O padrão do máximo possível de electrões = $2n^2$ está correcto.
Tambem, note que a resposta de Brian é boa e tem uma abordagem diferente.
Até agora você já aprendeu sobre números quânticos?
Se não…
Cada concha (ou nível de energia) tem algum número de subcasas, que descrevem os tipos de orbitais atómicos disponíveis para os electrões nessa subcasa. Por exemplo, a subesquema de $s$ de qualquer nível de energia consiste em orbitais esféricas. A subesfera de $p$ tem orbitais em forma de dumbbell-. As formas orbitais começam a ficar estranhas depois disso. Cada subesfera contém um número especificado de orbitais, e cada orbital pode conter dois elétrons. Os tipos de subconchas disponíveis para uma concha e o número de orbitais em cada subconcha são matematicamente definidos por números quânticos. Os números quânticos são parâmetros na equação da onda que descreve cada elétron. O Princípio de Exclusão Pauli declara que dois elétrons no mesmo átomo não podem ter exatamente o mesmo conjunto de números quânticos. Uma explicação mais completa usando números quânticos pode ser encontrada abaixo. Contudo, o resultado é o seguinte:
As subcasas são as seguintes:
- A subesquema $s$ tem um orbital para um total de 2 elétrons
- A subesquema $p$ tem três orbitais para um total de 6 elétrons
- A subesquema $d$ tem cinco orbitais para um total de 10 elétrons
- A subesfera de $f$ tem sete orbitais para um total de 14 elétrons
- A subesfera de $g$ tem nove orbitais para um total de 18 elétrons
- A subesfera de $h$ tem onze orbitais para um total de 22 elétrons
etc.
Cada nível de energia (concha) tem mais subshells disponíveis para ele:
- A primeira concha tem apenas a sub-concha $s$ $\implica $ 2 electrões
- A segunda concha tem as sub-conchas $s$ e $p$ $\implica $ 2 + 6 = 8 electrões
- A terceira concha tem os $s$, $p$, e $d$ sub-conchas $\implica$ 2 + 6 + 10 = 18 electrões
- A quarta concha tem os $s$, $p$, $d$, e $f$ subconchas $\implica$ 2 + 6 + 10 + 14 = 32 elétrons
- A quinta concha tem os $s$, $p$, $d$, $f$, e $g$ subconchas $\implica$ 2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 50 elétrons
- A sexta concha tem os $s$, $p$, $d$, $f$, $g$, $g$, e $h$ sub-conchas $\implica$ 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22 = 72 elétrons
O padrão é assim: $2, 8, 18, 32, 50, 72, …$ ou $2n^2$
Na prática, nenhum átomo conhecido tem elétrons nos subshells $g$ ou $h$, mas o modelo mecânico quântico prevê a sua existência.
Usando números quânticos para explicar porque as conchas têm as conchas e porque as conchas têm o número de orbitais que têm.
Elétrons em átomos são definidos por 4 números quânticos. O Princípio de Exclusão Pauli significa que dois elétrons não podem compartilhar os mesmos números quânticos.
Os números quânticos:
- $n$, o número quântico principal define a concha. Os valores de $n$ são números inteiros: $n=1,2,3,…$
- $\ell$, o número quântico orbital de impulso angular define o subconjunto. Este número quântico define a forma das orbitais (densidades de probabilidade) em que os elétrons residem. Os valores de $\ell$ são inteiros dependentes do valor de $n$: $\ell = 0,1,2,…,n-1$
- $m_{\ell}$, o número quântico magnético define a orientação do orbital no espaço. Este número quântico também determina o número de orbitais por subesfera. Os valores de $m_{\i1}ell$ são inteiros e dependem do valor de $\i_ell$: $m_ell = -ell,…,-1,0,1,…,+\i
- $m_s$, o número quântico de momento angular de spin define o estado de spin de cada electrão. Como só há dois valores permitidos de spin, assim só pode haver dois elétrons por orbital. Os valores de $m_s$ são $m_s=\pm \frac{1}{2}$
Para a primeira shell, $n=1$, portanto apenas um valor de $\ell$ é permitido: $\ell=0$, que é a sub-camada $s$. Para $\ell=0$ só é permitido $m_\ell=0$. Assim, a subcasa de $s$ tem apenas 1 orbital. A primeira concha tem 1 sub-concha, que tem 1 orbital com 2 electrões no total.
Para a segunda concha, $n=2$, portanto os valores permitidos de $\ell$ são: $\ell=0$, que é a subcasa $s$, e $\ell=1$, que é a subcasa $p$. Para $\ell=1$, $m_ell$ tem três valores possíveis: $m_\ell=-1,0,+1$. Assim, a subesfera de $p$ tem três orbitais. A segunda concha tem 2 sub-conchas: a sub-concha $s$, que tem 1 orbital com 2 electrões, e a sub-concha $p$, que tem 3 orbitais com 6 electrões, para um total de 4 orbitais e 8 electrões.
Para a terceira concha, $n=3$, portanto os valores permitidos de $\ell$ são: $\ell=0$, que é a sub-camada $s$, $\ell=1$, que é a sub-camada $p$, e $\ell=2$, que é a sub-camada $d$. Para $\ell=2$, $m_\ell$ tem cinco valores possíveis: $m_\ell=-2,-1,0,+1,+2$. Assim, a subcasa de $d$ tem cinco orbitais. A terceira concha tem 3 sub-concha: a sub-concha $s$, que tem 1 orbital com 2 electrões, a sub-concha $p$, que tem 3 orbitais com 6 electrões, e a sub-concha $d$, que tem 5 orbitais com 10 electrões, para um total de 9 orbitais e 18 electrões.
Para a quarta concha, $n=4$, portanto os valores permitidos de $\ell$ são: $\ell=0$, que é a sub-capa $s$, $\ell=1$, que é a sub-capa $p$, $\ell=2$, que é a sub-capa $d$, e $\ell=3$, que é a sub-capa $f$. Para $\ell=3$, $m_\ell$ tem sete valores possíveis: $m_\ell=-3,-2,-1,0,+1,+2,-3$. Assim, a subcasa de $f$ tem sete orbitais. A quarta concha tem 4 subcasa: a subcasa $s$, que tem 1 orbital com 2 elétrons, a subcasa $p$, que tem 3 orbitais com 6 elétrons, a subcasa $d$, que tem 5 orbitais com 10 elétrons, e a subcasa $f$, que tem 7 orbitais com 14 elétrons, para um total de 16 orbitais e 32 elétrons.