Komplexe Zahlen sind Zahlen, die aus zwei Teilen bestehen – einer reellen Zahl und einer imaginären Zahl. Komplexe Zahlen sind die Bausteine für kompliziertere Mathematik, wie z.B. Algebra. Sie können auf viele Aspekte des realen Lebens angewandt werden, insbesondere in der Elektronik und im Elektromagnetismus.
Das Standardformat für komplexe Zahlen ist a + bi, wobei die reelle Zahl an erster und die imaginäre Zahl an letzter Stelle steht. Da jeder Teil 0 sein kann, kann technisch gesehen jede reelle Zahl oder imaginäre Zahl als komplexe Zahl betrachtet werden. Komplex bedeutet nicht kompliziert; es bedeutet, dass die beiden Arten von Zahlen zusammen einen Komplex bilden, wie ein Wohnkomplex – eine Gruppe von Gebäuden, die miteinander verbunden sind.
Reale Zahlen sind greifbare Werte, die auf einer horizontalen Zahlenlinie aufgetragen werden können, wie Brüche, ganze Zahlen oder jede abzählbare Zahl, die Sie sich vorstellen können. Imaginäre Zahlen sind abstrakte Konzepte, die verwendet werden, wenn man die Quadratwurzel einer negativen Zahl benötigt.
Addieren & Multiplizieren komplexer Zahlen
Da eine komplexe Zahl ein Binom ist – ein numerischer Ausdruck mit zwei Termen – wird die Arithmetik im Allgemeinen auf dieselbe Weise durchgeführt wie bei jedem Binom, indem man die gleichen Terme kombiniert und vereinfacht. Beispiel:
(3 + 2i) + (4 – 4i)
(3 + 4) = 7
(2i – 4i) = -2i
Das Ergebnis ist 7-2i.
Für die Multiplikation wendet man die FOIL-Methode für die Polynom-Multiplikation an: Man multipliziert die Erste, multipliziert die Äußere, multipliziert die Innere, multipliziert die Letzte und addiert dann. Zum Beispiel:
(3 – 2i)(5 + 3i) =
(3)(5) + (3)(3i) + (-2i)(5) + (-2i)(3i) =
15 + 9i + -10i + -6i2 =
15 – i – 6(-1) =
21 – i
Der Grund dafür, dass i2 sich zu (-1) vereinfacht, ist, dass i die Quadratwurzel von -1 ist.
Dividieren von komplexen Zahlen
Die Division wird jedoch komplizierter und erfordert die Verwendung von Konjugaten. Komplexe Konjugierte sind Paare komplexer Zahlen, die unterschiedliche Vorzeichen haben, z. B. (a + bi) und (a – bi). Bei der Multiplikation von konjugierten komplexen Zahlen hebt sich der mittlere Term auf. Beispiel:
(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – (bi)2
Das vereinfacht sich zu a2 – b2(i2) = a2 – b2(-1)
Das Endergebnis ist a2 + b2
Bei der Division komplexer Zahlen bestimmt man die Konjugierte des Nenners und multipliziert Zähler und Nenner mit der Konjugierten. Beispiel:
(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)
Die Konjugierte von 7 + 4i ist 7 – 4i. Multipliziere also den Zähler und den Nenner mit dem Konjugierten:
(5 + 2i)(7 – 4i) ÷ (7 + 4i)(7 – 4i) =
(35 + 14i – 20i – 8i2) ÷ (49 – 28i + 28i – 16i2 ) =
(35 – 6i + 8) ÷ (49 + 16) =
(43 – 6i) ÷ 65
Absolutwert der komplexen Zahlen
Der Absolutwert einer Zahl wird als ihr Abstand von Null auf der Zahlengeraden betrachtet. Da komplexe Zahlen imaginäre Zahlen enthalten, können sie nicht auf der reellen Zahlengeraden aufgetragen werden. Sie können jedoch auf der komplexen Zahlenebene, die eine x-Achse (für die reelle Zahl) und eine y-Achse (für die imaginäre Zahl) enthält, von Null aus gemessen werden.
Verwendungen komplexer Zahlen
Komplexe Zahlen können verwendet werden, um quadratische Gleichungen mit Nullen zu lösen. Die quadratische Formel löst ax2 + bx + c = 0 für die Werte von x. Wenn die Formel ein Negativ in der Quadratwurzel liefert, können komplexe Zahlen verwendet werden, um die Null zu vereinfachen.
Komplexe Zahlen werden in der Elektronik und im Elektromagnetismus verwendet. Eine einzelne komplexe Zahl fasst zwei reelle Größen zusammen und erleichtert so die Arbeit mit den Zahlen. In der Elektronik wird zum Beispiel der Zustand eines Schaltkreises durch die Spannung (V) und den Strom (I) definiert. Schaltkreiselemente können auch eine Kapazität (c) und eine Induktivität (L) haben, die die Tendenz des Schaltkreises beschreiben, Änderungen von V und I zu widerstehen. Anstatt den Zustand des Schaltkreiselements durch V und I zu beschreiben, kann er als z = V + Ii beschrieben werden. Die Gesetze der Elektrizität können dann durch Addition und Multiplikation komplexer Zahlen ausgedrückt werden.
Wie bereits erwähnt, kann dies auch auf den Elektromagnetismus angewendet werden. Statt als elektrische Feldstärke und magnetische Feldstärke beschrieben zu werden, kann man eine komplexe Zahl bilden, bei der die elektrische und magnetische Komponente die realen und imaginären Zahlen sind.
Weitere Lektüre:
Rechner für komplexe Zahlen
Math is Fun: Komplexe Zahlen
Math Warehouse: Komplexe Zahlen
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