1 Einleitung
Mathematische Modellierung bezieht sich auf die Verwendung einer mathematischen Sprache, um das Verhalten eines „realen“ (praktischen) Systems zu simulieren. Ihre Aufgabe ist es, ein besseres Verständnis und eine bessere Charakterisierung des Systems zu ermöglichen. Die Theorie ist nützlich, um aus einfachen Modellen allgemeine Schlussfolgerungen zu ziehen, und der Computer ist nützlich, um aus komplizierten Modellen spezifische Schlussfolgerungen zu ziehen (Bender, 2000). In der Theorie mechanischer Schwingungen sind mathematische Modelle – so genannte Strukturmodelle – hilfreich für die Analyse des dynamischen Verhaltens der modellierten Struktur.
Die Nachfrage nach verbesserter und zuverlässiger Leistung schwingender Strukturen in Bezug auf Gewicht, Komfort, Sicherheit, Lärm und Haltbarkeit nimmt ständig zu, während gleichzeitig eine Nachfrage nach kürzeren Konstruktionszyklen, längerer Lebensdauer, Minimierung des Inspektions- und Reparaturbedarfs und geringeren Kosten besteht. Mit dem Aufkommen leistungsfähiger Computer ist die Durchführung numerischer Simulationen sowohl in Bezug auf die Kosten als auch auf den Zeitaufwand kostengünstiger geworden als die Durchführung anspruchsvoller Experimente. Dies hat zu einer erheblichen Verlagerung hin zu computergestützter Planung und numerischen Experimenten geführt, bei denen Strukturmodelle zur Simulation von Experimenten und zur genauen und zuverlässigen Vorhersage des künftigen Strukturverhaltens eingesetzt werden.
Auch wenn wir in das Zeitalter des virtuellen Prototyping eintreten (Van Der Auweraer, 2002 ), spielen experimentelle Tests und die Systemidentifikation immer noch eine Schlüsselrolle, da sie dem Strukturdynamiker helfen, numerische Vorhersagen mit experimentellen Untersuchungen in Einklang zu bringen. Der Begriff „Systemidentifikation“ wird in der Fachliteratur manchmal in einem breiteren Kontext verwendet und kann sich auch auf die Gewinnung von Informationen über das Strukturverhalten direkt aus experimentellen Daten beziehen, d. h. ohne dass unbedingt ein Modell erforderlich ist (z. B. Identifizierung der Anzahl aktiver Moden oder des Vorhandenseins von Eigenfrequenzen innerhalb eines bestimmten Frequenzbereichs). In der vorliegenden Arbeit bezieht sich die Systemidentifikation auf die Entwicklung (oder Verbesserung) von Strukturmodellen aus Eingangs- und Ausgangsmessungen, die an der realen Struktur mit Hilfe von Schwingungsmessgeräten durchgeführt werden.
Die lineare Systemidentifikation ist eine Disziplin, die sich in den letzten 30 Jahren erheblich weiterentwickelt hat (Ljung, 1987 ; Soderstrom und Stoica, 1989 ). Die Schätzung von Modalparametern – auch Modalanalyse genannt – ist zweifellos der beliebteste Ansatz zur Identifizierung linearer Systeme in der Strukturdynamik. Das Modell des Systems liegt bekanntlich in Form von Modalparametern vor, nämlich den Eigenfrequenzen, Modenformen und Dämpfungsverhältnissen. Die Popularität der Modalanalyse ist auf ihre große Allgemeinheit zurückzuführen; Modalparameter können das Verhalten eines Systems für jede Art von Eingang und jeden Bereich des Eingangs beschreiben. Zu diesem Zweck wurden zahlreiche Ansätze entwickelt: die Ibrahim-Zeitbereichsmethode (Ibrahim und Mikulcik, 1973 ), der Algorithmus zur Realisierung von Eigensystemen (Juang und Pappa, 1985 ), die stochastische Unterraum-Identifizierungsmethode (Van Overschee und De Moor, 1996 ) und die komplexe Polyreferenz-Least-Squares-Frequenzbereichsmethode (Peeters et al., 2004 ), um nur einige davon zu nennen. Eine Beschreibung der Modalanalyse ist nicht Gegenstand dieses Papiers; der interessierte Leser kann weitere Einzelheiten in (Heylen et al., 1997 ; Maia und Silva, 1997 ; Ewins, 2000 ) nachlesen. Es ist jedoch wichtig, darauf hinzuweisen, dass die modale Identifizierung stark gedämpfter Strukturen oder komplexer industrieller Strukturen mit hoher modaler Dichte und großer modaler Überlappung jetzt in Reichweite ist. Eine Vereinheitlichung der theoretischen Entwicklung von Algorithmen zur Modalidentifikation wurde in (Allemang und Brown, 1998 ; Allemang und Phillips, 2004 ) versucht, was ein weiteres Zeichen für die Reife dieses Forschungsgebiets ist.
