Podemos usar permutações e combinações para nos ajudar a responder a perguntas de probabilidade mais complexas
Exemplo 1
Um PIN de 4 dígitos é selecionado. Qual é a probabilidade de não haver dígitos repetidos?
Há 10 valores possíveis para cada dígito do PIN (nomeadamente: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), por isso há 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10
4 = 10000 PINs totais possíveis.
Para não haver dígitos repetidos, todos os quatro dígitos teriam de ser diferentes, o que é seleccionar sem substituição. Poderíamos calcular 10 × 9 × 8 × 7, ou notar que isto é o mesmo que a permutação
10P4 = 5040.
A probabilidade de não haver dígitos repetidos é o número de PINs de 4 dígitos sem dígitos repetidos dividido pelo número total de PINs de 4 dígitos. Esta probabilidade é
\displaystyle\frac{{{}_{{{10}}{P}_{{4}}}}{{{{10}^{{{4}}}}=\frac{{{5040}}{{{10000}}={0.504}
Exemplo 2
Na lotaria de um determinado estado, 48 bolas numeradas de 1 a 48 são colocadas numa máquina e seis delas são sorteadas aleatoriamente. Se os seis números sorteados correspondem aos números que um jogador tinha escolhido, o jogador ganha $1.000.000. Nesta loteria, a ordem em que os números são sorteados não importa. Calcule a probabilidade de ganhar o prêmio de um milhão de dólares se você comprar um único bilhete de loteria.
Para calcular a probabilidade, precisamos contar o número total de formas em que seis números podem ser sorteados, e o número de formas em que os seis números do bilhete do jogador podem coincidir com os seis números sorteados da máquina. Como não há estipulação de que os números estejam em qualquer ordem em particular, o número de resultados possíveis do sorteio da loteria é
48C6 = 12.271.512. Destes possíveis resultados, apenas um seria igual aos seis números do bilhete do jogador, portanto a probabilidade de ganhar o grande prémio é:
\displaystyle\frac{{{}_{{{{6}}{C}_{{6}}}}{{{}_{{48}}{C}_{{6}}}}=\frac{{{1}}{{12271512}}}{approx={0.0000000815}
Exemplo 3
Na lotaria estatal do exemplo anterior, se cinco dos seis números sorteados coincidirem com os números que um jogador escolheu, o jogador ganha um segundo prémio de $1.000. Calcule a probabilidade de ganhar o segundo prêmio se você comprar um único bilhete de loteria.
Como acima, o número de resultados possíveis do sorteio da loteria é
48C6 = 12.271.512. Para ganhar o segundo prêmio, cinco dos seis números do bilhete devem corresponder a cinco dos seis números vencedores; em outras palavras, devemos ter escolhido cinco dos seis números vencedores e um dos 42 números perdedores. O número de formas de escolher 5 dos 6 números vencedores é dado por 6C5 = 6 e o número de formas de escolher 1 dos 42 números perdedores é dado por 42C1 = 42. Assim, o número de resultados favoráveis é dado pela Regra Básica de Contagem: 6C5 × 42C1 = 6 × 42 = 252. Assim, a probabilidade de ganhar o segundo prêmio é
\displaystyle\frac{{{{{{{{6}}}{C}_{5}}{{Direita)}{esquerda({}_{42}}{C}_{{1}}{{48}}{C}_{{6}}}}==frac{{252}}{{{12271512}}}{aproximadamente{0.0000205}
Try it Now 1
Uma pergunta de múltipla escolha num questionário de economia contém 10 perguntas com cinco respostas possíveis cada uma. Calcule a probabilidade de adivinhar aleatoriamente as respostas e obter exatamente 9 questões corretas.
Exemplo 4
Calcule a probabilidade de tirar cinco cartas aleatoriamente de um baralho e obter exatamente um Ás.
