În Veneția secolului al XVI-lea, formulele de rezolvare a ecuațiilor erau o proprietate intelectuală bine păzită. De un interes deosebit pentru expertul în balistică și fortificații Niccolo Tartaglia erau ecuațiile pătratice și cubice, care modelează, printre altele, comportamentul proiectilelor în zbor. S-ar putea ca aceste ecuații să vă sune cunoscut de la matematică din școală – ecuațiile pătratice au în ele un termen x2, iar cele cubice un termen x3. Tartaglia și alți matematicieni au observat că unele soluții necesită rădăcinile pătrate ale numerelor negative, ceea ce reprezintă o problemă. Numerele negative nu au rădăcini pătrate – nu există niciun număr care, atunci când este înmulțit cu el însuși, să dea un număr negativ. Acest lucru se datorează faptului că numerele negative, atunci când sunt înmulțite împreună, dau un rezultat pozitiv: -2 × -2 = 4 (nu -4).
Tartaglia și rivalul său, Gerolamo Cardano, au observat că, dacă permiteau rădăcini pătrate negative în calculele lor, puteau totuși să dea răspunsuri numerice valide (numere reale, așa cum le numesc matematicienii). Tartaglia a învățat acest lucru pe calea cea mai grea atunci când a fost învins de unul dintre elevii lui Cardano într-un duel de rezolvare a ecuațiilor care a durat o lună, în 1530.
- Cinci fapte ciudate despre matematică
- Poate matematica să învingă terorismul?
Matematicienii folosesc i pentru a reprezenta rădăcina pătrată a lui minus unu. Aceasta se numește unitatea imaginară – nu este un număr real, nu există în viața „reală”. Totuși, o putem folosi pentru a găsi rădăcinile pătrate ale numerelor negative. Dacă vreau să calculez rădăcinile pătrate ale lui -4, pot spune că -4 = 4 × -1. Acest lucru înseamnă că rădăcina pătrată a lui -4 este rădăcina pătrată a lui 4 înmulțită cu rădăcina pătrată a lui -1. În simboluri:
√-4= √4×√-1
Rădăcina pătrată a lui 4 este 2, iar rădăcina pătrată a lui -1 este i, ceea ce ne dă răspunsul că rădăcina pătrată a lui -4 este 2i. Ar trebui să observăm, de asemenea, că -2 este, de asemenea, o rădăcină pătrată a lui 4 din motivele menționate mai sus. Aceasta înseamnă că rădăcinile pătrate ale lui -4 sunt 2i și -2i.
Aritmetica lui i în sine a reprezentat inițial un obstacol pentru matematicieni. Am afirmat mai sus că un negativ înmulțit cu un negativ dă un pozitiv, iar noi suntem familiarizați în mod înnăscut cu ideea că un pozitiv înmulțit cu un pozitiv dă un pozitiv. În cazul unității imaginare, acest lucru pare să se rupă, cu două pozitive care se înmulțesc pentru a da un negativ:
i × i = i2 = -1
În mod egal, aici două negative se înmulțesc pentru a da un negativ:
-i × -i = i2 = -1
Aceasta a fost o problemă pentru o vreme și i-a făcut pe unii oameni să simtă că utilizarea lor în matematica formală nu era riguroasă. Rafael Bombelli, un alt renascentist italian, a scris în 1572 o carte intitulată, pur și simplu, Algebra, în care a încercat să explice matematica oamenilor fără expertiză la nivel de diplomă, făcându-l un pionier timpuriu al educației. În Algebra, el explică cum să efectueze aritmetica pe numere pozitive, negative și imaginare, susținând că unitatea imaginară (i nu a fost folosit ca simbol până în secolul al XVIII-lea) nu era nici pozitivă, nici negativă și, prin urmare, nu se supunea regulilor obișnuite ale aritmeticii.
Lucrarea acestor matematicieni asupra numerelor imaginare a permis dezvoltarea a ceea ce se numește acum Teorema fundamentală a algebrei. În termeni de bază, numărul de soluții ale unei ecuații este întotdeauna egal cu cea mai mare putere a necunoscutei din ecuație. De exemplu, când am calculat rădăcinile pătrate ale lui -4 de mai sus, am rezolvat ecuația x2= -4. Puterea cea mai mare (și singura) a necunoscutei x din ecuație este două și iată că am găsit două răspunsuri, 2i și -2i.
Cu o ecuație cubică, unde puterea cea mai mare este trei, ar trebui să obțin trei soluții. Să ne uităm la x3 + 4x = 0, care este aceeași formă de ecuație cubică de care s-a ocupat Tartaglia. x = 0 este o soluție, deoarece 03 – 4 × 0 = 0 – 0 = 0, îndeplinind ecuația. Dar cum rămâne cu celelalte două soluții pe care le așteptăm de la o cubică?
Bine, nu mai există soluții reale ale ecuației, dar există soluții imaginare. De fapt, 2i și -2i sunt și ele soluții ale acestei ecuații, ceea ce ne dă cele trei soluții în total.
Ascultați episoadele Science Focus Podcast despre matematică:
- Ce-i cu algoritmii? – Hannah Fry
- Ce se întâmplă atunci când matematica merge groaznic, groaznic de prost? – Matt Parker
Abia la câteva sute de ani după Bombelli, teorema fundamentală a algebrei a fost demonstrată în mod riguros de către managerul librăriei pariziene Jean-Robert Argand în 1806. Argand a fost, de asemenea, un pionier în relaționarea numerelor imaginare cu geometria prin intermediul conceptului de numere complexe.
Numerele complexe sunt numere cu o parte reală și o parte imaginară. De exemplu, 4 + 2i este un număr complex cu o parte reală egală cu 4 și o parte imaginară egală cu 2i. Se pare că atât numerele reale, cât și numerele imaginare sunt, de asemenea, numere complexe. De exemplu, 17 este un număr complex cu o parte reală egală cu 17 și o parte imaginară egală cu zero, iar ieste un număr complex cu o parte reală egală cu zero.
Un alt francez, Abraham de Moivre, a fost printre primii care a legat numerele complexe de geometrie cu teorema sa din 1707 care a legat numerele complexe și trigonometria împreună. Argand a dezvoltat apoi diagramele Argand, care sunt ca un grafic normal cu o axă x și y, cu excepția faptului că axele sale sunt numerele reale și cele imaginare. Aceste descoperiri au permis rezolvarea problemelor algebrice complexe cu ajutorul geometriei.
Ca multe dezvoltări în matematică, toate acestea au fost de interes pur academic până la apariția erei electronice moderne. Numerele complexe s-au dovedit a fi incredibil de utile în analiza a tot ceea ce vine în unde, cum ar fi radiațiile electromagnetice pe care le folosim în radiouri și wifi, semnalele audio pentru muzică și comunicare vocală și sursele de alimentare cu curent alternativ. De asemenea, fizica cuantică reduce toate particulele la forme de undă, ceea ce înseamnă că numerele complexe sunt esențiale pentru înțelegerea acestei lumi ciudate care ne-a permis să ne bucurăm de computerele moderne, de fibra optică, de GPS, de imagistica RMN, pentru a numi doar câteva dintre acestea. Slavă Domnului că matematicienii, de acum 500 de ani și până în prezent, au decis că numerele imaginare merită să fie cercetate până la urmă.
Follow Science Focus pe Twitter, Facebook, Instagram și Flipboard