Modelare matematică

Câteva funcții vin pe bucățele. În această secțiune, vom învăța cum să definim și să reprezentăm grafic funcții care sunt, în esență, colecții de bucăți discrete. Exemple de ceva definit în acest fel includ proiectarea profilului unei mașini, calcularea planului de telefonie mobilă și calcularea ratelor de impozit pe venit. De exemplu, rata de impozitare depinde de venitul dvs. și este aceeași pentru o gamă de venituri, așa cum se arată în tabelul de mai jos:

O funcție pe bucăți este o funcție în care se utilizează mai mult de o formulă pentru a defini ieșirea pe diferite părți ale domeniului.

Utilizăm funcțiile pe bucăți pentru a descrie situațiile în care o regulă sau o relație se modifică pe măsură ce valoarea de intrare traversează anumite „limite”. De exemplu, întâlnim adesea situații în afaceri pentru care costul pe bucată al unui anumit articol este redus odată ce numărul comandat depășește o anumită valoare. Cotele de impozitare sunt un alt exemplu din lumea reală de funcții pe bucăți. De exemplu, luați în considerare un sistem fiscal simplu în care veniturile de până la 10.000 de dolari sunt impozitate cu 10%, iar orice venit suplimentar este impozitat cu 20%. Impozitul pe un venit total, S, ar fi 0,1S dacă S\le 10.000$ și 1000 + 0,2 (S – 10.000$), dacă S> 10.000$.

Evaluarea unei funcții definite pe bucăți

În primul exemplu, vom arăta cum se evaluează o funcție definită pe bucăți. Observați cum este important să acordați atenție domeniului pentru a determina ce expresie să utilizați pentru a evalua intrarea.

În videoclipul următor arătăm cum să evaluăm mai multe valori dată o funcție definită fragmentar.

În exemplul următor arătăm cum să evaluăm o funcție care modelează costul transferului de date pentru o companie de telefonie.

Analiză a soluției

Funcția este reprezentată în graficul de mai jos. Se poate observa unde funcția trece de la o constantă la o dreaptă cu pantă pozitivă la g=2. Trasăm graficele pentru diferitele formule pe un set comun de axe, asigurându-ne că fiecare formulă este aplicată pe domeniul său corespunzător.

C(g) = C\left(g\right)=\begin{cases}{25}\text{ if }{ 0 }<{ g }<{ 2 }\\ 10g+5\text{ if }{ g}\ge{ 2 }\end{cases}

Scrierea unei funcții definite pe bucăți

În ultimul exemplu vom arăta cum să scriem o funcție definită pe bucăți care să modeleze prețul unui tur ghidat la muzeu.

Analiza soluției

Funcția este reprezentată în figura 21. Graficul este o linie diagonală de la n=0 la n=10 și o constantă după aceea. În acest exemplu, cele două formule sunt de acord în punctul de întâlnire unde n=10, dar nu toate funcțiile pe bucățele au această proprietate.

În videoclipul următor prezentăm un exemplu de scriere a unei funcții definite pe bucățele având în vedere un scenariu.

Graficați funcțiile piecewise

În această secțiune, vom reprezenta grafic funcțiile piecewise. Funcția trasată mai jos reprezintă costul de transfer al datelor pentru o anumită companie de telefonie mobilă. Putem vedea unde funcția trece de la o constantă la o dreaptă cu pantă pozitivă la g=2. Atunci când trasăm funcții pe bucăți, este important să ne asigurăm că fiecare formulă este aplicată pe domeniul său corespunzător.C\left(g\right)=\begin{cases}{25} \text{ if }{ 0 }<{ g }<{ 2 }\\10g+5\text{ if }{ g}\ge{ 2 }\end{cases}

În acest caz, rezultatul este 25 pentru orice intrare între 0 și 2. Pentru valori mai mari sau egale cu 2, ieșirea este definită ca fiind 10g+5.

Exemplu

Scrieți un grafic al funcției.

Dată definiția pe bucăți f(x)=\început{cazuri}-x – 3\text{ if }x < -3\\ x + 3\text{ if } x \ge -3\end{cases}
Desenați graficul lui f.
Spuneți domeniul și intervalul funcției.

Afișați răspunsul

În primul rând, reprezentați grafic dreapta f(x) = -x-3, ștergând partea în care x este mai mare decât -3. Așezați un cerc deschis în punctul (-3,0).

Apoi așezați dreapta f(x) = x+3 pe grafic, începând cu punctul (-3,0). Observați că pentru această porțiune a graficului, punctul (-3,0) este inclus, astfel încât puteți elimina cercul deschis.

Cele două grafice se întâlnesc în punctul (-3,0)

Domeniul acestei funcții este reprezentat de toate numerele reale, deoarece (-3,0)nu este inclus ca punct final al lui f(x) = -x-3, dar este inclus ca punct final pentru f(x) = x+3.

Domeniul acestei funcții începe de la f(x)=0 și include 0, și merge până la infinit, astfel încât am scrie acest lucru ca x\ge0

În următorul exemplu, vom reprezenta grafic o funcție definită fragmentar care modelează costul de expediere pentru un retailer online de benzi desenate.

Exemplu

Un retailer online de benzi desenate percepe costurile de expediere conform următoarei formule

S(n)=\begin{cases}1.5n+2.5\text{ if }1\le{n}\le14\\0\text{ if }n\ge15\end{cases}

Desenați un grafic al funcției de cost.

Afișați răspunsul

În primul rând, desenați linia S(n)=1.5n+2.5. Putem folosi transformări: aceasta este o întindere pe verticală a identității de un factor 1,5 și o deplasare pe verticală de 2,5.

S(n)=1,5n+2.5

Acum putem elimina porțiunile din grafic care nu se află în domeniul bazat pe 1\le{n}\le14

S(n) = 1.5n+2.5 pentru 1<=n<=14

În sfârșit, adăugăm funcția constantă S(n)=0 pentru intrări mai mari sau egale cu 15. Așezați puncte închise la capetele graficului pentru a indica includerea punctelor finale.

În videoclipul următor arătăm cum să reprezentăm grafic o funcție definită fragmentar care este liniară pe ambele domenii.

Rezumat

• O funcție piecewise este o funcție în care se utilizează mai mult de o formulă pentru a defini ieșirea pe diferite părți ale domeniului.
• Evaluarea unei funcții piecewise înseamnă că trebuie să acordați o atenție deosebită expresiei corecte utilizate pentru intrarea dată

Pentru a reprezenta grafic funcțiile piecewise, mai întâi identificați unde este împărțit domeniul. Reprezentați grafic funcțiile pe domeniu folosind instrumente precum punctele de trasare sau transformările. Aveți grijă să folosiți cercuri deschise sau închise pe punctele finale ale fiecărui domeniu, în funcție de faptul dacă punctul final este sau nu inclus.

.