1 Introducere
Modelarea matematică se referă la utilizarea limbajului matematic pentru a simula comportamentul unui sistem din „lumea reală” (practică). Rolul său este de a oferi o mai bună înțelegere și caracterizare a sistemului. Teoria este utilă pentru a trage concluzii generale din modele simple, iar computerele sunt utile pentru a trage concluzii specifice din modele complicate (Bender, 2000 ). În teoria vibrațiilor mecanice, modelele matematice – denumite modele structurale – sunt utile pentru analiza comportamentului dinamic al structurii modelate.
Cerința pentru o performanță îmbunătățită și fiabilă a structurilor vibrante în ceea ce privește greutatea, confortul, siguranța, zgomotul și durabilitatea este în continuă creștere, în timp ce, în același timp, există o cerere pentru cicluri de proiectare mai scurte, o durată de funcționare mai lungă, minimizarea necesităților de inspecție și reparații și costuri reduse. Odată cu apariția computerelor puternice, efectuarea de simulări numerice a devenit mai puțin costisitoare, atât din punct de vedere al costurilor, cât și al timpului, decât efectuarea unui experiment sofisticat. Consecința a fost o schimbare considerabilă către proiectarea asistată de calculator și experimentele numerice, în care modelele structurale sunt folosite pentru a simula experimentele și pentru a realiza predicții precise și fiabile ale comportamentului viitor al structurii.
Chiar dacă intrăm în era prototipurilor virtuale (Van Der Auweraer, 2002 ), testarea experimentală și identificarea sistemului joacă încă un rol cheie, deoarece ajută dinamistul structural să reconcilieze predicțiile numerice cu investigațiile experimentale. Termenul de „identificare a sistemului” este uneori utilizat într-un context mai larg în literatura tehnică și se poate referi, de asemenea, la extragerea de informații despre comportamentul structural direct din datele experimentale, adică fără a solicita neapărat un model (de exemplu, identificarea numărului de moduri active sau a prezenței frecvențelor naturale într-un anumit interval de frecvență). În lucrarea de față, identificarea sistemului se referă la dezvoltarea (sau îmbunătățirea) modelelor structurale pornind de la măsurătorile de intrare și ieșire efectuate pe structura reală cu ajutorul dispozitivelor de detectare a vibrațiilor.
Identificarea sistemelor liniare este o disciplină care a evoluat considerabil în ultimii 30 de ani (Ljung, 1987 ; Soderstrom și Stoica, 1989 ). Estimarea parametrilor modali – denumită analiză modală – este indubitabil cea mai populară abordare pentru realizarea identificării sistemelor liniare în dinamica structurală. Modelul sistemului este cunoscut ca fiind sub forma parametrilor modali, și anume frecvențele naturale, formele modale și rapoartele de amortizare. Popularitatea analizei modale provine din marea sa generalitate; parametrii modali pot descrie comportamentul unui sistem pentru orice tip de intrare și pentru orice interval de intrare. Numeroase abordări au fost dezvoltate în acest scop: metoda Ibrahim în domeniul timpului (Ibrahim și Mikulcik, 1973 ), algoritmul de realizare a sistemului energetic (Juang și Pappa, 1985 ), metoda de identificare a subspațiului stochastic (Van Overschee și De Moor, 1996 ), metoda polireferențială a celor mai mici pătrate în domeniul frecvențelor complexe (Peeters et al., 2004 ), pentru a cita doar câteva dintre ele. O descriere a analizei modale nu face parte din domeniul de aplicare al prezentei lucrări; cititorul interesat poate consulta (Heylen et al., 1997 ; Maia și Silva, 1997 ; Ewins, 2000 ) pentru detalii suplimentare. Cu toate acestea, este important de remarcat faptul că identificarea modală a structurilor puternic amortizate sau a structurilor industriale complexe cu densitate modală ridicată și suprapunere modală mare este acum la îndemână. Unificarea dezvoltării teoretice a algoritmilor de identificare modală a fost încercată în (Allemang și Brown, 1998 ; Allemang și Phillips, 2004 ), ceea ce reprezintă un alt semn al maturității acestui domeniu de cercetare.