Der Schwerpunkt dieser Übersichtsarbeit liegt auf der Identifikation von Struktursystemen bei Vorhandensein von Nichtlinearität. Nichtlinearität ist in der Natur weit verbreitet, und lineares Verhalten ist eine Ausnahme. In der Strukturdynamik sind typische Quellen von Nichtlinearität:
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Geometrische Nichtlinearität entsteht, wenn eine Struktur großen Verschiebungen unterworfen ist und sich aus der potentiellen Energie ergibt. Ein Beispiel ist das einfache Pendel, dessen Bewegungsgleichung θ¨+ω02sinθ=0 ist; der nichtlineare Term ω02sinθ stellt geometrische Nichtlinearität dar, da er große Winkelbewegungen modelliert. Große Verformungen flexibler elastischer Kontinua wie Balken, Platten und Schalen sind ebenfalls für geometrische Nichtlinearitäten verantwortlich (siehe z. B. (Amabili und Paidoussis, 2003 ; Nayfeh und Pai, 2004 )). Ein Beispiel für einen Prüfstand mit geometrischer Nichtlinearität ist in Abb. 1 dargestellt. Ein freitragender Balken ist an seinem rechten Ende mit einem dünnen, kurzen Balken verbunden, der bei großen Durchbiegungen eine geometrische Nichtlinearität aufweist.
Abb. 1. Freitragender Träger, verbunden mit einem dünnen, kurzen Balken (ECL-Benchmark; COST-Aktion F3): (a) Versuchsvorrichtung; (b) Nahaufnahme der Verbindung.
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Trägheits-Nichtlinearität ergibt sich aus nichtlinearen Termen, die Geschwindigkeiten und/oder Beschleunigungen in den Bewegungsgleichungen enthalten, und hat ihren Ursprung in der kinetischen Energie des Systems (z.B., Konvektionsbeschleunigungsterme in einem Kontinuum und Coriolis-Beschleunigungen in Bewegungen von Körpern, die sich relativ zu rotierenden Rahmen bewegen).
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Ein nichtlineares Materialverhalten kann beobachtet werden, wenn das konstitutive Gesetz für Spannungen und Dehnungen nichtlinear ist. Dies ist häufig bei Schäumen (White et al., 2000 ; Schultze et al., 2001 ; Singh et al., 2003 ) und bei elastischen Lagerungssystemen wie Gummiisolatoren (Richards und Singh, 2001 ) der Fall.
