1 Johdanto
Matemaattisella mallintamisella tarkoitetaan matemaattisen kielen käyttöä ”reaalimaailman” (käytännön) järjestelmän käyttäytymisen simuloimiseksi. Sen tehtävänä on parantaa järjestelmän ymmärrystä ja luonnehdintaa. Teoria on hyödyllinen, kun yksinkertaisista malleista tehdään yleisiä päätelmiä, ja tietokoneet ovat hyödyllisiä, kun monimutkaisista malleista tehdään erityisiä päätelmiä (Bender, 2000 ). Mekaanisten värähtelyjen teoriassa matemaattiset mallit, joita kutsutaan rakennemalleiksi, ovat hyödyllisiä mallinnettavan rakenteen dynaamisen käyttäytymisen analysoinnissa.
Värähtelevien rakenteiden paremman ja luotettavamman suorituskyvyn kysyntä painon, mukavuuden, turvallisuuden, melun ja kestävyyden suhteen kasvaa jatkuvasti, kun samaan aikaan vaaditaan lyhyempiä suunnittelusyklejä, pidempää käyttöikää, tarkastus- ja korjaustarpeiden minimoimista ja pienempiä kustannuksia. Tehokkaiden tietokoneiden käyttöönoton myötä numeeristen simulaatioiden suorittaminen on tullut sekä kustannuksiltaan että ajallisesti edullisemmaksi kuin vaativien kokeiden suorittaminen. Tämä on johtanut huomattavaan siirtymiseen kohti tietokoneavusteista suunnittelua ja numeerisia kokeita, joissa rakennemalleja käytetään kokeiden simulointiin ja tarkkojen ja luotettavien ennusteiden tekemiseen rakenteen tulevasta käyttäytymisestä.
Vaikka olemme siirtymässä virtuaalisten prototyyppien aikakauteen (Van Der Auweraer, 2002 ), kokeellisella testaamisella ja systeemien identifioinnilla on edelleen keskeinen merkitys, koska ne auttavat rakennedynamiikan asiantuntijaa sovittamaan yhteen numeeriset ennusteet kokeellisten tutkimusten kanssa. Termiä ”järjestelmän tunnistaminen” käytetään joskus teknisessä kirjallisuudessa laajemmassa yhteydessä, ja sillä voidaan viitata myös tietojen saamiseen rakenteen käyttäytymisestä suoraan kokeellisista tiedoista, toisin sanoen ilman, että mallia välttämättä pyydetään (esim. aktiivisten moodien lukumäärän tunnistaminen tai ominaistaajuuksien esiintyminen tietyllä taajuusalueella). Tässä työssä systeemi-identifioinnilla tarkoitetaan rakennemallien kehittämistä (tai parantamista) todellisesta rakenteesta värähtelyanturilaitteilla suoritettujen tulo- ja lähtömittausten perusteella.
Lineaarinen systeemi-identifiointi on tieteenala, joka on kehittynyt huomattavasti viimeisten 30 vuoden aikana (Ljung, 1987 ; Soderstrom ja Stoica, 1989 ). Modaaliparametrien estimointi, jota kutsutaan modaalianalyysiksi, on epäilemättä suosituin lähestymistapa lineaarisen järjestelmän tunnistuksen suorittamiseen rakennedynamiikassa. Järjestelmän mallin tiedetään olevan modaaliparametrien eli ominaistaajuuksien, moodien muotojen ja vaimennussuhteiden muodossa. Modaalianalyysin suosio johtuu sen suuresta yleisyydestä; modaaliparametrit voivat kuvata järjestelmän käyttäytymistä millä tahansa syötetyypillä ja millä tahansa syötteen vaihteluvälillä. Tätä tarkoitusta varten on kehitetty lukuisia lähestymistapoja: Ibrahimin aika-aluemenetelmä (Ibrahim ja Mikulcik, 1973 ), eigensysteemin realisointialgoritmi (Juang ja Pappa, 1985 ), stokastinen aliavaruuden identifiointimenetelmä (Van Overschee ja De Moor, 1996 ), polyreferenssin pienimmän neliösumman kompleksinen taajuusaluemenetelmä (Peeters et al., 2004 ) muutamia niistä mainitakseni. Modaalianalyysin kuvaus ei kuulu tämän asiakirjan piiriin; kiinnostunut lukija voi tutustua tarkemmin (Heylen et al., 1997 ; Maia ja Silva, 1997 ; Ewins, 2000 ). On kuitenkin tärkeää huomata, että erittäin vaimennettujen rakenteiden tai monimutkaisten teollisten rakenteiden, joissa on suuri modaalitiheys ja suuri modaalinen päällekkäisyys, modaalinen tunnistaminen on nyt mahdollista. Modaalisten tunnistusalgoritmien teoreettisen kehityksen yhtenäistämistä on yritetty (Allemang ja Brown, 1998 ; Allemang ja Phillips, 2004 ), mikä on toinen merkki tämän tutkimusalan kypsyydestä.
