Numerele complexe sunt numere care constau din două părți – un număr real și un număr imaginar. Numerele complexe sunt elementele de bază ale unor calcule matematice mai complicate, cum ar fi algebra. Ele pot fi aplicate la multe aspecte ale vieții reale, în special în electronică și electromagnetism.
Formatul standard pentru numerele complexe este a + bi, cu numărul real primul și numărul imaginar ultimul. Deoarece oricare dintre părți poate fi 0, din punct de vedere tehnic, orice număr real sau număr imaginar poate fi considerat un număr complex. Complex nu înseamnă complicat; înseamnă că cele două tipuri de numere se combină pentru a forma un complex, cum ar fi un complex de locuințe – un grup de clădiri unite între ele.
Numerele reale sunt valori tangibile care pot fi reprezentate pe o linie numerică orizontală, cum ar fi fracțiile, numerele întregi sau orice număr numărabil la care vă puteți gândi. Numerele imaginare sunt concepte abstracte care sunt folosite atunci când aveți nevoie de rădăcina pătrată a unui număr negativ.
Adăugare &multiplicare numere complexe
Pentru că un număr complex este un binom – o expresie numerică cu doi termeni – aritmetica se face, în general, în același mod ca orice binom, prin combinarea termenilor asemănători și simplificare. De exemplu:
(3 + 2i) + (4 – 4i)
(3 + 4) = 7
(2i – 4i) = -2i
Rezultatul este 7-2i.
Pentru înmulțire, se folosește metoda FOIL pentru înmulțirea polinomială: se înmulțește Primul, se înmulțește Exteriorul, se înmulțește Interiorul, se înmulțește Ultimul și apoi se face suma. De exemplu:
(3 – 2i)(5 + 3i) =
(3)(5) + (3)(3i) + (-2i)(5) + (-2i)(3i) =
15 + 9i + -10i + -6i2 =
15 – i – 6(-1) =
21 – i
Motivul pentru care i2 se simplifică la (-1) este că i este rădăcina pătrată a lui -1.
Divizarea numerelor complexe
Divizarea, însă, devine mai complicată și necesită utilizarea conjugatelor. Conjugatele complexe sunt perechi de numere complexe care au semne diferite, cum ar fi (a + bi) și (a – bi). Înmulțirea conjugatelor complexe face ca termenul din mijloc să se anuleze. De exemplu:
(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – (bi)2
Aceasta se simplifică la a2 – b2(i2) = a2 – b2(-1)
Rezultatul final este a2 + b2
Când împărțiți numere complexe, determinați conjugatul numitorului și înmulțiți numărătorul și numitorul cu conjugatul. De exemplu,
(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)
Conjugatul lui 7 + 4i este 7 – 4i. Deci, înmulțiți numărătorul și numitorul cu conjugatul:
(5 + 2i)(7 – 4i) ÷ (7 + 4i)(7 – 4i) =
(35 + 14i – 20i – 8i2) ÷ (49 – 28i + 28i – 16i2 ) =
(35 – 6i + 8) ÷ (49 + 16) =
(43 – 6i) ÷ 65
Valoarea absolută a numerelor complexe
Valoarea absolută a unui număr este considerată distanța sa față de zero pe dreapta numerelor. Deoarece numerele complexe includ numere imaginare, ele nu pot fi reprezentate pe dreapta numerelor reale. Cu toate acestea, ele pot fi măsurate de la zero pe planul numerelor complexe, care include o axă x (pentru numărul real) și axa y (pentru numărul imaginar).
Utilizări ale numerelor complexe
Numerele complexe pot fi utilizate pentru a rezolva cuadricele pentru zerouri. Formula pătratică rezolvă ax2 + bx + c = 0 pentru valorile lui x. Dacă formula oferă un negativ în rădăcina pătrată, numerele complexe pot fi folosite pentru a simplifica zero-ul.
Numerele complexe sunt folosite în electronică și electromagnetism. Un singur număr complex pune împreună două cantități reale, ceea ce face ca numerele să fie mai ușor de prelucrat. De exemplu, în electronică, starea unui element de circuit este definită de tensiune (V) și de curent (I). Elementele de circuit pot avea, de asemenea, o capacitate (c) și o inductanță (L) care descriu tendința circuitului de a rezista la modificări ale V și I. În loc să descriem starea elementului de circuit prin V și I, aceasta poate fi descrisă ca z = V + Ii. Legile electricității pot fi apoi exprimate folosind adunarea și înmulțirea numerelor complexe.
Cum s-a menționat anterior, acest lucru poate fi aplicat și la electromagnetism. În loc să fie descrisă ca intensitatea câmpului electric și intensitatea câmpului magnetic, se poate crea un număr complex în care componentele electrică și magnetică sunt numerele reale și imaginare.
Lectură suplimentară:
Calculator de numere complexe
Math is Fun: Numere complexe
Math Warehouse: Numere complexe
Știri recente
.