Em muitos jogos de cartas (como poker) a ordem em que as cartas são tiradas não é importante (uma vez que o jogador pode reorganizar as cartas em sua mão da maneira que ele escolher); nos problemas que se seguem, vamos supor que este é o caso, a menos que seja dito o contrário. Assim, usamos combinações para calcular o possível número de mãos de 5 cartas,
52C5. Este número irá no denominador da nossa fórmula de probabilidade, já que é o número de resultados possíveis.
Para o numerador, precisamos do número de formas de tirar um Ás e quatro outras cartas (nenhuma delas Áses) do baralho. Como há quatro Áses e queremos exatamente um deles, haverá
4C1 formas de selecionar um Ás; como há 48 não-Aces e queremos 4 deles, haverá 48C4 formas de selecionar os quatro não-Aces. Agora usamos a Regra Básica de Contagem para calcular que haverá 4C1 × 48C4 formas de escolher um Ás e quatro não-Aces.
Pondo isto tudo junto, we have
\displaystyle{P}{\left(\text{one Ace}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{1}}\right)}{\left({}_{{48}}{C}_{{4}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{778320}}{{2598960}}\approx{0.299}
Exemplo 5
Calcule a probabilidade de tirar cinco cartas aleatoriamente de um baralho e obter exactamente dois Ases.
A solução é semelhante ao exemplo anterior, excepto que agora estamos a escolher 2 Áses de 4 e 3 não-Aces de 48; o denominador permanece o mesmo:
É útil notar que estes problemas de cartas são notavelmente semelhantes aos problemas de lotaria discutidos anteriormente.
Tente Agora 2
Calcule a probabilidade de tirar cinco cartas aleatoriamente de um baralho de cartas e obter três Ases e dois Reis.
Problema de aniversário
Pausa para considerar um problema famoso na teoria da probabilidade:
Suponha que você tenha uma sala cheia de 30 pessoas. Qual é a probabilidade de haver pelo menos um aniversário compartilhado?
Dê um palpite na resposta ao problema acima. O seu palpite foi bastante baixo, como cerca de 10%? Essa parece ser a resposta intuitiva (30/365, talvez?). Vamos ver se devemos ouvir a nossa intuição. Vamos começar com um problema mais simples, entretanto.
Exemplo 6
Suponha que três pessoas estejam em uma sala. Qual é a probabilidade de haver pelo menos um aniversário compartilhado entre essas três pessoas?
Há muitas maneiras de haver pelo menos um aniversário compartilhado. Felizmente, há uma maneira mais fácil. Nós nos perguntamos “Qual é a alternativa para ter pelo menos um aniversário compartilhado?”. Neste caso, a alternativa é que há
nenhum aniversário compartilhado. Em outras palavras, a alternativa a “pelo menos um” é não ter nenhum. Em outras palavras, já que este é um evento complementar,
P(pelo menos um) = 1 – P(nenhum)
Comecemos, então, calculando a probabilidade de que não haja nenhum aniversário compartilhado. Vamos imaginar que você é uma dessas três pessoas. O seu aniversário pode ser qualquer coisa sem conflitos, por isso existem 365 escolhas de 365 para o seu aniversário. Qual é a probabilidade de que a segunda pessoa não partilhe o seu aniversário? Há 365 dias no ano (vamos ignorar os anos bissextos) e tirando seu aniversário da disputa, há 364 escolhas que garantirão que você não compartilhe um aniversário com essa pessoa, então a probabilidade de que a segunda pessoa não compartilhe seu aniversário é de 364/365. Agora passamos para a terceira pessoa. Qual é a probabilidade desta terceira pessoa não ter o mesmo aniversário que você ou a segunda pessoa? Existem 363 dias que não duplicarão o seu aniversário ou o da segunda pessoa, então a probabilidade de que a terceira pessoa não compartilhe um aniversário com as duas primeiras é 363/365.
