1500-luvun Venetsiassa yhtälöiden ratkaisukaavat olivat tarkoin varjeltua henkistä omaisuutta. Erityisen kiinnostavia ballistiikan ja linnoitustekniikan asiantuntija Niccolo Tartaglialle olivat kvadraattiset ja kuutiolliset yhtälöt, joilla mallinnettiin muun muassa ammusten käyttäytymistä lennossa. Nämä saattavat hyvinkin kuulostaa tutuilta koulumatematiikasta – kvadraattisissa yhtälöissä on x2-termi ja kuutioyhtälöissä x3-termi. Tartaglia ja muut matemaatikot huomasivat, että jotkut ratkaisut vaativat negatiivisten lukujen neliöjuuria, ja tässä piilee ongelma. Negatiivisilla luvuilla ei ole neliöjuuria – ei ole olemassa mitään lukua, joka kerrottuna itsellään antaisi negatiivisen luvun. Tämä johtuu siitä, että kun negatiiviset luvut kerrotaan keskenään, saadaan positiivinen tulos: -2 × -2 = 4 (ei -4).
Tartaglia ja hänen kilpailijansa Gerolamo Cardano huomasivat, että jos he sallivat negatiiviset neliöjuuret laskuissaan, he pystyivät silti antamaan päteviä numeerisia vastauksia (reaalilukuja, kuten matemaatikot niitä kutsuvat). Tartaglia oppi tämän kantapään kautta, kun yksi Cardanon oppilaista päihitti hänet kuukauden kestäneessä yhtälönratkaisukamppailussa vuonna 1530.
- Viisi outoa faktaa matematiikasta
- Voiko matematiikka voittaa terrorismin?
Matemaatikot käyttävät i:tä kuvaamaan neliöjuurta miinus yksi. Tätä kutsutaan mielikuvitusyksiköksi – se ei ole reaaliluku, sitä ei ole olemassa ”oikeassa” elämässä. Voimme kuitenkin käyttää sitä negatiivisten lukujen neliöjuurien löytämiseen. Jos haluan laskea -4:n neliöjuuret, voin sanoa, että -4 = 4 × -1. Tämä tarkoittaa, että -4:n neliöjuuri on 4:n neliöjuuri kerrottuna -1:n neliöjuurella. Symboleina:
√-4= √4×√-1
4:n neliöjuuri on 2 ja -1:n neliöjuuri on i, jolloin saamme vastauksen, että -4:n neliöjuuri on 2i. On myös huomattava, että -2 on myös 4:n neliöjuuri edellä mainituista syistä. Tämä tarkoittaa, että -4:n neliöjuuret ovat 2i ja -2i.
I:n aritmetiikka itsessään muodosti aluksi esteen matemaatikoille. Totesin edellä, että negatiivinen kertaa negatiivinen antaa positiivisen, ja meille on luontaisesti tuttu ajatus, että positiivinen kertaa positiivinen antaa positiivisen. Imaginääriyksikön kanssa tämä näyttää hajoavan, jolloin kaksi positiivista kerrottuna antaa negatiivisen:
i × i = i2 = -1
Tässä kaksi negatiivista kerrottuna antaa negatiivisen:
-i × -i = i2 = -1
Tämä oli jonkin aikaa ongelma, ja se sai jotkut tuntemaan, että niiden käyttäminen muodollisessa matematiikassa ei ollut tiukkaa. Rafael Bombelli, toinen italialainen renessanssimies, kirjoitti vuonna 1572 kirjan nimeltä yksinkertaisesti Algebra, jossa hän yritti selittää matematiikkaa ihmisille, joilla ei ollut tutkintotason asiantuntemusta, mikä teki hänestä varhaisen opetuksen uranuurtajan. Algebrassa hän selittää, miten aritmetiikka suoritetaan positiivisilla, negatiivisilla ja imaginaariluvuilla, ja esittää, että imaginaarinen yksikkö (i:tä käytettiin symbolina vasta 1700-luvulla) ei ollut positiivinen eikä negatiivinen eikä siten noudattanut tavanomaisia aritmeettisia sääntöjä.
