Complexe getallen zijn getallen die uit twee delen bestaan – een reëel getal en een imaginair getal. Complexe getallen zijn de bouwstenen van meer ingewikkelde wiskunde, zoals algebra. Ze kunnen worden toegepast op vele aspecten van het echte leven, vooral in de elektronica en het elektromagnetisme.
De standaardindeling voor complexe getallen is a + bi, met het reële getal eerst en het imaginaire getal als laatste. Omdat elk deel 0 kan zijn, kan technisch gezien elk reëel getal of imaginair getal als een complex getal beschouwd worden. Complex betekent niet ingewikkeld; het betekent dat de twee soorten getallen samen een complex vormen, zoals een wooncomplex – een groep gebouwen die samengevoegd zijn.
Reële getallen zijn tastbare waarden die kunnen worden uitgezet op een horizontale getallenlijn, zoals breuken, gehele getallen of elk telbaar getal dat je maar kunt bedenken. Imaginaire getallen zijn abstracte concepten die worden gebruikt wanneer u de vierkantswortel van een negatief getal nodig hebt.
Optellen & complexe getallen vermenigvuldigen
Omdat een complex getal een binomiaal is – een numerieke uitdrukking met twee termen – wordt rekenen over het algemeen op dezelfde manier gedaan als elk binomiaal, door de gelijke termen te combineren en te vereenvoudigen. Bijvoorbeeld:
(3 + 2i) + (4 – 4i)
(3 + 4) = 7
(2i – 4i) = -2i
Het resultaat is 7-2i.
Voor vermenigvuldiging gebruikt u de FOIL-methode voor polynoomvermenigvuldiging: vermenigvuldig de Eerste, vermenigvuldig de Buitenste, vermenigvuldig de Binnenste, vermenigvuldig de Laatste, en tel dan op. Bijvoorbeeld:
(3 – 2i)(5 + 3i) =
(3)(5) + (3)(3i) + (-2i)(5) + (-2i)(3i) =
15 + 9i + -10i + -6i2 =
15 – i – 6(-1) =
21 – i
De reden dat i2 vereenvoudigt tot (-1) is omdat i de vierkantswortel is van -1.
Deling van complexe getallen
Deling wordt echter ingewikkelder en vereist het gebruik van conjugaten. Complexe conjugaten zijn paren van complexe getallen die verschillende tekens hebben, zoals (a + bi) en (a – bi). Vermenigvuldiging van complexe conjugaten zorgt ervoor dat de middelste term wegvalt. Bijvoorbeeld:
(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – (bi)2
Dit vereenvoudigt tot a2 – b2(i2) = a2 – b2(-1)
Het eindresultaat is a2 + b2
Bij het delen van complexe getallen bepaalt u de geconjugeerde van de noemer en vermenigvuldigt u teller en noemer met de geconjugeerde. Bijvoorbeeld,
(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)
De geconjugeerde van 7 + 4i is 7 – 4i. Dus vermenigvuldig de teller en noemer met de geconjugeerde:
(5 + 2i)(7 – 4i) ÷ (7 + 4i)(7 – 4i) =
(35 + 14i – 20i – 8i2) ÷ (49 – 28i + 28i – 16i2 ) =
(35 – 6i + 8) ÷ (49 + 16) =
(43 – 6i) ÷ 65
Absolute waarde van complexe getallen
De absolute waarde van een getal wordt beschouwd als zijn afstand tot nul op de getallenlijn. Omdat complexe getallen imaginaire getallen bevatten, kunnen ze niet worden uitgezet op de rechte van de reële getallen. Ze kunnen echter wel vanaf nul gemeten worden op het complexe getallenvlak, dat een x-as (voor het reële getal) en de y-as (voor het imaginaire getal) omvat.
Toepassingen van complexe getallen
Complexe getallen kunnen gebruikt worden om kwadratische getallen op te lossen voor nulpunten. De kwadratische formule lost ax2 + bx + c = 0 op voor de waarden van x. Als de formule een negatieve geeft in de vierkantswortel, kunnen complexe getallen worden gebruikt om de nul te vereenvoudigen.
Complexe getallen worden gebruikt in de elektronica en het elektromagnetisme. Een enkel complex getal voegt twee reële grootheden samen, waardoor de getallen gemakkelijker zijn om mee te werken. In de elektronica bijvoorbeeld wordt de toestand van een schakelelement bepaald door de spanning (V) en de stroom (I). Circuitelementen kunnen ook een capaciteit (c) en een inductie (L) hebben, die de neiging van de schakeling beschrijven om weerstand te bieden aan veranderingen in V en I. In plaats van de toestand van het circuitelement te beschrijven door V en I, kan deze worden beschreven als z = V + Ii. De wetten van de elektriciteit kunnen dan worden uitgedrukt met behulp van optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen.
Zoals eerder vermeld, kan dit ook worden toegepast op het elektromagnetisme. In plaats van te worden beschreven als elektrische veldsterkte en magnetische veldsterkte, kun je een complex getal maken waarbij de elektrische en magnetische componenten de reële en imaginaire getallen zijn.
Verder lezen:
Complex getal rekenmachine
Math is Fun: Complexe Getallen
Wiskunde Magazijn: Complexe Getallen
Recent nieuws