Mathematisch ist die einfachste Art der Transversalwelle eine ebene, linear polarisierte Sinuswelle. „Eben“ bedeutet hier, dass die Ausbreitungsrichtung unveränderlich und über das gesamte Medium gleich ist; „linear polarisiert“ bedeutet, dass auch die Richtung der Auslenkung unveränderlich und über das gesamte Medium gleich ist; und der Betrag der Auslenkung ist nur eine sinusförmige Funktion der Zeit und der Position entlang der Ausbreitungsrichtung.
Die Bewegung einer solchen Welle kann mathematisch wie folgt ausgedrückt werden. Sei d die Ausbreitungsrichtung (ein Vektor mit Einheitslänge) und o ein beliebiger Bezugspunkt im Medium. Sei u die Richtung der Schwingungen (ein weiterer Vektor mit Einheitslänge, der senkrecht zu d steht). Die Verschiebung eines Teilchens an einem beliebigen Punkt p des Mediums und einer beliebigen Zeit t (Sekunden) sei
S ( p , t ) = A u sin ( t – ( p – o ) ⋅ d v T + ϕ ) {\displaystyle S(p,t)=Au\sin {\left({\frac {t-(p-o)\cdot {\frac {d}{v}}{T}}+\phi \right)}}
wobei A die Amplitude oder Stärke der Welle ist, T ihre Periode, v die Ausbreitungsgeschwindigkeit und φ ihre Phase bei o. Alle diese Parameter sind reelle Zahlen. Das Symbol „-“ bezeichnet das innere Produkt zweier Vektoren.
Nach dieser Gleichung breitet sich die Welle in der Richtung d aus und die Schwingungen erfolgen hin und her entlang der Richtung u. Man sagt, die Welle sei in der Richtung u linear polarisiert.
Ein Beobachter, der auf einen festen Punkt p blickt, wird sehen, dass sich das dortige Teilchen in einer einfachen harmonischen (sinusförmigen) Bewegung mit einer Periode T Sekunden bewegt, mit maximaler Teilchenverschiebung A in jeder Richtung, d.h. mit einer Frequenz von f = 1/T vollen Schwingungszyklen pro Sekunde. Eine Momentaufnahme aller Teilchen zu einem festen Zeitpunkt t zeigt für alle Teilchen in jeder Ebene senkrecht zu d die gleiche Verschiebung, wobei die Verschiebungen in den aufeinanderfolgenden Ebenen ein sinusförmiges Muster bilden, wobei sich jeder volle Zyklus entlang d um die Wellenlänge λ = v T = v/f erstreckt. Das gesamte Muster bewegt sich in Richtung d mit der Geschwindigkeit V.
Die gleiche Gleichung beschreibt eine ebene linear polarisierte sinusförmige Lichtwelle, außer dass die „Verschiebung“ S(p, t) das elektrische Feld am Punkt p und zur Zeit t ist. (Das magnetische Feld wird durch die gleiche Gleichung beschrieben, aber mit einer „Verschiebungs“-Richtung, die senkrecht zu d und u ist, und einer anderen Amplitude.)
SuperpositionsprinzipBearbeiten
In einem homogenen elastischen Medium lassen sich komplexe Schwingungen (Schwingungen in einem Material oder Lichtströme) als Überlagerung vieler einfacher Sinuswellen beschreiben, die entweder transversal (linear polarisiert) oder longitudinal verlaufen.
Die Schwingungen einer Geigensaite beispielsweise lassen sich als Summe vieler Transversalwellen unterschiedlicher Frequenzen analysieren, die die Saite entweder nach oben oder unten oder von links nach rechts verschieben. Die Wellen in einem Teich können als eine Kombination von Transversal- und Longitudinalwellen (Schwerewellen) analysiert werden, die sich gemeinsam ausbreiten.
Zirkulare PolarisationBearbeiten
Wenn das Medium linear ist und mehrere unabhängige Verschiebungsrichtungen für dieselbe Ausbreitungsrichtung d zulässt, können wir zwei zueinander senkrechte Polarisationsrichtungen wählen und jede Welle, die in einer anderen Richtung linear polarisiert ist, als eine lineare Kombination (Mischung) dieser beiden Wellen ausdrücken.
Kombiniert man zwei Wellen mit gleicher Frequenz, Geschwindigkeit und Ausbreitungsrichtung, aber mit unterschiedlichen Phasen und unabhängigen Ausbreitungsrichtungen, so erhält man eine zirkulär oder elliptisch polarisierte Welle. In einer solchen Welle beschreiben die Teilchen zirkuläre oder elliptische Bahnen, anstatt sich hin und her zu bewegen.
Es mag zum Verständnis beitragen, das oben erwähnte Gedankenexperiment mit einer gespannten Schnur noch einmal zu betrachten. Beachten Sie, dass Sie auch Wellen auf der Schnur auslösen können, indem Sie Ihre Hand nach rechts und links bewegen, anstatt nach oben und unten. Dies ist ein wichtiger Punkt. Es gibt zwei unabhängige (orthogonale) Richtungen, in die sich die Wellen bewegen können (dies gilt für zwei beliebige, rechtwinklige Richtungen, wobei zur Verdeutlichung oben und unten sowie rechts und links gewählt wurden). Alle Wellen, die durch eine geradlinige Bewegung der Hand ausgelöst werden, sind linear polarisierte Wellen.
Stellen Sie sich nun aber vor, Sie bewegen Ihre Hand im Kreis. Ihre Bewegung wird eine spiralförmige Welle auf der Schnur auslösen. Du bewegst deine Hand gleichzeitig auf und ab und von Seite zu Seite. Die Maxima der seitlichen Bewegung liegen eine Viertelwellenlänge (oder ein Viertel eines Kreises, also 90 Grad oder π/2 Radiant) von den Maxima der Auf- und Abwärtsbewegung entfernt. An jedem beliebigen Punkt entlang der Saite beschreibt die Auslenkung der Saite denselben Kreis wie Ihre Hand, allerdings verzögert um die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle. Beachten Sie auch, dass Sie Ihre Hand wahlweise im oder gegen den Uhrzeigersinn bewegen können. Diese abwechselnden Kreisbewegungen erzeugen rechts und links zirkular polarisierte Wellen.
In dem Maße, in dem Ihr Kreis unvollkommen ist, wird eine regelmäßige Bewegung eine Ellipse beschreiben und elliptisch polarisierte Wellen erzeugen. Im Extremfall der Exzentrizität wird die Ellipse zu einer geraden Linie, die eine lineare Polarisation entlang der Hauptachse der Ellipse erzeugt. Eine elliptische Bewegung kann immer in zwei orthogonale lineare Bewegungen mit ungleicher Amplitude und 90 Grad Phasenverschiebung zerlegt werden, wobei die zirkulare Polarisation der Spezialfall ist, bei dem die beiden linearen Bewegungen die gleiche Amplitude haben.
