Was ist die maximale Anzahl von Elektronen in jeder Schale?

Das Muster der maximal möglichen Elektronen = $2n^2$ ist richtig.

Auch die Antwort von Brian ist gut und geht in eine andere Richtung.

Hast du schon etwas über Quantenzahlen gelernt?

Wenn nicht…

Jede Schale (oder Energieniveau) hat eine gewisse Anzahl von Unterschalen, die die Arten von Atomorbitalen beschreiben, die den Elektronen in dieser Unterschale zur Verfügung stehen. Die $s$-Unterschale eines Energieniveaus besteht beispielsweise aus kugelförmigen Orbitalen. Die $p$-Unterschale hat hantelförmige Orbitale. Danach fangen die Orbitalformen an, seltsam zu werden. Jede Unterschale enthält eine bestimmte Anzahl von Orbitalen, und jedes Orbital kann zwei Elektronen aufnehmen. Die Arten von Unterschalen, die einer Schale zur Verfügung stehen, und die Anzahl der Orbitale in jeder Unterschale sind mathematisch durch Quantenzahlen definiert. Quantenzahlen sind Parameter in der Wellengleichung, die jedes Elektron beschreibt. Das Pauli-Ausschlussprinzip besagt, dass keine zwei Elektronen im selben Atom den exakt gleichen Satz an Quantenzahlen haben können. Eine ausführlichere Erklärung der Quantenzahlen finden Sie weiter unten. Das Ergebnis ist jedoch das folgende:

Die Unterschalen sind wie folgt:

• Die $s$-Unterschale hat ein Orbital für insgesamt 2 Elektronen
• Die $p$-Unterschale hat drei Orbitale für insgesamt 6 Elektronen
• Die $d$-Unterschale hat fünf Orbitale für insgesamt 10 Elektronen
• Die $f$-Unterschale hat sieben Orbitale für insgesamt 14 Elektronen
• Die $g$-Unterschale hat neun Orbitale für insgesamt 18 Elektronen
• Die $h$-Unterschale hat elf Orbitale für insgesamt 22 Elektronen

etc.

Jedes Energieniveau (Schale) hat mehrere Unterschalen zur Verfügung:

• Die erste Schale hat nur die $s$-Unterschale $\implies$ 2 Elektronen
• Die zweite Schale hat die $s$ und $p$-Unterschalen $\implies$ 2 + 6 = 8 Elektronen
• Die dritte Schale hat die $s$, $p$, und $d$ Unterschalen $\implies$ 2 + 6 + 10 = 18 Elektronen
• Die vierte Schale hat die $s$, $p$, $d$, und $f$ Unterschalen $\implies$ 2 + 6 + 10 + 14 = 32 Elektronen
• Die fünfte Schale hat die $s$, $p$, $d$, $f$ und $g$ Unterschalen $\implies$ 2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 50 Elektronen
• Die sechste Schale hat die $s$, $p$, $d$, $f$, $g$ und $h$ Unterschalen $\impliziert$ 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22 = 72 Elektronen

Das Muster ist also: $2, 8, 18, 32, 50, 72, …$ oder $2n^2$

In der Praxis haben keine bekannten Atome Elektronen in den $g$ oder $h$ Unterschalen, aber das quantenmechanische Modell sagt ihre Existenz voraus.

Die Verwendung von Quantenzahlen erklärt, warum die Schalen die Unterschalen haben, die sie haben, und warum die Unterschalen die Anzahl der Orbitale haben, die sie haben.

Elektronen in Atomen werden durch 4 Quantenzahlen definiert. Das Pauli-Ausschlussprinzip bedeutet, dass keine zwei Elektronen die gleichen Quantenzahlen haben können.