Tässä yleiskatsauksessa keskitytään rakenteellisten järjestelmien tunnistamiseen epälineaarisuuden vallitessa. Epälineaarisuus on luonnossa yleistä, ja lineaarinen käyttäytyminen on poikkeus. Rakennedynamiikassa tyypillisiä epälineaarisuuden lähteitä ovat:
–
Geometrinen epälineaarisuus syntyy, kun rakenteeseen kohdistuu suuria siirtymiä, ja se syntyy potentiaalienergiasta. Esimerkkinä on yksinkertainen heiluri, jonka liikeyhtälö on θ¨+ω02sinθ=0; epälineaarinen termi ω02sinθ edustaa geometrista epälineaarisuutta, koska se mallintaa suuria kulmaliikkeitä. Joustavien kimmoisien kappaleiden, kuten palkkien, levyjen ja kuorien, suuret muodonmuutokset aiheuttavat myös geometrisia epälineaarisuuksia (ks. esim. (Amabili ja Paidoussis, 2003 ; Nayfeh ja Pai, 2004 )). Kuvassa 1 on esimerkki geometrisen epälineaarisuuden omaavasta koelaitteesta. Konsolipalkki on liitetty oikeasta päästä ohueen, lyhyeen palkkiin, joka osoittaa geometrista epälineaarisuutta suurten taipumien esiintyessä.
Kuva 1. Kuvio 1. Konsolipalkki. Ohueen, lyhyeen palkkiin liitetty konsolipalkki (ECL-vertailuarvo; COST-toimi F3): (a) kokeellinen kiinnitys; (b) lähikuva liitoksesta.
–
Inertian epälineaarisuus johtuu liikeyhtälöiden nopeuksia ja/tai kiihtyvyyksiä sisältävistä epälineaarisista termeistä, ja se saa alkunsa systeemin kineettisestä energiasta (esim, konvektiiviset kiihtyvyystermit jatkumossa ja Coriolis-kiihtyvyydet pyörivien kehysten suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeissä).
–
Materiaalin epälineaarista käyttäytymistä voidaan havaita, kun jännityksiä ja venymiä yhdistävä konstitutiivinen laki on epälineaarinen. Näin on usein vaahdoissa (White et al., 2000 ; Schultze et al., 2001 ; Singh et al., 2003 ) ja kimmoisissa kiinnitysjärjestelmissä, kuten kumi-isolaattoreissa (Richards ja Singh, 2001 ).
