoksia V:ssä ja I:ssä. Sen sijaan, että piirielementin tila kuvattaisiin V:llä ja I:llä, se voidaan kuvata muodossa z = V + Ii. Tällöin sähkön lait voidaan ilmaista kompleksilukujen yhteenlaskun ja kertolaskun avulla.
Kuten edellä mainittiin, tätä voidaan soveltaa myös sähkömagnetismiin. Sen sijaan, että sähkökentän voimakkuus ja magneettikentän voimakkuus kuvattaisiin sähkökentän voimakkuutena ja magneettikentän voimakkuutena, voidaan luoda kompleksiluku, jossa sähkö- ja magneettikomponentit ovat reaalilukuja ja imaginäärilukuja.
Lisälukemista:
Kompleksilukulaskin
Math is Fun: Complex Numbers
Math Warehouse: Complex Numbers
Recent news