Näytä mobiili-ilmoitus Näytä kaikki muistiinpanot Piilota kaikki muistiinpanot
Osio 4-1 : Määritelmä
Tiedättekö, on aina hieman pelottavaa, kun omistamme kokonaisen osion vain jonkin asian määrittelylle. Laplace-muunnokset (tai vain muunnokset) voivat tuntua pelottavalta, kun alamme ensin tarkastella niitä. Kuten tulemme kuitenkin näkemään, ne eivät ole niin pahoja kuin miltä ne saattavat aluksi vaikuttaa.
Ennen kuin aloitamme Laplace-muunnoksen määritelmän, meidän on saatava toinen määritelmä pois tieltä.
Funktiota sanotaan kappalemääräisesti jatkuvaksi jollakin intervallilla, jos intervalli voidaan pilkkoa äärelliseen määrään osavälejä, joilla funktio on jatkuva jokaisella avoimella osavälillä (eli osaväli, jolla ei ole päätepisteitä), ja jos sillä on äärellinen ääriraja kullakin osavälien päätepisteillä. Alla on hahmotelma paloittain jatkuvasta funktiosta.
Toisin sanoen paloittain jatkuva funktio on funktio, jossa on äärellinen määrä katkoksia eikä se missään kohtaa paisu äärettömyyteen.
Katsotaan nyt Laplace-muunnoksen määritelmää.
Määritelmä
Esitellään, että \(f(t)\) on paloittain jatkuva funktio. Merkitään \(f(t)\):n Laplace-muunnosta \(\mathcal{L}\left\{ {f\left( t \right)}). \right\\}\) ja määritellään seuraavasti
\
Laplace-muunnoksille on olemassa vaihtoehtoinen merkintätapa. Yksinkertaisuuden vuoksi Laplace-muunnoksia merkitään usein,
\
Tässä vaihtoehtoisessa merkintätavassa on huomattava, että muunnos on oikeastaan uuden muuttujan \(s\) funktio ja että kaikki \(t\):t putoavat pois integrointiprosessissa.
Muunnoksen määritelmässä esiintyvää integraalia kutsutaan epäsäännölliseksi integraaliksi, ja olisi luultavasti parasta palauttaa mieleen, miten tämäntyyppiset integraalit toimivat, ennen kuin hyppäämme varsinaisesti laskemaan joitain muunnoksia.
Nyt kun muistamme, miten nämä tehdään, lasketaanpa muutamia Laplace-muunnoksia. Aloitamme luultavasti yksinkertaisimmalla laskettavalla Laplace-muunnoksella.
Tässä ei ole oikeastaan paljon muuta tekemistä kuin liittää funktio \(f(t) = 1\) muotoon \(\eqref{eq:eq1}\)
\
Huomaa tässä vaiheessa, että tässä ei ole kyse mistään muusta kuin edellisen esimerkin integraalista, jossa on \(c = – s\). Siksi meidän tarvitsee vain käyttää uudelleen \(\eqref{eq:eq2}\) sopivalla korvauksella. Näin saadaan,
\
Vai, hieman yksinkertaistettuna saadaan,
\
Huomaa, että jouduimme asettamaan rajoituksen \(s\):lle voidaksemme itse asiassa laskea muunnoksen. Kaikilla Laplace-muunnoksilla on rajoituksia \(s\):lle. Tässä vaiheessa tätä rajoitusta meillä on tapana jättää huomiotta, mutta meidän ei todellakaan pitäisi koskaan unohtaa, että se on olemassa.
Tehdään toinen esimerkki.
Taivuta funktio muunnoksen määritelmään ja tee pieni yksinkertaistus.
\
Huomaa jälleen kerran, että voimme käyttää \(\eqref{eq:eq2}\) edellyttäen \(c = a – s\). Tehdään siis näin.
\
Tehdään vielä yksi esimerkki, joka ei jää \(\eqref{eq:eq2}\):n soveltamiseen.
Kuten tämä esimerkki osoittaa, Laplace-muunnosten laskeminen on usein sotkuista.
Ennen kuin siirrymme seuraavaan kappaleeseen, meidän on tehtävä pieni sivuhuomautus. Toisinaan näet Laplace-muunnoksen määritelmänä seuraavaa.
\
Huomaa alarajan muutos nollasta negatiiviseen äärettömyyteen. Näissä tapauksissa on lähes aina oletus, että funktio \(f(t)\) on itse asiassa määritelty seuraavasti,
\
Muilla sanoen oletetaan, että funktio on nolla, jos t<0. Tällöin integraalin ensimmäinen puolikas putoaa pois, koska funktio on nolla, ja palaamme takaisin kohdassa annettuun määritelmään. Yleensä käytetään Heaviside-funktiota, jotta funktio saadaan nollaksi, kun t<0. Tarkastelemme näitä myöhemmässä kappaleessa
.