În această lucrare de prezentare generală se pune accentul pe identificarea sistemelor structurale în prezența neliniarității. Neliniaritatea este generică în natură, iar comportamentul liniar este o excepție. În dinamica structurală, sursele tipice de neliniaritate sunt:
–
Neliniaritatea geometrică rezultă atunci când o structură este supusă unor deplasări mari și apare din energia potențială. O ilustrare este pendulul simplu, a cărui ecuație de mișcare este θ¨+ω02sinθ=0; termenul neliniar ω02sinθ reprezintă neliniaritatea geometrică, deoarece modelează mișcări unghiulare mari. Deformațiile mari ale continuităților elastice flexibile, cum ar fi grinzile, plăcile și cochiliile, sunt, de asemenea, responsabile de neliniaritățile geometrice (a se vedea, de exemplu, (Amabili și Paidoussis, 2003 ; Nayfeh și Pai, 2004 )). Un exemplu de banc de încercare care prezintă o neliniaritate geometrică este prezentat în Fig. 1. O grindă în consolă este conectată la capătul său drept la o grindă subțire, scurtă, care prezintă o neliniaritate geometrică atunci când apar deformări mari.
Fig. 1. Grindă în consolă conectată la o grindă subțire și scurtă (reper ECL; acțiunea COST F3): (a) dispozitiv experimental; (b) prim-plan al conexiunii.
–
Nonlinearitatea de inerție derivă din termenii neliniari care conțin viteze și/sau accelerații în ecuațiile de mișcare și își are sursa în energia cinetică a sistemului (de ex, termenii de accelerație convectivă într-un continuum și accelerațiile Coriolis în mișcările corpurilor care se deplasează în raport cu cadre rotative).
–
Un comportament neliniar al materialelor poate fi observat atunci când legea constitutivă care relaționează tensiunile și deformațiile este neliniară. Acesta este adesea cazul spumelor (White et al., 2000 ; Schultze et al., 2001 ; Singh et al., 2003 ) și al sistemelor de montare elastice, cum ar fi izolatorii din cauciuc (Richards și Singh, 2001 ).
–
Disiparea amortizării este în esență un fenomen neliniar și încă nu este pe deplin modelat și înțeles. Ipoteza de amortizare modală nu este neapărat cea mai adecvată reprezentare a realității fizice, iar utilizarea sa pe scară largă trebuie atribuită comodității sale matematice. Efectele de frecare uscată (corpuri în contact, alunecând unul față de celălalt) și amortizarea histeretică sunt exemple de amortizare neliniară (a se vedea, de exemplu, Caughey și Vijayaraghavan, 1970; Tomlinson și Hibbert, 1979; Sherif și Abu Omar, 2004; Al-Bender et al., 2004 ). Este important de remarcat faptul că frecarea uscată afectează dinamica în special pentru mișcarea de amplitudine mică, ceea ce este contrar a ceea ce ar putea fi așteptat de înțelepciunea convențională. De exemplu, izolatorii cu cablu de sârmă elicoidală descriși în figura 2 sunt caracterizați de un comportament de înmuiere (Juntunen, 2003 ) cu frecare în interiorul cablului de sârmă și schimbarea geometriei buclei de sârmă atunci când este încărcat; pentru acest sistem, frecvența de rezonanță se deplasează în jos pe măsură ce nivelul de excitație este crescut, ceea ce reprezintă o indicație clară a unui comportament neliniar.
Fig. 2. Izolatori cu cablu de sârmă elicoidal (punct de referință VTT; COST Action F3): (a) dispozitiv experimental; izolatorii sunt montați între masa de bază a unui agitator electrodinamic și o masă de sarcină; (b) forța de restabilire măsurată.
