Voidaan käyttää permutaatioita ja yhdistelmiä vastaamaan monimutkaisempiin todennäköisyyskysymyksiin
Esimerkki 1
Valitaan 4-numeroinen PIN-koodi. Mikä on todennäköisyys sille, ettei toistuvia numeroita ole?
PIN-koodin jokaiselle numerolle on 10 mahdollista arvoa (nimittäin: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), joten mahdollisia PIN-koodeja on yhteensä 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10
4 = 10000.
Että toistuvia numeroita ei olisi lainkaan olemassa, kaikkien neljän numeron täytyisi olla erilaisia, mikä tarkoittaa valitsemista ilman korvaamista. Voisimme joko laskea 10 × 9 × 8 × 7 tai huomata, että tämä on sama kuin permutaatio
10P4 = 5040.
Todennäköisyys sille, ettei toistuvia numeroita ole, on niiden 4-numeroisten PIN-koodien määrä, joissa ei ole toistuvia numeroita, jaettuna 4-numeroisten PIN-koodien kokonaismäärällä. Tämä todennäköisyys on
\displaystyle\frac{{{}_{{10}}{P}_{{4}}}}{{{{10}^{{4}}}}=\frac{{5040}}}{{10000}}={0.504}}
Todennäköisyys on
Todennäköisyys on esimerkkinä 2
Tietyssä osavaltiossa järjestettävässä arpajaisarvontaan asetetaan 48 palloa, jotka on numeroitu numeroitu 1:stä 48:aan. 48 kuulaa asetetaan koneeseen ja niistä arvotaan sattumanvaraisesti kuusi. Jos arvotut kuusi numeroa vastaavat pelaajan valitsemia numeroita, pelaaja voittaa 1 000 000 dollaria. Tässä arvonnassa numeroiden arvontajärjestyksellä ei ole merkitystä. Laske todennäköisyys sille, että voitat miljoonan dollarin palkinnon, jos ostat yhden arpalipun.
Todennäköisyyden laskemiseksi meidän on laskettava, kuinka monta eri tapaa kuusi numeroa voidaan arpoa ja kuinka monta eri tapaa pelaajan arpalipussa olevat kuusi numeroa voivat vastata koneesta arvottuja kuutta numeroa. Koska numeroiden ei tarvitse olla missään tietyssä järjestyksessä, lottoarvonnan mahdollisten tulosten lukumäärä on
48C6 = 12 271 512. Näistä mahdollisista lopputuloksista vain yksi vastaisi kaikkia pelaajan arpalipun kuutta numeroa, joten pääpalkinnon voittamisen todennäköisyys on:
\displaystyle\frac{{{{}_{{6}}}{C}_{6}}}}{{{{}_{{}_{{{48}}}{C}_{6}}}}=\frac{{{1}}}{{{1227151512}}}\approx={0.0000000815}
Esimerkki 3
Edellisen esimerkin osavaltiolotossa, jos viisi kuudesta arvotusta numerosta täsmää pelaajan valitsemiin numeroihin, pelaaja voittaa 1000 dollarin toisen palkinnon. Laske todennäköisyys sille, että voitat toisen palkinnon, jos ostat yhden arpalipun.
Kuten edellä, lottoarvonnan mahdollisten lopputulosten lukumäärä on
48C6 = 12 271 512. Jotta voittaisimme toisen palkinnon, viiden lipun kuudesta numerosta on vastattava viittä kuudesta voittonumerosta; toisin sanoen meidän on täytynyt valita viisi kuudesta voittonumerosta ja yksi 42 häviönumerosta. Tapojen lukumäärä valita viisi numeroa kuudesta voittonumerosta on 6C5 = 6 ja tapojen lukumäärä valita yksi numero 42 häviönumerosta on 42C1 = 42. Näin ollen suotuisten tulosten lukumäärä saadaan peruslaskentasäännön avulla: 6C5 × 42C1 = 6 × 42 = 252. Todennäköisyys voittaa toinen palkinto on siis
\displaystyle\frac{{{{\left({}_{{6}}{C}_{5}}{oikea)}{{\left({}_{{42}}}{C}}_{{1}}}{oikea)}}}}{{{{{{48}}{C}{C}{6}}}}=\frac{{252}}}{{{12271512}}}\approx{0.0000205}
Kokeile nyt 1
Taloustieteen tietokilpailun monivalintakysymys sisältää 10 kysymystä, joissa kussakin on viisi vastausvaihtoehtoa. Laske todennäköisyys sille, että arvaat vastaukset satunnaisesti ja saat täsmälleen 9 kysymystä oikein.
Esimerkki 4
Laskekaa todennäköisyys sille, että nostatte satunnaisesti pakasta viisi korttia ja saatte täsmälleen yhden ässän.