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Die Dämpfungsdissipation ist im Wesentlichen ein nichtlineares und noch nicht vollständig modelliertes und verstandenes Phänomen. Die Annahme der modalen Dämpfung ist nicht unbedingt die geeignetste Darstellung der physikalischen Realität, und ihre weitverbreitete Verwendung ist auf ihre mathematische Bequemlichkeit zurückzuführen. Trockenreibungseffekte (sich berührende, gegeneinander gleitende Körper) und hysteretische Dämpfung sind Beispiele für nichtlineare Dämpfung (siehe z. B. Caughey und Vijayaraghavan, 1970; Tomlinson und Hibbert, 1979; Sherif und Abu Omar, 2004; Al-Bender et al., 2004). Es ist wichtig festzustellen, dass die trockene Reibung die Dynamik vor allem bei Bewegungen mit kleinen Amplituden beeinflusst, was im Gegensatz zu dem steht, was man nach herkömmlicher Auffassung erwarten könnte. Die in Abb. 2 dargestellten Drahtseilisolatoren zeichnen sich beispielsweise durch ein weiches Verhalten (Juntunen, 2003 ) mit Reibung innerhalb des Drahtseils und Veränderung der Drahtschleifengeometrie bei Belastung aus; bei diesem System verschiebt sich die Resonanzfrequenz nach unten, wenn das Niveau der Anregung erhöht wird, was ein deutlicher Hinweis auf nichtlineares Verhalten ist.
Abbildung 2: Spiralförmige Drahtseilisolatoren (VTT Benchmark; COST Aktion F3): (a) Versuchsaufbau; die Isolatoren sind zwischen der Grundmasse eines elektrodynamischen Schwingerregers und einer Lastmasse montiert; (b) gemessene Rückstellkraft.
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Nichtlinearität kann auch aufgrund von Randbedingungen (z. B. freie Oberflächen in Flüssigkeiten, Schwingungsstöße aufgrund von losen Verbindungen oder Kontakten mit starren Zwängen, Abständen, unvollkommen verbundenen elastischen Körpern) oder bestimmten externen nichtlinearen Körperkräften (z. B., magnetoelastische, elektrodynamische oder hydrodynamische Kräfte). Die Nichtlinearität von Spiel und Vibro-Impact besitzt eine nicht-glatte Kraft-Auslenkungs-Charakteristik, wie in Abb. 3 dargestellt, und erfordert im Allgemeinen eine besondere Behandlung im Vergleich zu anderen Arten von Nichtlinearitäten (Babitsky und Krupenin, 2001 ).
Abbildung 3. Auftreffender Strahl: (a) Versuchsvorrichtung; (b) gemessene Rückstellkraft.
Viele praktische Beispiele für nichtlineares dynamisches Verhalten sind in der Fachliteratur beschrieben worden. In der Automobilindustrie ist das Bremsenquietschen, eine selbsterregte Vibration des Bremsrotors, die mit der Reibungsvariation zwischen den Belägen und dem Rotor zusammenhängt, ein irritierendes, aber nicht lebensbedrohliches Beispiel für einen unerwünschten Effekt der Nichtlinearität (Rhee et al., 1989 ). Viele Kraftfahrzeuge haben viskoelastische Motorlager, die ein ausgeprägtes nichtlineares Verhalten zeigen: Abhängigkeit von Amplitude, Frequenz und Vorspannung. In Flugzeugen sind neben der nichtlinearen Fluid-Struktur-Wechselwirkung typische Nichtlinearitäten das Spiel und die Reibung in Steuerflächen und Gelenken, Härte-Nichtlinearitäten in der Triebwerk-Pylon-Verbindung und Sättigungseffekte in hydraulischen Aktuatoren. In (Von Karman, 1940) wird ein Verkehrsflugzeug beschrieben, bei dem die Propeller eine subharmonische Schwingung der Ordnung 1/2 in den Tragflächen hervorriefen, die eine subharmonische Schwingung der Ordnung 1/4 im Seitenruder erzeugte. Die Schwingungen waren so stark, dass die Auswirkungen auf das Flugzeug katastrophal waren (Nayfeh und Mook, 1979). In mechatronischen Systemen sind Quellen von Nichtlinearitäten die Reibung in Lagern und Führungen sowie das Spiel und die Lagerspiele in Robotergelenken. Im Bauwesen sind viele abnehmbare Konstruktionen wie Tribünen bei Konzerten und Sportveranstaltungen anfällig für erhebliche strukturelle Nichtlinearitäten, die auf das Spiel der Gelenke zurückzuführen sind. Dies führt sowohl zu Spiel als auch zu Reibung und kann lineare, modellbasierte Simulationen des Verhaltens von Menschenmengen ungültig machen. Nichtlinearität kann auch in einer beschädigten Struktur auftreten: Ermüdungsrisse, Nieten und Bolzen, die sich unter dynamischer Belastung öffnen und schließen, oder interne Teile, die aufeinander einwirken.