–
Vaimennushäviö on pohjimmiltaan epälineaarinen ilmiö, jota ei ole vieläkään täysin mallinnettu ja ymmärretty. Modaalisen vaimennuksen oletus ei välttämättä ole fysikaalisen todellisuuden tarkoituksenmukaisin esitys, ja sen laajalle levinnyt käyttö johtuu sen matemaattisesta kätevyydestä. Kuivakitkailmiöt (kosketuksissa olevat, toisiinsa nähden liukuvat kappaleet) ja hystereettinen vaimennus ovat esimerkkejä epälineaarisesta vaimennuksesta (ks. esim. Caughey ja Vijayaraghavan, 1970 ; Tomlinson ja Hibbert, 1979 ; Sherif ja Abu Omar, 2004 ; Al-Bender et al., 2004 ). On tärkeää huomata, että kuivakitka vaikuttaa dynamiikkaan erityisesti pienen amplitudin liikkeissä, mikä on vastoin sitä, mitä tavanomaisen viisauden mukaan voisi olettaa. Esimerkiksi kuvassa 2 esitetyille kierteisille vaijerieristimille on ominaista pehmenevä käyttäytyminen (Juntunen, 2003 ), jossa vaijerin sisällä on kitkaa ja vaijerisilmukan geometria muuttuu kuormitettaessa; tämän järjestelmän resonanssitaajuus siirtyy alaspäin, kun herätteen tasoa nostetaan, mikä on selvä osoitus epälineaarisesta käyttäytymisestä.
Kuva 2. Kierukkavaijerieristimet (VTT:n vertailukohde; COST-toimi F3): (a) koejärjestely; isolaattorit on asennettu elektrodynaamisen ravistelijan perusmassan ja kuormitusmassan väliin; (b) mitattu palautusvoima.
–
Nonlineaarisuus voi johtua myös reunaolosuhteista (esim. vapaat pinnat nesteissä, löysistä liitoksista tai kosketuksista jäykkiin rajoitteisiin johtuvat tärinäiskut, välykset, epätäydellisesti liimautuneet kimmoisat kappaleet) tai tietyistä ulkoisista epälineaarisista kappaleen voimista johtuvista voimakkuuksista (esim, magnetoelastiset, elektrodynaamiset tai hydrodynaamiset voimat). Välyksillä ja värähtelevillä epälineaarisuuksilla on ei-sileä voima- taipuma-ominaisuus, kuten kuvassa 3 on esitetty, ja ne vaativat yleensä erityiskäsittelyä muihin epälineaarisuustyyppeihin verrattuna (Babitsky ja Krupenin, 2001 ).
Kuva 3. Epäsäännölliset voimat. Törmäävä säde: (a) kokeellinen kiinnitys; (b) mitattu palautusvoima.
Teknisessä kirjallisuudessa on raportoitu monia käytännön esimerkkejä epälineaarisesta dynaamisesta käyttäytymisestä. Autoteollisuudessa jarrujen vinkuminen, joka on jarrupalojen ja roottorin väliseen kitkavaihteluun liittyvä jarrujen roottorin omaehtoinen värähtely, on ärsyttävä mutta ei-hengenvaarallinen esimerkki epälineaarisuuden ei-toivotusta vaikutuksesta (Rhee et al., 1989 ). Monissa autoissa on viskoelastisia moottorin kiinnikkeitä, jotka käyttäytyvät selvästi epälineaarisesti: riippuvuus amplitudista, taajuudesta ja esijännityksestä. Lentokoneissa epälineaarisen nesteen ja rakenteen vuorovaikutuksen lisäksi tyypillisiä epälineaarisuuksia ovat ohjauspintojen ja liitosten takaisinkytkentä ja kitka, moottorin ja pylvään välisen liitoksen kovettumisen epälineaarisuus ja hydraulisten toimilaitteiden kyllästymisvaikutukset. Kirjassa (Von Karman, 1940 ) kuvataan liikennelentokonetta, jossa potkurit aiheuttivat siipiin 1/2-luokan subharmonisen värähtelyn, joka tuotti 1/4-luokan subharmonisen värähtelyn peräsimeen. Värähtelyt olivat niin voimakkaita, että vaikutukset lentokoneeseen olivat katastrofaaliset (Nayfeh ja Mook, 1979 ). Mekatronisissa järjestelmissä epälineaarisuuden lähteitä ovat kitka laakereissa ja ohjaimissa sekä robottinivelten välykset ja välykset. Maa- ja vesirakentamisessa monet irrotettavat rakenteet, kuten konserttien ja urheilutapahtumien katsomot, ovat alttiita huomattaville rakenteellisille epälineaarisuuksille, jotka johtuvat liitosten löysyydestä. Tämä aiheuttaa sekä välyksiä että kitkaa, ja se voi tehdä tyhjäksi kaikki lineaariseen malliin perustuvat simulaatiot, jotka koskevat väkijoukon liikkeiden aiheuttamaa käyttäytymistä. Epälineaarisuutta voi esiintyä myös vaurioituneessa rakenteessa: väsymissäröjä, niittejä ja pultteja, jotka myöhemmin avautuvat ja sulkeutuvat dynaamisen kuormituksen vaikutuksesta, tai sisäisiä osia, jotka törmäävät toisiinsa.
