Mathematisch gezien is de eenvoudigste soort transversale golf een vlakke lineair gepolariseerde sinusoïdale golf. “Vlak” betekent hier dat de voortplantingsrichting onveranderlijk is en dezelfde over het gehele medium; “lineair gepolariseerd” betekent dat ook de verplaatsingsrichting onveranderlijk is en dezelfde over het gehele medium; en de grootte van de verplaatsing is alleen een sinusoïdale functie van de tijd en van de positie langs de voortplantingsrichting.
De beweging van een dergelijke golf kan als volgt mathematisch worden uitgedrukt. Zij d de voortplantingsrichting (een vector met eenheidslengte), en o een willekeurig referentiepunt in het medium. Zij u de richting van de oscillaties (een andere vector van eenheidslengte loodrecht op d). De verplaatsing van een deeltje in een willekeurig punt p van het medium en een willekeurig tijdstip t (seconden) zal zijn
S ( p , t ) = A u sin ( t – ( p – o ) ⋅ d v T + ϕ ) {Displaystyle S(p,t)=Au sin {\left({\frac {t-(p-o)\cdot {frac {d}{v}}{T}}+\phi \right)}}
waar A de amplitude of sterkte van de golf is, T de periode, v de voortplantingssnelheid, en φ de fase bij o. Al deze parameters zijn reële getallen. Het symbool “-” geeft het inwendig product van twee vectoren aan.
In deze vergelijking beweegt de golf zich in de richting d en vinden de oscillaties heen en weer plaats langs de richting u. Men zegt dat de golf lineair gepolariseerd is in de richting u.
Een waarnemer die naar een vast punt p kijkt, zal het deeltje daar zien bewegen in een eenvoudige harmonische (sinusoïdale) beweging met periode T seconden, met maximale deeltjesverplaatsing A in elke zin; dat wil zeggen, met een frequentie van f = 1/T volledige oscillatiecycli elke seconde. Een momentopname van alle deeltjes op een vast tijdstip t toont voor alle deeltjes dezelfde verplaatsing op elk vlak loodrecht op d, waarbij de verplaatsingen in opeenvolgende vlakken een sinusoïdaal patroon vormen, waarbij elke volledige cyclus zich langs d uitstrekt met de golflengte λ = v T = v/f. Het gehele patroon beweegt zich in de richting d met snelheid V.
Dezelfde vergelijking beschrijft een vlakke lineair gepolariseerde sinusvormige lichtgolf, behalve dat de “verplaatsing” S(p, t) het elektrisch veld op punt p en tijdstip t is. (Het magnetisch veld zal worden beschreven door dezelfde vergelijking, maar met een “verplaatsingsrichting” die loodrecht staat op zowel d als u, en een andere amplitude.)
SuperpositieprincipeEdit
In een homogeen elastisch medium kunnen complexe oscillaties (trillingen in een materiaal of lichtstromen) worden beschreven als de superpositie van vele eenvoudige sinusoïdale golven, hetzij transversaal (lineair gepolariseerd) of longitudinaal.
De trillingen van een vioolsnaar, bijvoorbeeld, kunnen worden geanalyseerd als de som van vele transversale golven van verschillende frequenties, die de snaar ofwel omhoog of omlaag of van links naar rechts verplaatsen. De rimpelingen in een vijver kunnen worden geanalyseerd als een combinatie van transversale en longitudinale golven (zwaartekrachtgolven) die zich samen voortplanten.
Circulaire polarisatieEdit
Als het medium lineair is en meerdere onafhankelijke verplaatsingsrichtingen voor dezelfde verplaatsingsrichting d toelaat, kunnen we twee onderling loodrechte polarisatierichtingen kiezen, en elke golf die lineair gepolariseerd is in een andere richting, uitdrukken als een lineaire combinatie (vermenging) van die twee golven.
Door twee golven met dezelfde frequentie, snelheid en reisrichting, maar met verschillende fasen en onafhankelijke verplaatsingsrichtingen te combineren, verkrijgt men een cirkelvormig of elliptisch gepolariseerde golf. In zo’n golf beschrijven de deeltjes cirkelvormige of elliptische banen, in plaats van heen en weer te bewegen.
Het kan begrip helpen om het gedachte-experiment met een strak touwtje, dat hierboven is genoemd, nog eens te bekijken. Merk op dat u ook golven op het touwtje kunt lanceren door uw hand naar rechts en links te bewegen in plaats van naar boven en beneden. Dit is een belangrijk punt. Er zijn twee onafhankelijke (orthogonale) richtingen waarin de golven kunnen bewegen.(Dit geldt voor elke twee richtingen die loodrecht op elkaar staan, op en neer en rechts en links zijn gekozen voor de duidelijkheid). Golven die worden gelanceerd door uw hand in een rechte lijn te bewegen zijn lineair gepolariseerde golven.
Maar stel u nu voor dat u uw hand in een cirkel beweegt. Uw beweging zal een spiraalvormige golf op de snaar lanceren. U beweegt uw hand tegelijkertijd op en neer en van links naar rechts. De maxima van de zijwaartse beweging liggen een kwart golflengte (of een kwart weg rond de cirkel, dat is 90 graden of π/2 radialen) van de maxima van de opwaartse en neerwaartse beweging. Op elk punt langs de snaar zal de verplaatsing van de snaar dezelfde cirkel beschrijven als je hand, maar vertraagd door de voortplantingssnelheid van de golf. Merk ook op dat u ervoor kunt kiezen uw hand met de klok mee of tegen de klok in te bewegen. Deze afwisselende cirkelbewegingen produceren rechts en links circulair gepolariseerde golven.
In de mate dat uw cirkel onvolmaakt is, zal een regelmatige beweging een ellips beschrijven, en elliptisch gepolariseerde golven produceren. In het uiterste geval van excentriciteit zal uw ellips een rechte lijn worden, en lineaire polarisatie langs de hoofdas van de ellips produceren. Een elliptische beweging kan altijd worden ontleed in twee orthogonale lineaire bewegingen van ongelijke amplitude en 90 graden uit fase, waarbij cirkelvormige polarisatie het speciale geval is waarin de twee lineaire bewegingen dezelfde amplitude hebben.