Das ständige Interesse, den Leistungsbereich von Strukturen bei immer höheren Geschwindigkeiten zu erweitern, erfordert die Entwicklung leichterer, flexiblerer und folglich nichtlinearer Strukturelemente. Daraus folgt, dass die Nachfrage nach nichtlinearen (oder sogar stark nichtlinearen) Strukturkomponenten in technischen Anwendungen immer größer wird. Es ist daher ziemlich paradox zu beobachten, dass in der Strukturdynamik sehr oft lineares Verhalten als selbstverständlich vorausgesetzt wird. Warum ist das so? Es sollte anerkannt werden, dass die lineare Theorie bei Bewegungen mit ausreichend kleinen Amplituden für die Modellierung genau sein kann, auch wenn dies nicht immer der Fall ist (z. B. bei der Trockenreibung). Der Hauptgrund dafür ist jedoch, dass die Theorie nichtlinearer dynamischer Systeme weit weniger etabliert ist als ihr lineares Gegenstück. Die Grundprinzipien, die für ein lineares System gelten und die Grundlage der Modalanalyse bilden, sind bei Vorhandensein von Nichtlinearität nicht mehr gültig. Hinzu kommt, dass selbst schwache nichtlineare Systeme äußerst interessante und komplexe Phänomene aufweisen können, die lineare Systeme nicht zeigen. Zu diesen Phänomenen gehören Sprünge, Bifurkationen, Sättigung, subharmonische, superharmonische und interne Resonanzen, Resonanzeinbrüche, Grenzzyklen, modale Wechselwirkungen und Chaos. Leser, die eine Einführung in nichtlineare Oszillationen suchen, können (Nayfeh und Mook, 1979; Strogatz, 1994; Verhulst, 1999; Rand, 2003) nachschlagen. Mathematisch interessierte Leser können sich auf (Guckenheimer und Holmes, 1983; Wiggins, 1990) beziehen. Ein kurzes Tutorial, das die wichtigen Unterschiede zwischen linearer und nichtlinearer Dynamik hervorhebt, findet sich in Abschnitt 2.1 dieses Papiers.
Das soll nicht heißen, dass nichtlineare Systeme in den letzten Jahrzehnten keine große Aufmerksamkeit erhalten haben. Auch wenn jahrelang eine Möglichkeit zur Untersuchung nichtlinearer Systeme der Linearisierungsansatz war (Caughey, 1963; Iwan, 1973), wurden viele Anstrengungen unternommen, um Theorien für die Untersuchung nichtlinearer Systeme in der Strukturdynamik zu entwickeln. Eine nichtlineare Erweiterung des Konzepts der Modenformen wurde in (Rosenberg, 1962; Rosenberg, 1966) vorgeschlagen und in (Rand, 1974; Shaw und Pierre, 1993; Vakakis et al., 1996; Vakakis, 1997) weiter untersucht. Schwach nichtlineare Systeme wurden mit Hilfe der Störungstheorie gründlich analysiert (Nayfeh und Mook, 1979; Nayfeh, 1981; O’Malley, 1991; Kevorkian und Cole, 1996). Zu den Störungsmethoden gehören beispielsweise die Methode der Mittelwertbildung, die Lindstedt-Poincaré-Technik und die Methode der multiplen Skalen, die darauf abzielen, asymptotisch einheitliche Näherungen der Lösungen zu erhalten. In den letzten zehn Jahren wurde der Übergang von schwach nichtlinearen Strukturen zu stark nichtlinearen Strukturen beobachtet (mit stark nichtlinearen Systemen ist ein System gemeint, bei dem die nichtlinearen Terme die gleiche Ordnung haben wie die linearen Terme), und zwar dank der Erweiterung der klassischen Störungstechniken (Chan et al., 1996; Chen und Cheung, 1996 ) und der Entwicklung neuer Methoden (Pilipchuk, 1985; Manevitch, 1999; Qaisi und Kilani, 2000; Babitsky und Krupenin, 2001 ).