Kun rakenteiden suorituskykyä halutaan jatkuvasti laajentaa yhä suuremmilla nopeuksilla, on tarpeen suunnitella kevyempiä, joustavampia ja siten epälineaarisempia rakenneosia. Tästä seuraa, että epälineaaristen (tai jopa vahvasti epälineaaristen) rakenneosien hyödyntäminen on yhä useammin tarpeen teknisissä sovelluksissa. Onkin melko paradoksaalista havaita, että rakennedynamiikassa pidetään hyvin usein lineaarista käyttäytymistä itsestäänselvyytenä. Miksi näin on? On myönnettävä, että riittävän pienen amplitudin liikkeissä lineaarinen teoria voi olla tarkka mallintamisessa, vaikka näin ei aina olekaan (esim. kuivakitka). Tärkein syy on kuitenkin se, että epälineaaristen dynaamisten järjestelmien teoria on paljon vähemmän vakiintunut kuin sen lineaarinen vastine. Lineaariseen järjestelmään sovellettavat ja modaalianalyysin perustana olevat perusperiaatteet eivät nimittäin enää päde epälineaarisuuden yhteydessä. Lisäksi jopa heikot epälineaariset järjestelmät voivat osoittaa erittäin mielenkiintoisia ja monimutkaisia ilmiöitä, joita lineaariset järjestelmät eivät voi osoittaa. Tällaisia ilmiöitä ovat muun muassa hypyt, bifurkaatiot, kyllästyminen, subharmoniset, superharmoniset ja sisäiset resonanssit, resonanssikaappaukset, raja-arvosyklit, modaaliset vuorovaikutukset ja kaaos. Lukijat, jotka etsivät johdatusta epälineaarisiin värähtelyihin, voivat tutustua (Nayfeh ja Mook, 1979 ; Strogatz, 1994 ; Verhulst, 1999 ; Rand, 2003 ). Matemaattisesti suuntautuneemmat lukijat voivat tutustua (Guckenheimer ja Holmes, 1983 ; Wiggins, 1990 ). Lyhyt opas, jossa korostetaan lineaarisen ja epälineaarisen dynamiikan välisiä tärkeitä eroja, on saatavilla tämän asiakirjan kohdassa 2.1.
Tämä ei tarkoita sitä, etteivätkö epälineaariset järjestelmät olisi saaneet huomattavaa huomiota viime vuosikymmeninä. Vaikka vuosia yksi tapa tutkia epälineaarisia järjestelmiä olikin linearisointilähestymistapa (Caughey, 1963 ; Iwan, 1973 ), on tehty paljon työtä kehittää teorioita epälineaaristen järjestelmien tutkimiseksi rakennedynamiikassa. Epälineaarinen laajennus moodimuotojen käsitteelle ehdotettiin (Rosenberg, 1962 ; Rosenberg, 1966 ) ja sitä tutkittiin edelleen (Rand, 1974 ; Shaw ja Pierre, 1993 ; Vakakis et al., 1996 ; Vakakis, 1997 ). Heikosti epälineaarisia järjestelmiä analysoitiin perusteellisesti häiriöteorian avulla (Nayfeh ja Mook, 1979 ; Nayfeh, 1981 ; O’Malley, 1991 ; Kevorkian ja Cole, 1996 ). Häiriömenetelmiä ovat esimerkiksi keskiarvomenetelmä, Lindstedt-Poincaré-tekniikka ja moniasteikkomenetelmä, ja niillä pyritään saamaan asymptoottisesti yhtenäisiä likiarvoja ratkaisuille. Noin viime vuosikymmenen aikana on tapahtunut siirtyminen heikosti epälineaarisista rakenteista vahvasti epälineaarisiin rakenteisiin (vahvasti epälineaarisilla systeemeillä tarkoitetaan systeemiä, jonka epälineaariset termit ovat samaa luokkaa kuin lineaariset termit) klassisten häiriötekniikoiden laajentamisen ansiosta (Chan et al., 1996 ; Chen ja Cheung, 1996 ) ja uusien menetelmien kehittämistä (Pilipchuk, 1985 ; Manevitch, 1999 ; Qaisi ja Kilani, 2000 ; Babitsky ja Krupenin, 2001 ).
