Afișează notificare mobilă Afișează toate notele Ascunde toate notele
Secțiunea 4-1 : Definiția
Știți, este întotdeauna un pic înfricoșător când dedicăm o întreagă secțiune doar definiției unui lucru. Transformările Laplace (sau doar transformările) pot părea înfricoșătoare atunci când începem să ne uităm la ele pentru prima dată. Cu toate acestea, după cum vom vedea, ele nu sunt atât de rele pe cât pot părea la prima vedere.
Înainte de a începe cu definiția transformării Laplace, trebuie să scoatem din drum o altă definiție.
O funcție se numește continuă pe bucăți pe un interval dacă intervalul poate fi împărțit într-un număr finit de subintervale pe care funcția este continuă pe fiecare subinterval deschis (adică subintervalul fără puncte de capăt) și are o limită finită la punctele de capăt ale fiecărui subinterval. Mai jos este o schiță a unei funcții continue pe bucățele.
Cu alte cuvinte, o funcție continuă pe bucățele este o funcție care are un număr finit de întreruperi în ea și care nu explodează la infinit nicăieri.
Acum, să aruncăm o privire la definiția transformării Laplace.
Definiție
Să presupunem că \(f(t)\) este o funcție continuă pe bucăți. Transformata Laplace a lui \(f(t)\) se notează \(\mathcal{L}\left\{ {f\left( t \right)}. \right\}\) și se definește ca
\
Există o notație alternativă pentru transformările Laplace. Pentru comoditate, vom nota adesea transformările Laplace ca fiind,
\
Cu această notație alternativă, rețineți că transformarea este de fapt o funcție a unei noi variabile, \(s\), și că toate \(t\) vor dispărea în procesul de integrare.
Acum, integrala din definiția transformării se numește integrală improprie și ar fi probabil cel mai bine să ne reamintim cum funcționează aceste tipuri de integrale înainte de a trece efectiv la calcularea unor transformări.
Acum că ne amintim cum să le facem, să calculăm câteva transformări Laplace. Vom începe cu probabil cea mai simplă transformare Laplace de calculat.
Nu este foarte mult de făcut aici în afară de a introduce funcția \(f(t) = 1\) în \(\eqref{eq:eq1}\)
\
Acum, în acest moment, observați că aceasta nu este nimic mai mult decât integrala din exemplul anterior cu \(c = – s\). Prin urmare, tot ce trebuie să facem este să reutilizăm \(\eqref{eq:eq2}\) cu substituția corespunzătoare. Făcând acest lucru se obține,
\
Sau, cu o oarecare simplificare, avem,
\
Observați că a trebuit să punem o restricție pe \(s\) pentru a calcula efectiv transformarea. Toate transformările Laplace vor avea restricții pe \(s\). În acest stadiu al jocului, această restricție este ceva ce avem tendința de a ignora, dar chiar nu ar trebui să uităm niciodată că există.
Să facem un alt exemplu.
Introduceți funcția în definiția transformării și faceți o mică simplificare.
\\
Încă o dată, observați că putem folosi \(\eqref{eq:eq2}\) cu condiția ca \(c = a – s\). Deci, să facem acest lucru.
\
Să facem încă un exemplu care nu se reduce la o aplicație a lui \(\eqref{eq:eq2}\).
Așa cum arată acest exemplu, calculul transformărilor Laplace este adesea dezordonat.
Înainte de a trece la secțiunea următoare, trebuie să facem o mică notă secundară. Ocazional, veți vedea următoarele ca definiție a transformării Laplace.
\
Rețineți schimbarea limitei inferioare de la zero la infinit negativ. În aceste cazuri se presupune aproape întotdeauna că funcția \(f(t)\) este de fapt definită după cum urmează,
\
Cu alte cuvinte, se presupune că funcția este zero dacă t<0. În acest caz, prima jumătate a integralei va dispărea deoarece funcția este zero și vom reveni la definiția dată în . De obicei se folosește o funcție Heaviside pentru a face funcția zero pentru t<0. Le vom analiza într-o secțiune ulterioară.
.