In jüngster Zeit wurde in einigen Studien vorgeschlagen, die Vorteile von Nichtlinearitäten zu nutzen, anstatt sie zu ignorieren oder zu vermeiden, was einen interessanten Paradigmenwechsel darstellt. So wird beispielsweise das Konzept der parametrischen Resonanz genutzt, um mikroelektromechanische Oszillatoren mit Filterfunktionen zu entwickeln (Rhoads et al., 2005). In (Vakakis und Gendelman, 2001 ; Vakakis et al., 2004a ; Kerschen et al., 2005b ) wird gezeigt, dass essentielle (d.h. nichtlinearisierbare) Nichtlinearität zu irreversiblen nichtlinearen Energieübertragungsphänomenen zwischen Teilsystemen führt – dem so genannten nichtlinearen Energiepumpen. In (Nichols et al., 2004) werden die chaotische Abfrage und die Phasenraumrekonstruktion zur Bewertung der Festigkeit einer Schraubverbindung in einem Verbundträger verwendet. In (Epureanu und Hashmi, 2005 ) wird die geometrische Form dynamischer Attraktoren ausgenutzt, um kleine parametrische Variationen in einem System zu verstärken.
Wenn man sich nun auf die Entwicklung (oder die Verbesserung) von Strukturmodellen aus experimentellen Messungen bei Vorhandensein von Nichtlinearität konzentriert, d. h., nichtlineare Systemidentifikation, muss man zugeben, dass es keine allgemeine Analysemethode gibt, die auf alle Systeme in allen Fällen angewendet werden kann (siehe z.B. frühere Übersichten (Adams und Allemang, 1998 ; Worden, 2000 )), wie es bei der Modalanalyse in der linearen Strukturdynamik der Fall ist. Hinzu kommt, dass viele Techniken, die in der Lage sind, mit Systemen mit geringer Dimensionalität umzugehen, zusammenbrechen, wenn sie mit Systemen mit hoher modaler Dichte konfrontiert werden. Zwei Gründe für dieses Scheitern, nämlich die Unanwendbarkeit verschiedener Konzepte der linearen Theorie und die stark „individualistische“ Natur nichtlinearer Systeme, werden in Abschnitt 2.1 erörtert. Ein dritter Grund ist, dass das Funktional S, das die Eingabe x(t) auf die Ausgabe y(t), y(t)=S, abbildet, nicht im Voraus bekannt ist. So stellt der allgegenwärtige Duffing-Oszillator (Duffing, 1918 ), dessen Bewegungsgleichung my¨(t)+cy˙(t)+ky(t)+k3y3(t)=x(t) lautet, ein typisches Beispiel für die polynomiale Form der Nichtlinearität der Rückstellkraft dar, während die hysteretische Dämpfung ein Beispiel für die nichtpolynomiale Form der Nichtlinearität ist. Dies stellt eine große Schwierigkeit im Vergleich zur Identifizierung linearer Systeme dar, bei denen die Struktur der Funktion gut definiert ist.
