1 Introduction
Modelagem matemática refere-se ao uso da linguagem matemática para simular o comportamento de um sistema do ‘mundo real’ (prático). O seu papel é o de proporcionar uma melhor compreensão e caracterização do sistema. A teoria é útil para tirar conclusões gerais de modelos simples, e computadores são úteis para tirar conclusões específicas de modelos complicados (Bender, 2000 ). Na teoria das vibrações mecânicas, modelos matemáticos terminados modelos estruturais são úteis para a análise do comportamento dinâmico da estrutura a ser modelada.
A procura de um desempenho melhorado e fiável das estruturas vibratórias em termos de peso, conforto, segurança, ruído e durabilidade está sempre a aumentar enquanto, ao mesmo tempo, há uma procura de ciclos de desenho mais curtos, maior vida útil, minimização das necessidades de inspecção e reparação, e custos reduzidos. Com o advento de computadores potentes, tornou-se mais barato, tanto em termos de custo como de tempo, realizar simulações numéricas, do que realizar uma experiência sofisticada. A consequência tem sido uma mudança considerável em direção ao desenho assistido por computador e experimentos numéricos, onde modelos estruturais são empregados para simular experimentos, e para realizar previsões precisas e confiáveis do comportamento futuro da estrutura.
Even se estamos entrando na era da prototipagem virtual (Van Der Auweraer, 2002 ), testes experimentais e identificação de sistemas ainda desempenham um papel fundamental porque ajudam o dinâmico estrutural a conciliar previsões numéricas com investigações experimentais. O termo “identificação de sistemas” é por vezes utilizado num contexto mais amplo na literatura técnica e pode também referir-se à extracção de informação sobre o comportamento estrutural directamente dos dados experimentais, ou seja, sem necessariamente solicitar um modelo (por exemplo, identificação do número de modos activos ou da presença de frequências naturais dentro de uma determinada gama de frequências). No presente trabalho, a identificação do sistema refere-se ao desenvolvimento (ou ao melhoramento) de modelos estruturais a partir de medições de entrada e saída realizadas na estrutura real utilizando dispositivos de detecção de vibrações.
A identificação do sistema linear é uma disciplina que evoluiu consideravelmente durante os últimos 30 anos (Ljung, 1987 ; Soderstrom e Stoica, 1989 ). A análise modal com termo de estimação de parâmetros modais – é indubitavelmente a abordagem mais popular para realizar a identificação de sistemas lineares na dinâmica estrutural. O modelo do sistema é conhecido na forma de parâmetros modais, nomeadamente as frequências naturais, as formas dos modos e os rácios de amortecimento. A popularidade da análise modal decorre da sua grande generalidade; os parâmetros modais podem descrever o comportamento de um sistema para qualquer tipo de entrada e qualquer intervalo da entrada. Várias abordagens foram desenvolvidas para este fim: método do domínio temporal Ibrahim (Ibrahim e Mikulcik, 1973 ), algoritmo de realização do eigensystem (Juang e Pappa, 1985 ), método de identificação do subespaço estocástico (Van Overschee e De Moor, 1996 ), método do domínio de frequências complexas de poli-referência mínima (Peeters et al., 2004 ) para citar algumas delas. Uma descrição da análise modal não está no âmbito deste artigo; o leitor interessado pode consultar (Heylen et al., 1997 ; Maia e Silva, 1997 ; Ewins, 2000 ) para obter mais detalhes. No entanto, é importante notar que a identificação modal de estruturas altamente amortecidas ou estruturas industriais complexas com alta densidade modal e grande sobreposição modal está agora ao alcance. A unificação do desenvolvimento teórico dos algoritmos de identificação modal foi tentada em (Allemang e Brown, 1998 ; Allemang e Phillips, 2004 ), o que é outro sinal da maturidade deste campo de pesquisa.
O foco deste trabalho de síntese é a identificação estrutural do sistema na presença de não-linearidade. A não-linearidade é genérica na Natureza, e o comportamento linear é uma exceção. Na dinâmica estrutural, fontes típicas de não linearidade são:
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Não-linearidade geométrica resulta quando uma estrutura sofre grandes deslocamentos e surge a partir da energia potencial. Uma ilustração é o pêndulo simples, cuja equação de movimento é θ¨+ω02sinθ=0; o termo não-linear ω02sinθ representa a não-linearidade geométrica, uma vez que modela grandes movimentos angulares. Grandes deformações de continuidades elásticas flexíveis como vigas, placas e conchas também são responsáveis por não linearidades geométricas (ver, por exemplo, (Amabili e Paidoussis, 2003 ; Nayfeh e Pai, 2004 )). Um exemplo de um banco de ensaio que apresenta uma não-linearidade geométrica é mostrado na Fig. 1. Uma viga cantilever é ligada na sua extremidade direita a uma viga fina e curta que exibe uma não linearidade geométrica quando ocorrem grandes deflexões.