–
Nonaritatea poate rezulta și din cauza condițiilor la limită (de exemplu, suprafețe libere în fluide, vibro-impacte datorate articulațiilor libere sau contactelor cu constrângeri rigide, jocuri, corpuri elastice imperfect lipite), sau anumite forțe externe neliniare ale corpului (de ex, forțe magnetoelastice, electrodinamice sau hidrodinamice). Neliniaritatea de degajare și de vibro-impact posedă o caracteristică forță-deflexie neuniformă, așa cum se arată în Fig. 3 și, în general, necesită un tratament special în comparație cu alte tipuri de neliniarități (Babitsky și Krupenin, 2001 ).
Fig. 3. Grinda de impact: (a) dispozitiv experimental; (b) forța de restabilire măsurată.
Multe exemple practice de comportament dinamic neliniar au fost raportate în literatura inginerească. În industria automobilelor, scârțâitul frânelor, care este o vibrație autoexcitată a rotorului de frână legată de variația frecării dintre plăcuțe și rotor, este un exemplu iritant, dar care nu pune în pericol viața, de efect nedorit al neliniarității (Rhee et al., 1989 ). Multe automobile au suporturi de motor viscoelastice care prezintă un comportament neliniar marcat: dependență de amplitudine, frecvență și preîncărcare. Într-o aeronavă, pe lângă interacțiunea neliniară fluid-structură, neliniaritățile tipice includ jocul și frecarea suprafețelor de control și a articulațiilor, neliniaritățile de întărire în conexiunea dintre motor și pilon și efectele de saturație în actuatoarele hidraulice. În (Von Karman, 1940 ) este descris un avion comercial în care elicele au indus o vibrație subarmonică de ordinul 1/2 în aripi care a produs o vibrație subarmonică de ordinul 1/4 în cârmă. Oscilațiile au fost atât de violente încât efectele asupra avionului au fost catastrofale (Nayfeh și Mook, 1979 ). În sistemele mecatronice, sursele de neliniarități sunt frecarea din rulmenți și ghidaje, precum și jocul și jocurile din articulațiile robotizate. În ingineria civilă, multe structuri demontabile, cum ar fi tribunele de la concerte și evenimente sportive, sunt predispuse la neliniarități structurale substanțiale ca urmare a slăbiciunii articulațiilor. Acest lucru creează atât jocuri, cât și frecare și poate invalida orice simulări bazate pe modele liniare ale comportamentului creat de mișcarea mulțimii. Neliniaritatea poate apărea, de asemenea, într-o structură avariată: fisuri de oboseală, nituri și șuruburi care se deschid și se închid ulterior sub sarcină dinamică sau părți interne care se lovesc unele de altele.
Cu un interes continuu pentru extinderea anvelopei de performanță a structurilor la viteze din ce în ce mai mari, există necesitatea de a proiecta elemente structurale mai ușoare, mai flexibile și, în consecință, mai neliniare. Rezultă că cererea de a utiliza componente structurale neliniare (sau chiar puternic neliniare) este din ce în ce mai prezentă în aplicațiile inginerești. Prin urmare, este destul de paradoxal să observăm că, de foarte multe ori, comportamentul liniar este considerat de la sine înțeles în dinamica structurală. De ce se întâmplă acest lucru? Ar trebui să se recunoască faptul că, la mișcări de amplitudine suficient de mică, teoria liniară poate fi exactă pentru modelare, deși nu este întotdeauna cazul (de exemplu, frecarea uscată). Cu toate acestea, motivul principal este că teoria sistemelor dinamice neliniare este mult mai puțin stabilită decât omologul său liniar. Într-adevăr, principiile de bază care se aplică unui sistem liniar și care stau la baza analizei modale nu mai sunt valabile în prezența neliniarității. În plus, chiar și sistemele neliniare slabe pot prezenta fenomene extrem de interesante și complexe pe care sistemele liniare nu le pot prezenta. Aceste fenomene includ salturi, bifurcații, saturație, rezonanțe subarmonice, supraarmonice și interne, capturi de rezonanță, cicluri limită, interacțiuni modale și haos. Cititorii care caută o introducere în domeniul oscilațiilor neliniare pot consulta (Nayfeh și Mook, 1979 ; Strogatz, 1994 ; Verhulst, 1999 ; Rand, 2003 ). Cititorii mai înclinați spre matematică se pot referi la (Guckenheimer și Holmes, 1983 ; Wiggins, 1990 ). Un scurt tutorial care subliniază diferențele importante dintre dinamica liniară și cea neliniară este disponibil în secțiunea 2.1 din această lucrare.
