Números Complexos são números que consistem em duas partes – um número real e um número imaginário. Números complexos são os blocos de construção de matemática mais intrincada, como a álgebra. Eles podem ser aplicados a muitos aspectos da vida real, especialmente em eletrônica e eletromagnetismo.
O formato padrão para números complexos é um + bi, com o número real primeiro e o número imaginário por último. Como qualquer parte pode ser 0, tecnicamente qualquer número real ou número imaginário pode ser considerado um número complexo. Complexo não significa complicado; significa que os dois tipos de números se combinam para formar um complexo, como um complexo habitacional – um grupo de edifícios unidos entre si.
Números reais são valores tangíveis que podem ser traçados numa linha de números horizontal, tais como fracções, números inteiros ou qualquer número contável que se possa pensar. Números imaginários são conceitos abstratos que são usados quando você precisa da raiz quadrada de um número negativo.
Adicionando & multiplicando números complexos
Porque um número complexo é um binômio – uma expressão numérica com dois termos – a aritmética é geralmente feita da mesma forma que qualquer binômio, combinando os termos semelhantes e simplificando. Por exemplo:
(3 + 2i) + (4 – 4i)
(3 + 4) = 7
(2i – 4i) = -2i
O resultado é 7-2i.
Para multiplicação, você emprega o método FOIL para multiplicação polinomial: multiplique o Primeiro, multiplique o Externo, multiplique o Interno, multiplique o Último, e então adicione. Por exemplo, o método FOIL:
(3 – 2i)(5 + 3i) =
(3)(5) + (3)(3i) + (-2i)(5) + (-2i)(3i) =
15 + 9i + -10i + -6i2 =
15 – i – 6(-1) =
21 – i
A razão pela qual i2 simplifica para (-1) é porque i é a raiz quadrada de -1.
Dividir números complexos
Divisão, no entanto, torna-se mais complicado e requer o uso de conjugados. Conjuntos complexos são pares de números complexos que têm sinais diferentes, como (a + bi) e (a – bi). A multiplicação de conjugados complexos faz com que o termo médio se cancele. Por exemplo:
(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – (bi)2
Isso simplifica para a2 – b2(i2) = a2 – b2(-1)
O resultado final é a2 + b2
Ao dividir números complexos, determine o conjugado do denominador e multiplique o numerador e denominador pelo conjugado. Por exemplo,
(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)
O conjugado de 7 + 4i é 7 – 4i. Portanto, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado:
(5 + 2i)(7 – 4i) ÷ (7 + 4i)(7 – 4i) =
(35 + 14i – 20i – 8i2) ÷ (49 – 28i + 28i – 16i2 ) =
(35 – 6i + 8) ÷ (49 + 16) =
(43 – 6i) ÷ 65
Valor absoluto de números complexos
O valor absoluto de um número é considerado a sua distância de zero na linha do número. Como os números complexos incluem números imaginários, eles não podem ser traçados na linha de número real. No entanto, eles podem ser medidos a partir de zero no plano do número complexo, que inclui um eixo x (para o número real) e o eixo y (para o número imaginário).
Usos de números complexos
Números complexos podem ser usados para resolver quadráticas para zeros. A fórmula quadrática resolve eixo2 + bx + c = 0 para os valores de x. Se a fórmula fornecer um negativo na raiz quadrada, números complexos podem ser usados para simplificar o zero.
Números complexos são usados em eletrônica e eletromagnetismo. Um único número complexo reúne duas quantidades reais, tornando os números mais fáceis de trabalhar. Por exemplo, na electrónica, o estado de um elemento de circuito é definido pela tensão (V) e pela corrente (I). Os elementos de circuito também podem ter uma capacitância (c) e indutância (L) que descreve a tendência do circuito a resistir a mudanças em V e I. Ao invés de descrever o estado do elemento de circuito por V e I, ele pode ser descrito como z = V + Ii. As leis da eletricidade podem então ser expressas usando a adição e multiplicação de umbrais complexos.
Como mencionado anteriormente, isto também pode ser aplicado ao eletromagnetismo. Em vez de ser descrito como força do campo elétrico e força do campo magnético, você pode criar um número complexo onde os componentes elétricos e magnéticos são os números reais e imaginários.
Leitura adicional:
Calculadora de números complexos
Math is Fun: Números complexos
Math Warehouse: Números Complexos
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