Fig. 1. Feixe cantilever ligado a um feixe fino e curto (ECL benchmark; COST Action F3): (a) fixação experimental; (b) grande plano da ligação.
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Inércia não linearidade deriva de termos não lineares contendo velocidades e/ou acelerações nas equações de movimento, e toma a sua fonte na energia cinética do sistema (por exemplo termos de aceleração convectiva em um contínuo e acelerações de Coriolis em movimentos de corpos em movimento relativo a quadros rotativos).
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Um comportamento material não linear pode ser observado quando a lei constitutiva relativa a tensões e deformações é não linear. Isto é frequentemente o caso em espumas (White et al., 2000 ; Schultze et al., 2001 ; Singh et al., 2003 ) e em sistemas de montagem resilientes tais como isoladores de borracha (Richards e Singh, 2001 ).
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A dissipação do amortecimento é essencialmente um fenómeno não linear e ainda não totalmente modelado e compreendido. A hipótese de amortecimento modal não é necessariamente a representação mais apropriada da realidade física, e sua utilização generalizada deve ser atribuída à sua conveniência matemática. Os efeitos de atrito seco (corpos em contato, deslizando uns em relação aos outros) e o amortecimento histérico são exemplos de amortecimento não-linear (ver, por exemplo, Caughey e Vijayaraghavan, 1970 ; Tomlinson e Hibbert, 1979 ; Sherif e Abu Omar, 2004 ; Al-Bender et al., 2004 ). É importante notar que o atrito seco afeta a dinâmica especialmente para o movimento de pequena amplitude, o que é contrário ao que poderia ser esperado pela sabedoria convencional. Por exemplo, os isoladores helicoidais de cabo de aço descritos na Fig. 2 são caracterizados por um comportamento de amolecimento (Juntunen, 2003 ) com atrito dentro do cabo de aço, e mudança da geometria do laço do fio quando carregado; para este sistema, a frequência ressonante muda para baixo à medida que o nível de excitação é aumentado, o que é uma clara indicação de comportamento não-linear.
Fig. 2. isoladores de cabos metálicos helicoidais (referência VTT; COST Action F3): (a) fixação experimental; os isoladores são montados entre a massa de base de um agitador eletrodinâmico e uma massa de carga; (b) força de restauração medida.
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Nonlinearidade também pode resultar devido a condições de contorno (por exemplo, superfícies livres em fluidos, vibro-impactos devido a juntas soltas ou contatos com restrições rígidas, folgas, corpos elásticos imperfeitamente unidos), ou certas forças externas não lineares do corpo (por exemplo forças magnetoelásticas, eletrodinâmicas ou hidrodinâmicas). A não linearidade de folga e vibro-impacto possui característica de força-deflexão não suave como mostrado na Fig. 3 e geralmente requer um tratamento especial comparado com outros tipos de não linearidade (Babitsky e Krupenin, 2001 ).
Fig. 3. Feixe de impacto: (a) luminária experimental; (b) força de restauração medida.
Muitos exemplos práticos de comportamento dinâmico não-linear foram relatados na literatura de engenharia. Na indústria automotiva, o chiado do freio, que é uma vibração auto-excitada do rotor do freio relacionada à variação de atrito entre as pastilhas e o rotor, é um exemplo irritante, mas não ameaçador de vida, de um efeito indesejável de não-linearidade (Rhee et al., 1989). Muitos automóveis têm suportes de motor viscoelásticos que apresentam um comportamento não linear: dependência da amplitude, frequência e pré-carga. Em uma aeronave, além da interação fluido-estrutura não-linear, as não-linearidades típicas incluem folgas e atrito em superfícies de controle e juntas, não-linearidades de endurecimento na conexão entre o motor e o pilão, e efeitos de saturação em atuadores hidráulicos. Em (Von Karman, 1940 ) um avião comercial é descrito no qual as hélices induziram uma vibração sub-harmônica de ordem 1/2 nas asas que produziu uma sub-harmônica de ordem 1/4 no leme. As oscilações foram tão violentas que os efeitos no avião foram catastróficos (Nayfeh e Mook, 1979 ). Nos sistemas mecatrônicos, as fontes de não linearidades são o atrito nos rolamentos e guias, assim como folgas e folgas nas juntas dos robôs. Na engenharia civil, muitas estruturas desmontáveis, como arquibancadas em concertos e eventos esportivos, são propensas a uma substancial não-linearidade estrutural como resultado da soltura das juntas. Isto cria tanto folgas como fricção e pode invalidar qualquer simulação linear baseada em modelos do comportamento criado pelo movimento das multidões. A não linearidade pode também surgir numa estrutura danificada: fissuras por fadiga, rebites e parafusos que subsequentemente se abrem e fecham sob carga dinâmica ou peças internas que se impactam umas nas outras.
