Em Veneza do século XVI, as fórmulas para resolver as equações eram propriedade intelectual muito bem guardadas. De particular interesse para a balística e fortificações o perito Niccolo Tartaglia eram equações quadráticas e cúbicas, que modelam o comportamento dos projécteis em voo, entre outras coisas. Estas equações podem muito bem soar a um sino de matemática escolar – as equações quadráticas têm um termo x2 nelas e as cúbicas um termo x3. Tartaglia e outros matemáticos notaram que algumas soluções exigiam a raiz quadrada de números negativos, e aqui reside um problema. Números negativos não têm raízes quadradas – não há número que, quando multiplicado por si mesmo, dá um número negativo. Isto porque os números negativos, quando multiplicados juntos, dão um resultado positivo: -2 × -2 = 4 (não -4).
Tartaglia e o seu rival, Gerolamo Cardano, observaram que, se permitissem raízes quadradas negativas nos seus cálculos, ainda poderiam dar respostas numéricas válidas (números reais, como os matemáticos os chamam). Tartaglia aprendeu isso da maneira difícil quando foi derrotado por um dos alunos de Cardano em um duelo de resolução de equações de um mês em 1530.
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Os matemáticos usam i para representar a raiz quadrada de menos um. Esta é chamada a unidade imaginária – não é um número real, não existe na vida ‘real’. Mas podemos usá-la para encontrar as raízes quadradas de números negativos. Se eu quiser calcular as raízes quadradas de -4, eu posso dizer que -4 = 4 × -1. Isto significa que a raiz quadrada de -4 é a raiz quadrada de 4 multiplicada pela raiz quadrada de -1. Nos símbolos:
√-4= √4×√-1
A raiz quadrada de 4 é 2, e a raiz quadrada de -1 é i, dando-nos a resposta que a raiz quadrada de -4 é 2i. Devemos também notar que -2 é também uma raiz quadrada de 4, pelas razões acima mencionadas. Isto significa que a raiz quadrada de -4 é 2i e -2i.
A própria aritmética de i colocou inicialmente um obstáculo para os matemáticos. Eu afirmei acima que uma vez negativo dá um positivo e nós estamos inatamente familiarizados com a idéia de que uma vez positivo dá um positivo. Com a unidade imaginária, isto parece quebrar, com dois positivos multiplicando-se para dar um negativo:
i × i = i2 = -1
Equalmente, aqui dois negativos multiplicam-se para dar um negativo:
-i × -i = i2 = -1
Este foi um problema durante algum tempo e fez algumas pessoas sentirem que usá-los na matemática formal não era rigoroso. Rafael Bombelli, outro homem renascentista italiano, escreveu um livro chamado, simplesmente, Álgebra, em 1572, onde tentou explicar a matemática a pessoas sem conhecimentos de nível superior, fazendo dele um pioneiro educacional precoce. Em Álgebra, ele explica como realizar a aritmética sobre números positivos, negativos e imaginários, fazendo com que a unidade imaginária (eu não era usada como símbolo até o século XVIII) não fosse nem positiva nem negativa e, portanto, não obedecesse às regras habituais da aritmética.
O trabalho destes matemáticos sobre números imaginários permitiu o desenvolvimento do que hoje é chamado de Teorema Fundamental da Álgebra. Em termos básicos, o número de soluções para uma equação é sempre igual ao maior poder do desconhecido na equação. Por exemplo, quando eu estava trabalhando as raízes quadradas de -4 acima, eu estava resolvendo a equação x2= -4. A maior (e única) potência do desconhecido x na equação é duas, e eis que encontramos duas respostas, 2i e -2i.
Com uma equação cúbica, onde a maior potência é três, eu deveria obter três soluções. Vamos olhar para x3 + 4x = 0, que é a mesma forma de equação cúbica que Tartaglia lidou. x = 0 é uma solução, como 03 – 4 × 0 = 0 – 0 = 0, cumprindo a equação. Mas e as outras duas soluções que esperamos de uma solução cúbica?
Bem, não há mais soluções reais para a equação, mas há soluções imaginárias. Na verdade, 2i e -2i também são soluções para esta equação, dando-nos as nossas três soluções no total.
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Só algumas centenas de anos depois de Bombelli é que o teorema fundamental da álgebra foi rigorosamente provado pelo gerente da livraria parisiense Jean-Robert Argand em 1806. Argand foi também pioneiro em relacionar números imaginários à geometria através do conceito de números complexos.
Números complexos são números com uma parte real e uma parte imaginária. Por exemplo, 4 + 2i é um número complexo com uma parte real igual a 4 e uma parte imaginária igual a 2i. Acontece que tanto os números reais como os números imaginários são também números complexos. Por exemplo, 17 é um número complexo com uma parte real igual a 17 e uma parte imaginária igual a zero, e i é um número complexo com uma parte real de zero.
Um outro francês, Abraham de Moivre, foi um dos primeiros a relacionar números complexos à geometria com o seu teorema de 1707 que relacionava números complexos e trigonometria juntos. Argand então desenvolveu os diagramas de Argand, que são como um gráfico normal com um eixo x e y, exceto que seus eixos são os números reais e os números imaginários. Estes avanços permitiram resolver problemas algébricos complexos usando geometria.
Como tantos desenvolvimentos em matemática, tudo isto foi de interesse puramente acadêmico até a era eletrônica moderna. Números complexos revelam-se incrivelmente úteis na análise de tudo o que vem em ondas, tais como a radiação electromagnética que usamos em rádios e wifi, sinais de áudio para música e comunicação de voz e fontes de alimentação de corrente alternada. Do mesmo modo, a física quântica reduz todas as partículas a formas de onda, o que significa que números complexos são fundamentais para a compreensão deste estranho mundo que nos permitiu desfrutar de computadores modernos, fibras ópticas, GPS, imagens de ressonância magnética, para citar apenas alguns. Graças a Deus que os matemáticos, desde 500 anos atrás até hoje, decidiram que valia a pena investigar números imaginários.
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