Auch wenn es einen Unterschied zwischen der Art und Weise gibt, wie man nichtlineare Systeme „historisch“ identifiziert hat, und der Art und Weise, wie man es heute tun würde, kann der Identifizierungsprozess als ein Fortschreiten durch drei Schritte betrachtet werden, nämlich Erkennung, Charakterisierung und Parameterschätzung, wie in Abb. 4 skizziert. Sobald nichtlineares Verhalten erkannt wurde, gilt ein nichtlineares System als charakterisiert, nachdem Ort, Art und funktionale Form aller Nichtlinearitäten im System bestimmt wurden. Die Parameter des ausgewählten Modells werden dann je nach Methode durch lineare Kleinstquadrate-Anpassung oder nichtlineare Optimierungsalgorithmen geschätzt.
Abb. 4. Identifikationsprozess.
Die Identifikation nichtlinearer Systeme ist ein integraler Bestandteil des Verifikations- und Validierungsprozesses (V&V). Nach (Roache, 1998 ) bezieht sich die Verifikation auf das korrekte Lösen der Gleichungen, d.h. auf die mathematisch korrekte Durchführung der Berechnungen, während sich die Validierung auf das Lösen der korrekten Gleichungen bezieht, d.h. auf die Formulierung eines mathematischen Modells und die Auswahl der Koeffizienten, so dass das physikalische Phänomen von Interesse mit einem angemessenen Grad an Genauigkeit beschrieben wird. Wie in (Doebling, 2002 ) dargelegt, ist eine Definition, die viele der wichtigen Aspekte der Modellvalidierung erfasst, der Literatur der Simulationswissenschaften entnommen:
Der Nachweis, dass ein Modell innerhalb seines Anwendungsbereichs einen zufriedenstellenden Genauigkeitsbereich besitzt, der mit der beabsichtigten Anwendung des Modells übereinstimmt (Schlesinger et al., 1979 ).
Die Erörterung von Verifikation und Validierung geht über den Rahmen dieses Übersichtspapiers hinaus; der Leser möge (Roache, 1998 ; Link und Friswell, 2003 ; Babuska und Oden, 2004 ; Hemez et al., 2005 ) und die darin enthaltenen Verweise konsultieren.
Geltungsbereich des Papiers: Die Motivation für diese Übersichtsarbeit ist eine dreifache. Erstens soll sie Forschern und Praktikern, die den gegenwärtigen Stand der Technik bei der Identifizierung nichtlinearer Strukturmodelle beurteilen wollen, einen prägnanten Ausgangspunkt bieten. Zweitens sollen verschiedene in der Fachliteratur vorgeschlagene Methoden überprüft und einige der Gründe hervorgehoben werden, die eine Anwendung dieser Techniken auf komplexe Strukturen verhindern. Das letzte Ziel dieses Papiers ist es, den zukünftigen Forschungsbedarf zu ermitteln, der dazu beitragen würde, die Identifizierung nichtlinearer Systeme weiter voranzutreiben.
Das Thema der nichtlinearen Dynamik ist extrem breit gefächert, und es gibt eine umfangreiche Literatur. Diese Arbeit ist zwangsläufig auf die Bereiche ausgerichtet, mit denen die Autoren am besten vertraut sind, und das bedeutet natürlich die Bereiche, in denen die Autoren und ihre Kollegen geforscht haben. Es handelt sich daher nicht um einen umfassenden Überblick über frühere und aktuelle Ansätze zur Identifikation nichtlinearer dynamischer Strukturen; es wird z.B. nicht versucht, viele der aus der Kontrolltheorie stammenden Entwicklungen zusammenzufassen.
Die Versuchsplanung (z.B. Auswahl der Anregungsquellen, Anzahl und Ort der Sensoren), die den Erfolg des Identifikationsprozesses bedingt, wird hier nicht beschrieben. Einige Informationen finden sich in (Leontaritis und Billings, 1987 ; Duym und Schoukens, 1995 ; Worden und Tomlinson, 2001 ). Die Systemidentifikation bei Vorhandensein von chaotischen Schwingungen (Moon, 1987 ) wird ebenfalls nicht behandelt.