Viime aikoina muutamissa tutkimuksissa on ehdotettu epälineaarisuuksien hyödyntämistä sen sijaan, että niitä olisi jätetty huomioimatta tai vältetty, mikä edustaa mielenkiintoista paradigman muutosta. Esimerkiksi parametrisen resonanssin käsitettä hyödynnetään mikroelektromekaanisten oskillaattoreiden suunnittelussa, joilla on suodatusominaisuudet (Rhoads et al., 2005 ). Teoksessa (Vakakis ja Gendelman, 2001 ; Vakakis et al., 2004a ; Kerschen et al., 2005b ) osoitetaan, että olennainen (eli epälineaarinen) epälineaarisuus johtaa palautumattomiin epälineaarisiin energiansiirtoilmiöihin osajärjestelmien välillä, joita kutsutaan epälineaariseksi energian pumppaamiseksi. Teoksessa (Nichols et al., 2004 ) käytetään kaoottista kuulustelua ja vaiheavaruuden rekonstruktiota komposiittipalkin ruuviliitoksen lujuuden arviointiin. Teoksessa (Epureanu ja Hashmi, 2005 ) hyödynnetään dynaamisten attraktorien geometrista muotoa systeemin pienten parametristen vaihteluiden tehostamiseksi.
Keskitytään nyt rakennemallien kehittämiseen (tai parantamiseen) kokeellisista mittauksista epälineaarisuuden läsnä ollessa, ts, epälineaarisen järjestelmän tunnistamiseen, on pakko myöntää, että ei ole olemassa mitään yleistä analyysimenetelmää, jota voitaisiin soveltaa kaikkiin järjestelmiin kaikissa tapauksissa (ks. esim. aiemmat yleiskatsaukset (Adams ja Allemang, 1998 ; Worden, 2000 )), kuten lineaarisen rakennedynamiikan modaalianalyysissä. Lisäksi monet tekniikat, jotka pystyvät käsittelemään järjestelmiä, joiden ulottuvuus on pieni, romahtavat, jos ne joutuvat kohtaamaan järjestelmän, jonka modaalitiheys on suuri. Kaksi syytä tähän epäonnistumiseen, nimittäin lineaarisen teorian eri käsitteiden soveltumattomuus ja epälineaaristen järjestelmien erittäin ”individualistinen” luonne, käsitellään 2.1 kohdassa. Kolmas syy on se, että funktiota S, joka kuvaa syötteen x(t) ulostuloon y(t), y(t)=S, ei tunneta etukäteen. Esimerkiksi yleinen Duffing-oskillaattori (Duffing, 1918 ), jonka liikeyhtälö on my¨(t)+cy˙(t)+ky(t)+k3y3(t)=x(t), edustaa tyypillistä esimerkkiä palautusvoiman epälineaarisuuden polynomisesta muodosta, kun taas hystereettinen vaimennus on esimerkki epälineaarisuuden ei-polynomisesta muodosta. Tämä on suuri vaikeus verrattuna lineaarisen järjestelmän tunnistamiseen, jossa funktionaalin rakenne on hyvin määritelty.