Monissa korttipeleissä (kuten pokerissa) korttien nostojärjestyksellä ei ole väliä (koska pelaaja voi järjestellä kädessään olevia kortteja miten haluaa); seuraavissa ongelmissa oletamme, että näin on, jollei toisin mainita. Käytämme siis yhdistelmiä laskeaksemme viiden kortin käsien mahdollisen lukumäärän,
52C5. Tämä luku menee todennäköisyyskaavamme nimittäjään, koska se on mahdollisten lopputulosten lukumäärä.
Numeroajaa varten tarvitsemme niiden tapojen lukumäärän, joilla pakasta voidaan nostaa yksi ässä ja neljä muuta korttia (joista yksikään ei ole ässä). Koska ässiä on neljä ja haluamme niistä täsmälleen yhden, on
4C1 tapaa valita yksi ässä; koska muita kuin ässiä on 48 ja haluamme niitä neljä, on 48C4 tapaa valita neljä muuta kuin ässää. Nyt käytämme peruslaskentasääntöä laskeaksemme, että on 4C1 × 48C4 tapaa valita yksi ässä ja neljä ei-ässää.
Kun tämä kaikki lasketaan yhteen, we have
\displaystyle{P}{\left(\text{one Ace}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{1}}\right)}{\left({}_{{48}}{C}_{{4}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{778320}}{{2598960}}\approx{0.299}
Esimerkki 5
Lasketaan todennäköisyys sille, että pakasta nostetaan satunnaisesti viisi korttia ja saadaan tasan kaksi ässää.
Ratkaisu on samanlainen kuin edellisessä esimerkissä, paitsi että nyt valitsemme 2 ässää neljästä ja 3 ei-ässää 48:sta; nimittäjä pysyy samana:
On hyödyllistä huomata, että nämä korttiongelmat muistuttavat huomattavan paljon aiemmin käsiteltyjä arpajaisongelmia.
Kokeile nyt 2
Laskekaa todennäköisyys sille, että otatte satunnaisesti korttipakasta viisi korttia ja saatte kolme ässää ja kaksi kuningasta.
Syntymäpäiväongelma
Harkitaanpa hetki erästä kuuluisaa todennäköisyysteorian ongelmaa:
Esitettäkö, että sinulla on huone täynnä 30 ihmistä. Mikä on todennäköisyys sille, että on vähintään yksi yhteinen syntymäpäivä?
Arvaa vastaus yllä olevaan ongelmaan. Oliko arvauksesi melko pieni, esimerkiksi noin 10 %? Se tuntuu olevan intuitiivinen vastaus (ehkä 30/365?). Katsotaan, pitäisikö meidän kuunnella intuitiotamme. Aloitetaan kuitenkin yksinkertaisemmasta ongelmasta.
Esimerkki 6
Esitellään, että huoneessa on kolme ihmistä. Mikä on todennäköisyys sille, että näillä kolmella ihmisellä on vähintään yksi yhteinen syntymäpäivä?
On monia tapoja, joilla voi olla vähintään yksi yhteinen syntymäpäivä. Onneksi on olemassa helpompi tapa. Kysymme itseltämme: ”Mikä on vaihtoehto sille, että on vähintään yksi yhteinen syntymäpäivä?”. Tässä tapauksessa vaihtoehto on se, että
ei ole yhteisiä syntymäpäiviä. Toisin sanoen vaihtoehto sille, että on ”vähintään yksi”, on se, ettei ole yhtään. Toisin sanoen, koska kyseessä on täydentävä tapahtuma,
P(vähintään yksi) = 1 – P(ei yhtään)
Aloitetaan siis laskemalla todennäköisyys sille, ettei ole yhtään yhteistä syntymäpäivää. Kuvitellaan, että olet yksi näistä kolmesta ihmisestä. Syntymäpäiväsi voi olla mikä tahansa ilman ristiriitaa, joten syntymäpäivällesi on 365 vaihtoehtoa 365:stä. Mikä on todennäköisyys sille, että toisella henkilöllä ei ole yhteistä syntymäpäivääsi? Vuodessa on 365 päivää (jätetään karkausvuodet huomiotta), ja jos syntymäpäiväsi jätetään pois ristiriidasta, on 364 vaihtoehtoa, jotka takaavat, että sinulla ei ole yhteistä syntymäpäivää tämän henkilön kanssa, joten todennäköisyys sille, että toisella henkilöllä ei ole yhteistä syntymäpäivääsi, on 364/365. Nyt siirrytään kolmanteen henkilöön. Mikä on todennäköisyys sille, että tällä kolmannella henkilöllä ei ole samaa syntymäpäivää kuin sinulla tai toisella henkilöllä? On 363 päivää, jotka eivät osu päällekkäin sinun tai toisen henkilön syntymäpäivän kanssa, joten todennäköisyys sille, että kolmannella henkilöllä ei ole yhteistä syntymäpäivää kahden ensimmäisen kanssa, on 363/365.