Com o interesse contínuo em expandir o envelope de desempenho das estruturas a velocidades cada vez maiores, existe a necessidade de projectar elementos estruturais mais leves, mais flexíveis e, consequentemente, mais não lineares. Segue-se que a demanda para utilizar componentes estruturais não lineares (ou mesmo fortemente não lineares) está cada vez mais presente nas aplicações de engenharia. É, portanto, bastante paradoxal observar que, muitas vezes, o comportamento linear é tido como garantido na dinâmica estrutural. Por que é que isso acontece? Deve-se reconhecer que em movimentos de amplitude suficientemente pequena, a teoria linear pode ser precisa para a modelagem, embora nem sempre seja o caso (por exemplo, fricção seca). No entanto, a principal razão é que a teoria de sistemas dinâmicos não lineares é muito menos estabelecida do que a sua contraparte linear. De fato, os princípios básicos que se aplicam a um sistema linear e que formam a base da análise modal não são mais válidos na presença de não-linearidade. Além disso, mesmo sistemas não lineares fracos podem exibir fenômenos extremamente interessantes e complexos que os sistemas lineares não podem. Estes fenómenos incluem saltos, bifurcações, saturação, ressonâncias sub-harmónicas, super-harmónicas e internas, captações de ressonância, ciclos limite, interacções modais e caos. Os leitores que procuram uma introdução às oscilações não lineares podem consultar (Nayfeh e Mook, 1979 ; Strogatz, 1994 ; Verhulst, 1999 ; Rand, 2003 ). Leitores mais inclinados matematicamente podem se referir (Guckenheimer e Holmes, 1983 ; Wiggins, 1990 ). Um breve tutorial que enfatiza as importantes diferenças entre dinâmica linear e não-linear está disponível na Seção 2.1 deste artigo.
Isto não quer dizer que sistemas não-lineares não tenham recebido atenção considerável durante as últimas décadas. Mesmo se, durante anos, uma maneira de estudar sistemas não lineares foi a abordagem de linearização (Caughey, 1963 ; Iwan, 1973 ), muitos esforços têm sido gastos para desenvolver teorias para a investigação de sistemas não lineares na dinâmica estrutural. Uma extensão não linear do conceito de formas de modo foi proposta em (Rosenberg, 1962 ; Rosenberg, 1966 ) e mais investigada em (Rand, 1974 ; Shaw e Pierre, 1993 ; Vakakis et al., 1996 ; Vakakis, 1997 ). Sistemas fracamente não lineares foram analisados a fundo usando a teoria da perturbação (Nayfeh e Mook, 1979 ; Nayfeh, 1981 ; O’Malley, 1991 ; Kevorkian e Cole, 1996 ). Os métodos de perturbação incluem, por exemplo, o método da média, a técnica Lindstedt-Poincaré e o método das múltiplas escalas e visam obter aproximações assimptóticas e uniformes das soluções. Durante a última década, mais ou menos, assistiu-se a uma transição de estruturas fracamente não lineares para estruturas fortemente não lineares (por sistemas fortemente não lineares, um sistema para o qual os termos não lineares são a mesma ordem que os termos lineares) graças à extensão das técnicas clássicas de perturbação (Chan et al, 1996 ; Chen e Cheung, 1996 ) e o desenvolvimento de novas metodologias (Pilipchuk, 1985 ; Manevitch, 1999 ; Qaisi e Kilani, 2000 ; Babitsky e Krupenin, 2001 ).
Recentemente, alguns estudos propuseram aproveitar as não linearidades em vez de ignorá-las ou evitá-las, o que representa uma interessante mudança de paradigma. Por exemplo, o conceito de ressonância paramétrica é explorado para projetar osciladores microeletrromecânicos com capacidade de filtragem em (Rhoads et al., 2005 ). Em (Vakakis e Gendelman, 2001 ; Vakakis et al., 2004a ; Kerschen et al., 2005b ), é mostrado que a não linearidade essencial (isto é, não-linearizável) leva a fenômenos irreversíveis de transferência de energia não-linear entre subsistemas-termos de bombeamento de energia não-linear. Em (Nichols et al., 2004 ), o interrogatório caótico e a reconstrução do espaço de fase são usados para avaliar a resistência de uma conexão aparafusada em um feixe composto. Em (Epureanu e Hashmi, 2005 ), a forma geométrica dos atratores dinâmicos é explorada para melhorar pequenas variações paramétricas em um sistema.