Vaikka ei-lineaaristen järjestelmien identifiointitapa ”historiallisesti” ja nykyisin on erilainen, identifiointiprosessin voidaan katsoa etenevän kolmen vaiheen kautta, jotka ovat havaitseminen, karakterisointi ja parametrien estimointi, kuten kuvassa 4 on esitetty. Kun epälineaarinen käyttäytyminen on havaittu, epälineaarisen järjestelmän sanotaan olevan karakterisoitu, kun kaikkien epälineaarisuuksien sijainti, tyyppi ja funktionaalinen muoto koko järjestelmässä on määritetty. Tämän jälkeen valitun mallin parametrit estimoidaan lineaarisella pienimmän neliösumman sovituksella tai epälineaarisilla optimointialgoritmeilla tarkasteltavasta menetelmästä riippuen.
Kuvio 4. Epälineaarinen malli. Identifiointiprosessi.
Nonlineaarisen järjestelmän identifiointi on olennainen osa verifiointi- ja validointi(V&V)prosessia. (Roache, 1998 ) mukaan verifioinnilla tarkoitetaan yhtälöiden ratkaisemista oikein eli laskutoimitusten suorittamista matemaattisesti oikein, kun taas validoinnilla tarkoitetaan oikeiden yhtälöiden ratkaisemista eli matemaattisen mallin muotoilemista ja kertoimien valitsemista siten, että kiinnostava fysikaalinen ilmiö kuvataan riittävän tarkasti. Kuten (Doebling, 2002 ) toteaa, yksi määritelmä, joka kattaa monet mallin validoinnin tärkeistä näkökohdista, on otettu simulaatiotieteiden kirjallisuudesta:
The substantiation that a model within its domain of applicability possesses a satisfactory range of accuracy consistent with the intended application of the model (Schlesinger et al., 1979 ).
Keskustelu verifioinnista ja validoinnista ei kuulu tämän yleiskatsauksen piiriin; lukija voi tutustua (Roache, 1998 ; Link ja Friswell, 2003 ; Babuska ja Oden, 2004 ; Hemez et al., 2005 ) ja niissä oleviin viitteisiin.
Työn laajuus: Tämän tutkimusartikkelin motivaatio on kolmitahoinen. Ensinnäkin sen tarkoituksena on tarjota tiivis lähtökohta sekä tutkijoille että käytännön toimijoille, jotka haluavat arvioida epälineaaristen rakennemallien tunnistamisen nykytilaa. Toiseksi asiakirjan tarkoituksena on tarkastella useita menetelmiä, joita on ehdotettu teknisessä kirjallisuudessa, ja tuoda esiin joitakin syitä, jotka estävät näiden tekniikoiden soveltamisen monimutkaisiin rakenteisiin. Viimeisenä tavoitteena on yksilöidä tulevia tutkimustarpeita, joiden avulla epälineaaristen järjestelmien identifioinnissa voitaisiin päästä eteenpäin.
Epälineaarisen dynamiikan aihepiiri on erittäin laaja, ja siitä on olemassa laaja kirjallisuus. Tämä artikkeli on väistämättä suuntautunut niille alueille, jotka kirjoittajat tuntevat parhaiten, ja tämä tarkoittaa tietenkin niitä alueita, joilla kirjoittajat ja kollegat ovat tehneet tutkimusta. Siksi se ei ole kattava yleiskatsaus epälineaaristen dynaamisten rakenteiden tunnistamiseen liittyvistä aiemmista ja nykyisistä lähestymistavoista; tässä ei esimerkiksi yritetä tehdä yhteenvetoa monista säätöteoriasta alkunsa saaneista kehityssuuntauksista.
Kokeiden suunnittelua (esim. herätteen lähteiden valinta, anturien lukumäärä ja sijainti), joka on edellytys tunnistamisprosessin onnistumiselle, ei tässä kuvata. Jonkin verran tietoa löytyy (Leontaritis ja Billings, 1987 ; Duym ja Schoukens, 1995 ; Worden ja Tomlinson, 2001 ). Järjestelmän tunnistamista kaoottisten värähtelyjen läsnä ollessa (Moon, 1987 ) ei myöskään käsitellä.