Aceasta nu înseamnă că sistemele neliniare nu au primit o atenție considerabilă în ultimele decenii. Chiar dacă, timp de ani de zile, o modalitate de a studia sistemele neliniare a fost abordarea prin liniarizare (Caughey, 1963 ; Iwan, 1973 ), au fost depuse multe eforturi pentru a dezvolta teorii pentru investigarea sistemelor neliniare în dinamica structurală. O extensie neliniară a conceptului de forme de modă a fost propusă în (Rosenberg, 1962 ; Rosenberg, 1966 ) și investigată în continuare în (Rand, 1974 ; Shaw și Pierre, 1993 ; Vakakis et al., 1996 ; Vakakis, 1997 ). Sistemele slab neliniare au fost analizate amănunțit cu ajutorul teoriei perturbațiilor (Nayfeh și Mook, 1979 ; Nayfeh, 1981 ; O’Malley, 1991 ; Kevorkian și Cole, 1996 ). Metodele de perturbare includ, de exemplu, metoda mediei, tehnica Lindstedt-Poincaré și metoda scărilor multiple și au ca scop obținerea unor aproximări asimptotice uniforme ale soluțiilor. În ultimul deceniu sau cam așa ceva, s-a asistat la o tranziție de la structuri slab neliniare la structuri puternic neliniare (prin sisteme puternic neliniare se înțelege un sistem pentru care termenii neliniare sunt de același ordin cu termenii liniari) datorită extinderii tehnicilor clasice de perturbare (Chan et al., 1996 ; Chen și Cheung, 1996 ) și dezvoltarea de noi metodologii (Pilipchuk, 1985 ; Manevitch, 1999 ; Qaisi și Kilani, 2000 ; Babitsky și Krupenin, 2001 ).
Recent, câteva studii au propus să profite de neliniarități în loc să le ignore sau să le evite, ceea ce reprezintă o schimbare interesantă de paradigmă. De exemplu, conceptul de rezonanță parametrică este exploatat pentru a proiecta oscilatoare microelectromecanice cu capacități de filtrare în (Rhoads et al., 2005 ). În (Vakakis și Gendelman, 2001; Vakakis et al., 2004a; Kerschen et al., 2005b ), se arată că neliniaritatea esențială (adică neliniarizabilă) conduce la fenomene ireversibile de transfer neliniar de energie neliniară între subsisteme – denumite pompare neliniară de energie. În (Nichols et al., 2004 ), interogarea haotică și reconstrucția spațiului de fază sunt utilizate pentru a evalua rezistența unei conexiuni cu șuruburi într-o grindă compozită. În (Epureanu și Hashmi, 2005 ), forma geometrică a atractorilor dinamici este exploatată pentru a pune în valoare mici variații parametrice într-un sistem.
Centrându-ne acum pe dezvoltarea (sau îmbunătățirea) modelelor structurale din măsurători experimentale în prezența neliniarității, de ex, identificarea sistemelor neliniare, suntem forțați să admitem că nu există o metodă generală de analiză care să poată fi aplicată tuturor sistemelor în toate cazurile (a se vedea, de exemplu, sintezele anterioare (Adams și Allemang, 1998 ; Worden, 2000 )), așa cum este cazul analizei modale în dinamica structurală liniară. În plus, multe tehnici care sunt capabile să se ocupe de sisteme cu dimensionalitate redusă se prăbușesc dacă se confruntă cu un sistem cu densitate modală ridicată. Două motive pentru acest eșec, și anume inaplicabilitatea diverselor concepte ale teoriei liniare și natura extrem de „individualistă” a sistemelor neliniare, sunt discutate în secțiunea 2.1. Un al treilea motiv este faptul că funcția S care face corespondența între intrarea x(t) și ieșirea y(t), y(t)=S, nu este cunoscută dinainte. De exemplu, omniprezentul oscilator Duffing (Duffing, 1918 ), a cărui ecuație de mișcare este my¨(t)+cy˙(t)+ky(t)+k3y3(t)=x(t), reprezintă un exemplu tipic de formă polinomială de neliniaritate a forței de restabilire, în timp ce amortizarea histeretică este un exemplu de formă nepolinomială de neliniaritate. Aceasta reprezintă o dificultate majoră în comparație cu identificarea sistemelor liniare pentru care structura funcțională este bine definită.