Haluamme, että toisella henkilöllä ei ole samaa syntymäpäivää kuin sinulla
ja kolmannella henkilöllä ei ole samaa syntymäpäivää kuin kahdella ensimmäisellä henkilöllä, joten käytämme kertolaskusääntöä:
\displaystyle{P}{\left(\text{no shared birthday}\right)}=\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\approx{0.9918}
ja vähennä sitten 1:stä saadaksemme
P(jaettu syntymäpäivä) = 1 – P(ei jaettua syntymäpäivää) = 1 – 0.9918 = 0.0082.
Tämä on aika pieni luku, joten ehkä on järkevää, että vastaus alkuperäiseen ongelmaamme on pieni. Tehdään ryhmästämme hieman suurempi.
Esimerkki 7
Esitellään, että huoneessa on viisi ihmistä. Mikä on todennäköisyys sille, että näillä viidellä ihmisellä on vähintään yksi yhteinen syntymäpäivä?
Jatketaan edellisen esimerkin mallia, vastauksen pitäisi olla
\displaystyle{P}{\left(\text{jaettu syntymäpäivä}\right)}={1}-\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\cdot\frac{{362}}{{365}}\cdot\frac{{361}}{{365}}\approx{0.0271}
Huomaa, että voisimme kirjoittaa tämän kompaktimmin uudelleen seuraavasti
\displaystyle{P}{\left(\text{yhteinen syntymäpäivä}\right)}={1}-\frac{{{}{}_{{365}}}{P}_{{{5}}}}{{{365}^{{5}}}}\approx{0.0271}
joka helpottaa hiukan laskimeen tai tietokoneeseen kirjoittamista ja joka ehdottaa mukavaa kaavaa, kun jatkamme ryhmämme populaation laajentamista.
Esimerkki 8
Esitellään, että huoneessa on 30 ihmistä. Mikä on todennäköisyys sille, että näiden 30 ihmisen joukossa on vähintään yksi yhteinen syntymäpäivä?
Tässä voimme laskea
\displaystyle{P}{\left(\text{jakautettu syntymäpäivä}\right)}={1}-\frac{{{}_{{{365}}{P}_{{30}}}}{{{365}^{{30}}}}\approx{0.706}
joka antaa meille yllättävän tuloksen, että kun olet huoneessa, jossa on 30 ihmistä, on 70 %:n todennäköisyys, että on ainakin yksi yhteinen syntymäpäivä!
Jos pidät vedonlyönnistä ja jos pystyt vakuuttamaan 30 ihmistä paljastamaan syntymäpäivänsä, voit ehkä voittaa rahaa lyömällä vetoa ystäväsi kanssa siitä, että huoneessa on vähintään kaksi ihmistä, joilla on sama syntymäpäivä, aina kun olet vähintään 30 hengen huoneessa. (Sinun on tietysti varmistettava, ettei ystäväsi ole opiskellut todennäköisyyslaskentaa.) Et voittaisi takuuvarmasti, mutta voittaisit yli puolet ajasta.
Tämä on yksi monista todennäköisyysteorian tuloksista, jotka ovat vastoin intuitiota, eli ne ovat vaistojemme vastaisia. Jos et vieläkään usko matematiikkaa, voit suorittaa simulaation. Jotta sinun ei tarvitsisi kiertää kokoamassa 30 hengen ryhmiä, joku on ystävällisesti kehittänyt Java-sovelluksen, jonka avulla voit suorittaa tietokonesimulaation. Mene tälle verkkosivulle:
http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html, ja kun appletti on latautunut, valitse 30 syntymäpäivää ja napsauta jatkuvasti Start ja Reset. Jos pidät kirjaa toistuvien syntymäpäivien määrästä, sinun pitäisi saada toistuva syntymäpäivä noin 7 kertaa 10:stä simulaation suorittamiskerrasta.
Kokeile nyt 3
Esitellään, että huoneessa on 10 ihmistä. Mikä on todennäköisyys sille, että näiden 10 ihmisen joukossa on vähintään yksi jaettu syntymäpäivä?
- \displaystyle{P}{\left({9}\ \text{ vastaukset oikein}\right)}=\frac{9\cdot4}{(5^{10})}\approx0.0000037 mahdollisuus
- \displaystyle{P}{\left(\text{kolme ässää ja kaksi… Kings}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{3}}\right)}{\left({}_{{4}}{C}_{{2}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{24}}{{2598960}}\approx{0.0000092}
- \displaystyle{P}{\left(\text{yhteinen syntymäpäivä}\right)}={1}-\frac{{{}_{{365}}}{P}_{{10}}}}{{{365}^{{{10}}}}}\approx{0.117}
David Lippmanin, Matematiikka yhteiskunnallisessa elämässään, ”Todennäköisyys”, CC BY-SA 3.0 -lisenssillä.