Näiden matemaatikkojen työ imaginaarilukujen parissa mahdollisti sen, mitä nykyään kutsutaan algebran perustavaksi teoreemaksi. Periaatteessa yhtälön ratkaisujen lukumäärä on aina yhtä suuri kuin yhtälön tuntemattoman suurin potenssi. Kun esimerkiksi edellä selvitin -4:n neliöjuuria, ratkaisin yhtälön x2= -4. Yhtälössä olevan tuntemattoman x:n suurin (ja ainoa) potenssi on kaksi, ja kas kummaa, löysimme kaksi vastausta, 2i ja -2i.
Kuutioyhtälössä, jossa suurin potenssi on kolme, minun pitäisi saada kolme ratkaisua. Katsotaanpa x3 + 4x = 0, joka on sama kuutioyhtälön muoto, jota Tartaglia käsitteli. x = 0 on ratkaisu, koska 03 – 4 × 0 = 0 – 0 = 0, joka täyttää yhtälön. Mutta entä ne kaksi muuta ratkaisua, joita odotamme kuutioyhtälöltä?
Noh, yhtälössä ei ole enää reaalisia ratkaisuja, mutta imaginaarisia on. Itse asiassa myös 2i ja -2i ovat tämän yhtälön ratkaisuja, joten saamme yhteensä kolme ratkaisua.
Kuuntele Science Focus Podcastin jaksoja matematiikasta:
- Mitä algoritmeista on kyse? – Hannah Fry
- Mitä tapahtuu, kun matematiikka menee kauhean, kauhean pieleen? – Matt Parker
Vasta muutama sata vuotta Bombellin jälkeen pariisilainen kirjakaupanpitäjä Jean-Robert Argand todisti algebran perusteorian tiukasti vuonna 1806. Argand oli myös edelläkävijä imaginäärilukujen liittämisessä geometriaan kompleksilukujen käsitteen kautta.
Kompleksiluvut ovat lukuja, joilla on reaaliosa ja imaginääriosa. Esimerkiksi 4 + 2i on kompleksiluku, jonka reaaliosa on 4 ja imaginääriosa 2i. Osoittautuu, että sekä reaaliluvut että imaginääriluvut ovat myös kompleksilukuja. Esimerkiksi 17 on kompleksiluku, jonka reaaliosa on 17 ja imaginääriosa nolla, ja i on kompleksiluku, jonka reaaliosa on nolla.
Toinen ranskalainen, Abraham de Moivre, oli ensimmäisten joukossa liittämässä kompleksilukuja geometriaan vuonna 1707 esittämässään teoreemassa, joka liittää kompleksiluvut ja trigonometrian yhteen. Argand kehitti sen jälkeen Argand-diagrammit, jotka ovat kuin tavallinen kuvaaja, jossa on x- ja y-akseli, paitsi että hänen akseleitaan ovat reaaliluvut ja imaginääriluvut. Näiden läpimurtojen ansiosta monimutkaisia algebrallisia ongelmia voitiin ratkaista geometrian avulla.
Kuten niin monet matematiikan kehitysaskeleet, kaikki tämäkin oli puhtaasti akateemista kiinnostavuutta aina moderniin elektroniseen aikakauteen asti. Kompleksiluvut osoittautuvat uskomattoman hyödyllisiksi analysoitaessa kaikkea, mikä tulee aaltoina, kuten sähkömagneettista säteilyä, jota käytämme radioissa ja wlanissa, äänisignaaleja musiikissa ja puheviestinnässä sekä vaihtovirtalähteitä. Vastaavasti kvanttifysiikka pelkistää kaikki hiukkaset aaltomuodoiksi, mikä tarkoittaa, että kompleksiluvut auttavat ymmärtämään tätä outoa maailmaa, jonka ansiosta voimme nauttia nykyaikaisista tietokoneista, kuituoptiikasta, GPS:stä ja magneettikuvauksesta, muutamia esimerkkejä mainitakseni. Luojan kiitos, että matemaatikot 500 vuotta sitten ja nykypäivänä päättivät, että mielikuvitusluvut ovat sittenkin tutkimisen arvoisia.
Seuraa Science Focus-lehden sivuja Twitterissä, Facebookissa, Instagramissa ja Flipboardissa
.