Dear Straight Dope:
Ik ben oud genoeg om van de “nieuwe wiskunde” te hebben gehoord, maar voor zover ik kan nagaan was dat wat mij op school werd geleerd. Ik heb mensen ouder dan mijzelf gevraagd wat de “oude wiskunde” precies was. Ze waren er zeker van dat ik blootgesteld was aan het nieuwe spul, maar leken verbaasd toen ik hen vroeg wat de verschillen waren. Persoonlijk kon ik op de middelbare school of op de universiteit geen wiskunde vinden die niet een solide basis had van vóór deze eeuw.
Matt de Vries
Ian, Jill, en Dex antwoorden:
In de vijftiende eeuw, toen Duitse ouders wilden dat hun kinderen optellen en aftrekken leerden, stuurden ze hen naar de plaatselijke universiteiten. Maar om vermenigvuldiging en deling te leren, moesten ze hun kinderen naar Italië sturen voor een hogere opleiding. De nieuwe wiskunde die kort daarna in Europa arriveerde en die CCLXIV x MDCCCIV veranderde in een probleem dat we aan zesde klassers kunnen leren, was werkelijk revolutionair. De nieuwe wiskunde van de jaren zestig was, nou ja, zoals veel andere bewegingen van de jaren zestig, ontwrichtend, veracht, en matig heilzaam, en is er nu nog steeds, maar incognito.
Na de lancering van de Spoetnik vonden de Amerikanen dat de scholen in een crisis verkeerden. De National Science Foundation (NSF), opgericht in 1950 om fundamenteel wetenschappelijk onderzoek te bevorderen, werd in 1957 uitgebreid en begon met het onderzoeken en bevorderen van veranderingen in het middelbaar schoolonderwijs in wiskunde, biologie, scheikunde en sociale wetenschappen. De veranderingen in de leerplannen en teksten hadden ook een filter-effect op de lagere scholen. De belangrijkste drijfveer van deze veranderingen was de omschakeling van “vertellen” door de leraar en recitatie door de leerlingen naar “onderzoek” en “ontdekking”, in de hoop dat de leerlingen de informatie die zij zelf ontdekten beter zouden onthouden dan wat hen in collegevorm werd verteld en uit het hoofd geleerd. In de harde wetenschappen, en in mindere mate in de sociale wetenschappen, werd dit omschreven als “praktijkgericht leren”. Het is een onderwijstechniek die vandaag de dag nog steeds in hoog aanzien staat bij opvoeders en ouders.
In de meer abstracte wiskunde was de ‘hands-on’ connotatie echter verontrustend voor leraren en ouders die de optel- en vermenigvuldigingstafels uit het hoofd hadden geleerd. Een van de zwaartepunten van de nieuwe wiskunde was de verzamelingenleer, waarbij leerlingen werden aangemoedigd om op een nieuwe, hopelijk concretere manier over getallen na te denken. Leerlingen namen een set van vier items en telden die op bij een andere set van vijf. Ja, het resultaat was nog steeds negen, maar de nadruk lag op het concept van optellen, en niet op het antwoord op zich. Met deze techniek hoopten de leerlingen te ontdekken dat de sets hetzelfde getal zouden opleveren, ongeacht hun volgorde (de commutatieve eigenschap), en dat het nemen van een oorspronkelijke set uit de gecombineerde set de andere oorspronkelijke set zou opleveren, waardoor ze aftrekken ontdekten, het omgekeerde van optellen. Andere aspecten van de nieuwe wiskunde omvatten het gebruik van andere getalbasissen dan het grondtal-10 en de invoering van abstractere getaltheoretische concepten zoals priemgetallen vroeger in de loopbaan van de leerlingen. Zoals u zegt, waren geen van deze concepten nieuw ontdekt in de 20e eeuw; de verschuiving was louter in onderwijstechniek, niet in basisconcepten.
Leraren waren hier nogal tegen gekant, omdat zij opmerkten dat de instructie van de klas als geheel minder uniform was, en dat de mogelijkheid dat sommige leerlingen te ver achterop raakten sterk werd vergroot. Ouders waren meer uitgesproken in hun verzet, beweerden dat ze hun derde klassers niet meer konden helpen met hun huiswerk, en wezen op een merkbare achteruitgang in de meer concrete vaardigheden zoals rekenen. Nieuwe wiskunde werd bespot in het publieke forum, zoals in Tom Lehrer’s lied New Math: “Het is zo eenvoudig / Zo heel eenvoudig, / Dat alleen een kind het kan!” Tegen 1976 gebruikte slechts 9% van de schooldistricten het door de NSF voorgeschreven leerplan in hun wiskundeprogramma’s. Morris Kline, in Why Johnny Can’t Add: The Failure of the New Math, schreef dat “met bijna volmaakte regelmaat, de terugkeer naar traditionele inhoud instructiemethoden, en hogere normen van de prestaties van studenten wordt toegejuicht.”