Focalizando agora o desenvolvimento (ou a melhoria) de modelos estruturais a partir de medições experimentais na presença de não-linearidade, ou seja identificação de sistemas não lineares, é preciso admitir que não existe um método de análise geral que possa ser aplicado a todos os sistemas em todas as instâncias (ver, por exemplo, sínteses anteriores (Adams e Allemang, 1998 ; Worden, 2000 )), como é o caso da análise modal em dinâmica estrutural linear. Além disso, muitas técnicas que são capazes de lidar com sistemas com baixa dimensão colapsam se forem confrontados com sistemas com alta densidade modal. Duas razões para esta falha, nomeadamente a inaplicabilidade de vários conceitos da teoria linear e a natureza altamente “individualista” dos sistemas não lineares, são discutidas na Secção 2.1. Uma terceira razão é que o S funcional que mapeia a entrada x(t) para a saída y(t), y(t)=S, não é conhecido de antemão. Por exemplo, o oscilador ubíquo Duffing (Duffing, 1918 ), cuja equação de movimento é my¨(t)+cy˙(t)+ky(t)+k3y3(t)=x(t), representa um exemplo típico da forma polinomial de restauração da não-linearidade da força, enquanto que o amortecimento histérico é um exemplo de forma não-polinomial de não-linearidade. Isto representa uma grande dificuldade em comparação com a identificação do sistema linear para o qual a estrutura da função é bem definida.
Even se houver uma diferença entre a forma como se fazia ‘historicamente’ a identificação de sistemas não lineares e a forma como se faria agora, o processo de identificação pode ser considerado como uma progressão através de três passos, nomeadamente a detecção, caracterização e estimativa de parâmetros, conforme delineado na Fig. 4. Uma vez detectado o comportamento não-linear, diz-se que um sistema não-linear é caracterizado após a determinação da localização, tipo e forma funcional de todas as não linearidades em todo o sistema. Os parâmetros do modelo selecionado são então estimados utilizando algoritmos de ajuste dos mínimos quadrados lineares ou de otimização não linear, dependendo do método considerado.
Fig. 4. Processo de identificação.
A identificação de sistemas não lineares é parte integrante do processo de verificação e validação(V&V). De acordo com (Roache, 1998 ), verificação refere-se a resolver as equações corretamente, ou seja, realizar os cálculos de forma matematicamente correta, enquanto validação refere-se a resolver as equações corretas, ou seja, formular um modelo matemático e selecionar os coeficientes de forma que o fenômeno físico de interesse seja descrito a um nível adequado de fidelidade. Tal como referido em (Doebling, 2002 ), uma definição que capta muitos dos aspectos importantes da validação do modelo é retirada da literatura das ciências de simulação:
A comprovação de que um modelo dentro do seu domínio de aplicabilidade possui uma gama satisfatória de precisão consistente com a aplicação pretendida do modelo (Schlesinger et al, 1979 ).
A discussão da verificação e validação está além do escopo deste artigo; o leitor pode consultar (Roache, 1998 ; Link e Friswell, 2003 ; Babuska e Oden, 2004 ; Hemez et al., 2005 ) e referências nele contidas.
Escopo do artigo: A motivação por detrás deste trabalho de pesquisa é tripla. Em primeiro lugar, pretende fornecer um ponto de partida conciso para pesquisadores e profissionais que desejam avaliar o estado atual da arte na identificação de modelos estruturais não lineares. Em segundo lugar, o trabalho pretende rever vários métodos que têm sido propostos na literatura técnica e destacar algumas das razões que impedem que estas técnicas sejam aplicadas a estruturas complexas. O último objetivo deste trabalho é identificar futuras necessidades de pesquisa que ajudariam a ‘empurrar o envelope’ na identificação de sistemas não lineares.
O assunto da dinâmica não-linear é extremamente amplo, e existe uma extensa literatura. Este artigo é inevitavelmente tendencioso para as áreas com as quais os autores estão mais familiarizados, e isto, naturalmente, significa aquelas áreas nas quais os autores e colegas conduziram pesquisas. Portanto, não é uma visão abrangente das abordagens passadas e atuais para a identificação de estruturas dinâmicas não lineares; por exemplo, não há nenhuma tentativa de resumir muitos dos desenvolvimentos originados na teoria de controle.
Desenho de experimentação (por exemplo, seleção de fontes de excitação, número e localização de sensores) que condiciona o sucesso do processo de identificação não é descrito aqui. Algumas informações podem ser encontradas em (Leontaritis e Billings, 1987 ; Duym e Schoukens, 1995 ; Worden e Tomlinson, 2001 ). A identificação do sistema na presença de vibrações caóticas (Moon, 1987 ) também não é discutida.