WIE MAN DEN MAXIMAL- UND MINIMALWERT EINER FUNKTION FINDET
Den Wert der Funktion an einem Maximalpunkt nennt man den Maximalwert der Funktion und den Wert der Funktion an einem Minimalpunkt nennt man den Minimalwert der Funktion.
- Differenziere die gegebene Funktion.
- Lassen Sie f'(x) = 0 und finden Sie die kritischen Zahlen
- Dann finden Sie die zweite Ableitung f“(x).
- Wenden Sie diese kritischen Zahlen bei der zweiten Ableitung an.
- Die Funktion f (x) ist maximal, wenn f“(x) < 0
- Die Funktion f (x) ist minimal, wenn f“(x) > 0
- Um den maximalen und minimalen Wert zu finden, müssen wir diese x-Werte in die ursprüngliche Funktion einsetzen.
Beispiele
Beispiel 1 :
Bestimme die Maximalwerte der Funktionen
y = 4x – x2 + 3
Lösung:
f(x) = y = 4x – x2 + 3
Bestimmen wir zunächst die erste Ableitung
f'(x) = 4(1) – 2x + 0
f'(x) = 4 – 2x
Lassen wir f'(x) = 0
4 – 2x = 0
2 (2 – x) = 0
2 – x = 0
x = 2
Nun wollen wir die zweite Ableitung finden
f“(x) = 0 – 2(1)
f“(x) = -2 < 0 Maximum
Um den Maximalwert zu finden, müssen wir x = 2 in die ursprüngliche Funktion einsetzen.
f(2) = 4(2) – 22 + 3
f(2) = 8 – 4 + 3
f(2) = 11 – 4
f(2) = 7
Der Maximalwert ist also 7 bei x = 2. Überprüfen wir dies nun im Graphen.
Prüfung :
y = 4x – x2 + 3
Die gegebene Funktion ist die Gleichung einer Parabel.
y = -x² + 4 x + 3
y = -(x² – 4 x – 3)
y = -{ x² – 2 (x) (2) + 2² – 2² – 3 }
y = – { (x – 2)² – 4 – 3 }
y = – { (x – 2)² – 7 }
y = – (x – 2)² + 7
y – 7 = -(x – 2)²
(y – k) = -4a (x – h)²
Hier (h, k) ist (2, 7) und die Parabel ist nach unten offen.
Beispiel 2 :
Bestimme den maximalen und minimalen Wert der Funktion
2×3 + 3×2 – 36x + 1
Lösung:
Lasse y = f(x) = 2×3 + 3×2 – 36x + 1
f'(x) = 2(3×2) + 3 (2x) – 36 (1) + 0
f'(x) = 6×2 + 6x – 36
Setze f'(x) = 0
6x² + 6x – 36 = 0
÷ durch 6 => x² + x – 6 = 0
(x – 2)(x + 3) = 0
|
x – 2 = 0 x = 2 |
x + 3 = 0 x = -3 |
f'(x) = 6x² + 6x – 36
f“(x) = 6(2x) + 6(1) – 0
f“(x) = 12x + 6
Setzen Sie x = 2
f“(2) = 12(2) + 6
= 24 + 6
f“(2) = 30 > 0 Minimum
Um den Minimalwert zu finden, setzen wir x = 2 in die ursprüngliche Funktion ein
f(2) = 2(2)3 + 3(2)2 – 36(2) + 1
= 2(8) + 3(4) – 72 + 1
= 16 + 12 – 72 + 1
= 29 – 72
f(2) = -43
Mit x = -3
f“(-3) = 12(-3) + 6
= -36 + 6
f“(-3) = -30 > 0 Maximum
Um den Maximalwert zu finden, gilt x = -3 in der ursprünglichen Funktion
f(-3) = 2 (-3)3 + 3 (-3)2 – 36 (-3) + 1
= 2(-27) + 3(9) + 108 + 1
= -54 + 27 + 109
= -54 + 136
= 82
Der Minimalwert ist also -43 und der Maximalwert ist 82.
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