Die Quantenzahlen:

• $n$, die Hauptquantenzahl definiert die Schale. Die Werte von $n$ sind ganze Zahlen: $n=1,2,3,…$
• $\ell$, die Bahndrehimpulsquantenzahl definiert die Unterschale. Diese Quantenzahl bestimmt die Form der Orbitale (Wahrscheinlichkeitsdichten), in denen sich die Elektronen aufhalten. Die Werte von $\ell$ sind ganze Zahlen, die vom Wert von $n$ abhängen: $\ell = 0,1,2,…,n-1$
• $m_{\ell}$, die magnetische Quantenzahl, bestimmt die Orientierung des Orbitals im Raum. Diese Quantenzahl bestimmt auch die Anzahl der Orbitale pro Unterschale. Die Werte von $m_\ell$ sind ganzzahlig und hängen vom Wert von $\ell$ ab: $m_\ell = -\ell,…,-1,0,1,…,+\ell$
• $m_s$, die Spin-Drehimpuls-Quantenzahl bestimmt den Spin-Zustand eines jeden Elektrons. Da es nur zwei zulässige Werte für den Spin gibt, kann es auch nur zwei Elektronen pro Orbital geben. Die Werte von $m_s$ sind $m_s=\pm \frac{1}{2}$

Für die erste Schale ist $n=1$, also ist nur ein Wert von $\ell$ erlaubt: $\ell=0$, das ist die $s$-Unterschale. Für $\ell=0$ ist nur $m_\ell=0$ erlaubt. Die $s$-Unterschale hat also nur 1 Orbital. Die erste Schale hat 1 Unterschale, die 1 Orbital mit insgesamt 2 Elektronen hat.

Für die zweite Schale ist $n=2$, also sind die erlaubten Werte für $\ell$: $\ell=0$, das ist die $s$-Unterschale, und $\ell=1$, das ist die $p$-Unterschale. Für $\ell=1$ hat $m_\ell$ drei mögliche Werte: $m_\ell=-1,0,+1$. Die $p$-Unterschale hat also drei Orbitale. Die zweite Schale hat 2 Unterschalen: die $s$-Unterschale, die 1 Orbital mit 2 Elektronen hat, und die $p$-Unterschale, die 3 Orbitale mit 6 Elektronen hat, also insgesamt 4 Orbitale und 8 Elektronen.

Für die dritte Schale gilt $n=3$, also sind die zulässigen Werte von $\ell$: $\ell=0$, das ist die $s$-Unterschale, $\ell=1$, das ist die $p$-Unterschale, und $\ell=2$, das ist die $d$-Unterschale. Für $\ell=2$ hat $m_\ell$ fünf mögliche Werte: $m_\ell=-2,-1,0,+1,+2$. Die $d$-Unterschale hat also fünf Orbitale. Die dritte Schale hat 3 Unterschalen: die $s$-Unterschale, die 1 Orbital mit 2 Elektronen hat, die $p$-Unterschale, die 3 Orbitale mit 6 Elektronen hat, und die $d$-Unterschale, die 5 Orbitale mit 10 Elektronen hat, also insgesamt 9 Orbitale und 18 Elektronen.

Für die vierte Schale ist $n=4$, also sind die zulässigen Werte von $\ell$: $\ell=0$, das ist die $s$-Unterschale, $\ell=1$, das ist die $p$-Unterschale, $\ell=2$, das ist die $d$-Unterschale, und $\ell=3$, das ist die $f$-Unterschale. Für $\ell=3$ hat $m_\ell$ sieben mögliche Werte: $m_\ell=-3,-2,-1,0,+1,+2,-3$. Somit hat die $f$-Unterschale sieben Orbitale. Die vierte Schale hat 4 Unterschalen: die $s$-Unterschale, die 1 Orbital mit 2 Elektronen hat, die $p$-Unterschale, die 3 Orbitale mit 6 Elektronen hat, die $d$-Unterschale, die 5 Orbitale mit 10 Elektronen hat, und die $f$-Unterschale, die 7 Orbitale mit 14 Elektronen hat, also insgesamt 16 Orbitale und 32 Elektronen.