COMO ACHAR O VALOR MÁXIMO E MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO
O valor da função num ponto máximo é chamado o valor máximo da função e o valor da função num ponto mínimo é chamado o valor mínimo da função.
- Diferenciar a função dada.
- let f'(x) = 0 e encontrar números críticos
- Então encontrar a segunda derivada f”(x).
- Aplicar esses números críticos na segunda derivada.
- A função f (x) é máxima quando f”(x) < 0
- A função f (x) é mínima quando f”(x) > 0
- Para encontrar o valor máximo e mínimo precisamos aplicar esses x valores na função original.
Exemplos
Exemplo 1 :
Determinar valores máximos das funções
y = 4x – x2 + 3
Solução :
f(x) = y = 4x – x2 + 3
Primeiro vamos encontrar a primeira derivada
f'(x) = 4(1) – 2x + 0
f'(x) = 4 – 2x
Deixe f'(x) = 0
4 – 2x = 0
2 (2 – x) = 0
2 – x = 0
x = 2
Agora vamos encontrar a segunda derivada
f”(x) = 0 – 2(1)
f”(x) = -2 < 0 Máximo
Para encontrar o valor máximo, temos de aplicar x = 2 na função original.
f(2) = 4(2) – 22 + 3
f(2) = 8 – 4 + 3
f(2) = 11 – 4
f(2) = 7
Então o valor máximo é 7 a x = 2. Agora vamos verificar isto no gráfico.
Verificação :
y = 4x – x2 + 3
A função dada é a equação da parábola.
y = -x² + 4 x + 3
y = -(x² – 4 x – 3)
y = -{ x² – 2 (x) (2) + 2² – 2² – 3 }
y = – { (x – 2)² – 4 – 3 }
y = – { (x – 2)² – 7 }
y = – (x – 2)² + 7
y – 7 = -(x – 2)²
(y – k) = -4a (x – h)²
Her (h, k) é (2, 7) e a parábola está aberta para baixo.
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Exemplo 2 :
Ponha o valor máximo e mínimo da função
2×3 + 3×2 – 36x + 1
Solução :
Let y = f(x) = 2×3 + 3×2 – 36x + 1
f'(x) = 2(3×2) + 3 (2x) – 36 (1) + 0
f'(x) = 6×2 + 6x – 36
set f'(x) = 0
6x² + 6x – 36 = 0
÷ por 6 => x² + x – 6 = 0
(x – 2)(x + 3) = 0
|
x – 2 = 0 x = 2 |
x + 3 = 0 x = -3 |
f'(x) = 6x² + 6x – 36
f”(x) = 6(2x) + 6(1) – 0
f”(x) = 12x + 6
Put x = 2
f”(2) = 12(2) + 6
= 24 + 6
f”(2) = 30 > 0 Mínimo
Para encontrar o valor mínimo vamos aplicar x = 2 na função original
f(2) = 2(2)3 + 3(2)2 – 36(2) + 1
= 2(8) + 3(4) – 72 + 1
= 16 + 12 – 72 + 1
= 29 – 72
f(2) = -43
Put x = -3
f”(-3) = 12(-3) + 6
= -36 + 6
f”(-3) = -30 > 0 Máximo
Para encontrar o valor máximo, vamos aplicar x = -3 na função original
f(-3) = 2 (-3)3 + 3 (-3)2 – 36 (-3) + 1
= 2(-27) + 3(9) + 108 + 1
= -54 + 27 + 109
= -54 + 136
= 82
Portanto o valor mínimo é -43 e o valor máximo é 82.
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