Queremos que a segunda pessoa não partilhe um aniversário consigo
e que a terceira pessoa não partilhe um aniversário com as duas primeiras pessoas, por isso usamos a regra da multiplicação:
\displaystyle{P}{\left(\text{no shared birthday}\right)}=\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\approx{0.9918}
e depois subtraia de 1 para obter
P(shared birthday) = 1 – P(no shared birthday) = 1 – 0.9918 = 0.0082.
Este é um número bastante pequeno, por isso talvez faça sentido que a resposta ao nosso problema original seja pequena. Vamos fazer o nosso grupo um pouco maior.
Exemplo 7
Suponha que cinco pessoas estejam em uma sala. Qual é a probabilidade de haver pelo menos um aniversário compartilhado entre essas cinco pessoas?
Continuando o padrão do exemplo anterior, a resposta deve ser
>displaystyle{P}{esquerda(texto{partilhado aniversário}{direita)}={1}-\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\cdot\frac{{362}}{{365}}\cdot\frac{{361}}{{365}}\approx{0.0271}
Nota que poderíamos reescrever isto de forma mais compacta como
>displaystyle{P}{esquerda(texto{partilhado aniversário}}{1}={1}-frac{{{}_{365}}{P}_{5}}}}{{365}^{{5}}approx{0.0271}
o que facilita um pouco a digitação em uma calculadora ou computador, e que sugere uma bela fórmula à medida que continuamos a expandir a população do nosso grupo.
Exemplo 8
Suponha que 30 pessoas estejam em uma sala. Qual é a probabilidade de haver pelo menos um aniversário partilhado entre estas 30 pessoas?
Aqui podemos calcular
>
>displaystyle{P}{esquerda(texto{partilhado aniversário}}{1}={1}-frac{{{}_{365}}{P}_{30}}}}{{{365}^{30}}}approx{0.706}
o que nos dá o resultado surpreendente de que quando você está em uma sala com 30 pessoas, há 70% de chance de que haverá pelo menos um aniversário compartilhado!
Se você gosta de apostar, e se você conseguir convencer 30 pessoas a revelar seus aniversários, você poderá ganhar algum dinheiro apostando com um amigo que haverá pelo menos duas pessoas com o mesmo aniversário na sala a qualquer momento que você estiver em uma sala com 30 ou mais pessoas. (É claro, você precisaria ter certeza de que seu amigo não estudou as probabilidades!) Você não teria garantia de ganhar, mas você deveria ganhar mais da metade do tempo.
Este é um dos muitos resultados da teoria da probabilidade que é contra-intuitiva; ou seja, vai contra os nossos instintos. Se você ainda não acredita na matemática, você pode realizar uma simulação. Só para não ter que andar por aí a reunir grupos de 30 pessoas, alguém gentilmente desenvolveu um applet Java para que você possa conduzir uma simulação por computador. Vá a esta página web:
http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html, e assim que o applet tiver carregado, selecione 30 aniversários e depois continue clicando em Iniciar e Reiniciar. Se você mantiver registro do número de vezes que há um aniversário repetido, você deve obter um aniversário repetido cerca de 7 de cada 10 vezes que você executar a simulação.
Try it Now 3
Suponha que 10 pessoas estejam em uma sala. Qual é a probabilidade de haver pelo menos um aniversário partilhado entre estas 10 pessoas?
>
- >displaystyle{P}{esquerda(9}}{texto{respostas corretas}{direita)}=frac{9cdot4}{(5^{10})}approx0. Kings}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{3}}\right)}{\left({}_{{4}}{C}_{{2}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{24}}{{2598960}}\approx{0.0000092}
- >displaystyle{P}{esquerda(texto{partilhado aniversário)}={1}-frac{{{}_{{365}}{P}_{{10}}}}{{365}^{{{10}}}}approx{0.117}
David Lippman, Matemática na Sociedade, “Probabilidade”, licenciado sob uma licença CC BY-SA 3.0.