Chiar dacă există o diferență între modul în care se făcea identificarea sistemelor neliniare „istoric” și modul în care se face acum, procesul de identificare poate fi privit ca o progresie prin trei etape, și anume detectarea, caracterizarea și estimarea parametrilor, așa cum este prezentat în figura 4. Odată ce comportamentul neliniar a fost detectat, se spune că un sistem neliniar este caracterizat după ce se determină locația, tipul și forma funcțională a tuturor neliniarităților din sistem. Parametrii modelului selectat sunt apoi estimați cu ajutorul unor algoritmi de ajustare liniară a celor mai mici pătrate sau de optimizare neliniară, în funcție de metoda considerată.
Fig. 4. Procesul de identificare.
Identificarea sistemului neliniar este o parte integrantă a procesului de verificare și validare(V&V). Conform lui (Roache, 1998 ), verificarea se referă la rezolvarea corectă a ecuațiilor, adică la efectuarea calculelor într-o manieră corectă din punct de vedere matematic, în timp ce validarea se referă la rezolvarea corectă a ecuațiilor, adică la formularea unui model matematic și selectarea coeficienților astfel încât fenomenul fizic de interes să fie descris la un nivel adecvat de fidelitate. După cum se menționează în (Doebling, 2002 ), o definiție care surprinde multe dintre aspectele importante ale validării modelelor este preluată din literatura de specialitate din domeniul științelor simulării:
Susținerea faptului că un model, în domeniul său de aplicabilitate, posedă o gamă satisfăcătoare de acuratețe, în concordanță cu aplicația preconizată a modelului (Schlesinger et al., 1979 ).
Discutarea verificării și validării depășește sfera de aplicare a acestei lucrări de prezentare generală; cititorul poate consulta (Roache, 1998 ; Link și Friswell, 2003 ; Babuska și Oden, 2004 ; Hemez et al., 2005 ) și referințele din acestea.
Scopul lucrării: Motivația care stă la baza acestei lucrări de studiu este triplă. În primul rând, este menit să ofere un punct de plecare concis pentru cercetătorii și practicienii deopotrivă care doresc să evalueze stadiul actual al tehnicii în identificarea modelelor structurale neliniare. În al doilea rând, lucrarea intenționează să treacă în revistă mai multe metode care au fost propuse în literatura tehnică și să evidențieze unele dintre motivele care împiedică aplicarea acestor tehnici în cazul structurilor complexe. Ultimul obiectiv al acestei lucrări este de a identifica viitoarele nevoi de cercetare care ar ajuta la „împingerea limitei” în identificarea sistemelor neliniare.
Subiectul dinamicii neliniare este extrem de vast și există o literatură vastă. Această lucrare este în mod inevitabil înclinată spre acele domenii cu care autorii sunt cel mai bine familiarizați, și aceasta înseamnă, desigur, acele domenii în care autorii și colegii lor au efectuat cercetări. Prin urmare, nu este o trecere în revistă cuprinzătoare a abordărilor trecute și actuale pentru identificarea structurilor dinamice neliniare; de exemplu, nu există nicio încercare de a rezuma multe dintre dezvoltările care își au originea în teoria controlului.
Proiectarea experimentului (de exemplu, selectarea surselor de excitație, numărul și amplasarea senzorilor) care condiționează succesul procesului de identificare nu este descrisă în prezentul document. Unele informații pot fi găsite în (Leontaritis și Billings, 1987 ; Duym și Schoukens, 1995 ; Worden și Tomlinson, 2001 ). Nici identificarea sistemului în prezența vibrațiilor haotice (Moon, 1987 ) nu este discutată.
.