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Secção 4-1 : A Definição
Você sabe, é sempre um pouco assustador quando dedicamos uma seção inteira apenas à definição de algo. Laplace transforma (ou apenas transforma) pode parecer assustador quando começamos a olhar para eles pela primeira vez. No entanto, como veremos, elas não são tão más como podem aparecer no início.
Antes de começarmos com a definição da transformação de Laplace, precisamos de obter outra definição para fora do caminho.
Uma função é chamada de contínua por partes num intervalo se o intervalo puder ser quebrado num número finito de subintervalos nos quais a função é contínua em cada subintervalo aberto (ou seja, o subintervalo sem os seus pontos finais) e tem um limite finito nos pontos finais de cada subintervalo. Abaixo está um esboço de uma função por partes contínua.
Em outras palavras, uma função por partes contínua é uma função que tem um número finito de quebras e que não explode até ao infinito em nenhum lugar.
Agora, vamos dar uma olhada na definição da transformada de Laplace.
Definição
Suponha que \(f(t)\) seja uma função contínua por partes. A transformada de Laplace de f(t)} é designada por “Laplace” (f(t)}mathcal (L) esquerda (f)esquerda (t)direita (t)). \Certo) e definido como
Existe uma notação alternativa para Laplace Transforms. Por uma questão de conveniência, muitas vezes designaremos Laplace transforms como,
Com esta notação alternativa, note que a transformação é realmente uma função de uma nova variável, e que todas as transformadas desistirão no processo de integração.
Agora, a integral na definição da transformação é chamada de integral imprópria e provavelmente seria melhor lembrar como esses tipos de integrais funcionam antes de realmente pularmos para computar algumas transformadas.
Agora, lembremos como fazer isso, vamos computar algumas transformadas de Laplace. Vamos começar com provavelmente a mais simples transformação de Laplace a computar.
Não há realmente muito mais a fazer aqui além de ligar a função \(f(t) = 1\) em \(eqref{eq:eq1})
Agora, neste momento note que isto não é mais do que a integral no exemplo anterior com \(c = – s). Portanto, tudo o que precisamos fazer é reutilizar {eqref{eq:eq2}} com a substituição apropriada. Fazendo isso damos,
\i
Or, com alguma simplificação temos,
\i
Nota que tivemos que colocar uma restrição na(s) transformada(s) a fim de realmente calcular a transformação. Todas as transformadas de Laplace terão restrições na(s) transformada(s). Nesta fase do jogo, esta restrição é algo que tendemos a ignorar, mas não devemos nunca esquecer que ela está lá.
Vamos fazer outro exemplo.
Plug the function into the definition of the transform and make a little simplification.
Notem novamente, note que podemos usar {eqref{eq:eq2}} desde que {c = a – s}). Então, vamos fazer isto.
\i
Vamos fazer mais um exemplo que não se resume a uma aplicação de \i(\iqref{eq:eq2}\i}.
Como este exemplo mostra, computar as transformações de Laplace é frequentemente confuso.
Antes de passar à próxima secção, precisamos de fazer uma pequena nota lateral. Na ocasião você verá o seguinte como a definição da transformada de Laplace.
\
Note a mudança do limite inferior de zero para o infinito negativo. Nestes casos há quase sempre a hipótese de que a função \(f(t)\) é de facto definida da seguinte forma,
\
Por outras palavras, assume-se que a função é zero se t<0. Neste caso a primeira metade da integral desistirá uma vez que a função é zero e voltaremos à definição dada em . Uma função Heaviside é normalmente usada para fazer a função zero para t<0. Nós estaremos olhando para estes em uma seção posterior.