De leerboeken werden slechts gedurende ongeveer 10 jaar gedomineerd door het nieuwe wiskunde systeem. Elementen als verzamelingenleer en basisrekenen zijn echter tot op de dag van vandaag behouden, zij het met minder nadruk en als een veel kleiner deel van het totale leerplan. Laat me niet beginnen over de zogenaamde “New New Math”, een debat dat nog moet worden gevoerd in de klaslokalen, op vergaderingen van schoolbesturen en PTA’s, en misschien in de rechtbanken, en dat in de komende jaren een heet hangijzer belooft te worden. Blijf op de hoogte.
SDSTAFF Jill voegt toe:
Hier is het antwoord van mijn vader:
“Ik herinner me de introductie van ‘nieuwe wiskunde’ ver terug in Scotts Valley. Ik weet echt niet meer wat het was, behalve dat mijn indruk is dat het meer bestond uit praten over wiskunde dan uit het doen ervan. De meeste ouders waren doodongerust, omdat ze het niet begrepen.
“Als hulp kan ik me mijn jeugd herinneren in Dudley Elementary School (K, 1-7). Het heette rekenen, geen wiskunde. De eerste tien of vijftien minuten van elke dag gedurende zeven jaar bestonden uit oefeningen in het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van getallen. We kregen elk een kaart met de opgaven van die dag erop. We hadden elk een tablet van dun, doorschijnend papier. De kaart ging onder de bovenste pagina. We schreven de antwoorden op het papier. Iedereen haatte dit. Aan de andere kant kon iedereen die hier zeven jaar van had doorlopen, met getallen omgaan zonder rekenmachine.
“Natuurlijk deden we ook de gebruikelijke dingen in de rekenles. Eén ding was anders, we leerden logaritmen in de zevende klas. Logaritmen worden niet meer gebruikt vanwege de computer en de elektronische rekenmachine. Ik vind ze nog steeds leuk, want ze zijn echt cool. (‘Cool’ is het nieuwe wiskundewoord voor ‘netjes.’)
“Het basisverschil is dat we rekenkunde deden, wat over getallen gaat, en nieuwe wiskunde meer over ideeën en concepten gaat. Een ander is, ‘Dit is het probleem. Wat is het antwoord?’ in tegenstelling tot, ‘Dit is het concept. Wat betekent het? Een andere poging om leren leuk te maken in plaats van werk.”
SDSTAFF Dex voegt toe:
De volgende voorbeelden kunnen helpen om het verschil tussen de nieuwe en oude wiskunde te verduidelijken.
1960: Een houthakker verkoopt een vrachtwagenlading timmerhout voor $100. Zijn productiekosten zijn 4/5 van deze prijs. Wat is zijn winst?
1970 (traditionele wiskunde): Een houthakker verkoopt een vrachtwagen hout voor $100. Zijn productiekosten zijn $80. Wat is zijn winst?
1975 (Nieuwe wiskunde): Een houthakker ruilt een verzameling L van timmerhout tegen een verzameling M van geld. De kardinaliteit van de verzameling M is 100 en elk element is $1 waard.
(a) maak 100 punten die de elementen van de verzameling M voorstellen
(b) De verzameling C die de productiekosten voorstelt, bevat 20 punten minder dan de verzameling M. Stel de verzameling C voor als een deelverzameling van de verzameling M.
(c) Wat is de kardinaliteit van de verzameling P van winsten?
1990 (Dombed-down wiskunde): Een houthakker verkoopt een vrachtwagen hout voor $100. Zijn productiekosten zijn $80 en zijn winst is $20. Onderstreep het getal 20.
1997 (Hele wiskunde): Door een bos vol prachtige bomen om te hakken, verdient een houthakker $20.
(a) Wat vind je van deze manier van geld verdienen?
(b) Hoe voelden de bosvogels en eekhoorns zich?
(c) Teken een tekening van het bos zoals je zou willen dat het eruitziet.
Ian, Jill, en Dex
Stuur je vragen naar Cecil via [email protected].
VERSLAGEN WORDEN SCHRIJVEN DOOR HET STRAIGHT DOPE SCIENCE ADVISORY BOARD, CECIL’S ONLINE AUXILIARY. HOEWEL DE SDSAB ZIJN BEST DOET, WORDEN DEZE COLUMNS GEREDIGEERD DOOR ED ZOTTI, NIET CECIL, DUS WAT NAUWKEURIGHEID BETREFT KUN JE MAAR BETER DUIMEN.