We kunnen permutaties en combinaties gebruiken om ons te helpen complexere kansvragen te beantwoorden
Voorbeeld 1
Er wordt een 4-cijferige pincode gekozen. Wat is de kans dat er geen herhaalde cijfers zijn?
Er zijn 10 mogelijke waarden voor elk cijfer van de PIN (namelijk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), dus er zijn 10 × 10 × 10 × 10 = 10
4 = 10000 totaal mogelijke PINs.
Om geen herhaalde cijfers te hebben, zouden alle vier de cijfers verschillend moeten zijn, wat selecteren zonder vervanging is. We kunnen ofwel 10 × 9 × 8 × 7 berekenen, of opmerken dat dit hetzelfde is als de permutatie
10P4 = 5040.
De waarschijnlijkheid van geen herhaalde cijfers is het aantal 4-cijferige PINs zonder herhaalde cijfers gedeeld door het totale aantal 4-cijferige PINs. Deze kans is
{{}_{10}}{P}_{4}}}}{{10}^{4}}}}={5040}}{10000}={0,504}
Voorbeeld 2
In een loterij van een bepaalde staat worden 48 ballen, genummerd van 1 tot en met 48, in een machine geplaatst en zes daarvan worden willekeurig getrokken. Als de zes getrokken nummers overeenkomen met de nummers die een speler had gekozen, wint de speler $1.000.000. In deze loterij doet de volgorde waarin de getallen worden getrokken er niet toe. Bereken de kans dat u de prijs van een miljoen dollar wint als u een enkel lot koopt.
Om de kans te berekenen, moeten we het totale aantal manieren tellen waarop zes getallen kunnen worden getrokken, en het aantal manieren waarop de zes getallen op het lot van de speler kunnen overeenkomen met de zes getallen die uit de machine worden getrokken. Aangezien er geen bepaling is dat de getallen in een bepaalde volgorde moeten staan, is het aantal mogelijke uitkomsten van de loterij trekking 50748C6 = 12.271.512. Van deze mogelijke uitkomsten zou er slechts één overeenkomen met alle zes getallen op het lot van de speler, dus de kans om de hoofdprijs te winnen is:
0000000815}
Voorbeeld 3
In de staatsloterij uit het vorige voorbeeld wint de speler een tweede prijs van $1.000 als vijf van de zes getrokken getallen overeenkomen met de getallen die een speler heeft gekozen. Bereken de kans dat u de tweede prijs wint als u een enkel lot koopt.
Zoals hierboven, is het aantal mogelijke uitkomsten van de loterijtrekking
48C6 = 12.271.512. Om de tweede prijs te winnen, moeten vijf van de zes getallen op het ticket overeenkomen met vijf van de zes winnende getallen; met andere woorden, we moeten vijf van de zes winnende getallen en één van de 42 verliezende getallen hebben gekozen. Het aantal manieren om 5 van de 6 winnende getallen te kiezen wordt gegeven door 6C5 = 6 en het aantal manieren om 1 van de 42 verliezende getallen te kiezen wordt gegeven door 42C1 = 42. Dus het aantal gunstige uitkomsten wordt dan gegeven door de Basis Telling Regel: 6C5 × 42C1 = 6 × 42 = 252. De kans op het winnen van de tweede prijs is dus
{{}_{6}}{C}_{5}}}}{{}_{{42}}{C}_{1}})}}{{{48}}{C}_{6}}}}={{12271512}}{{{0.0000205}
Probeer het Nu 1
Een meerkeuzevraag op een economie-quiz bevat 10 vragen met elk vijf mogelijke antwoorden. Bereken de kans dat je de antwoorden willekeurig raadt en precies 9 vragen goed hebt.
Voorbeeld 4
Bereken de kans dat je willekeurig vijf kaarten trekt uit een kaartspel en precies één Aas krijgt.
In veel kaartspellen (zoals poker) is de volgorde waarin de kaarten worden getrokken niet belangrijk (omdat de speler de kaarten in zijn hand mag herschikken zoals hij wil); in de problemen die volgen, zullen we aannemen dat dit het geval is, tenzij anders vermeld. We gebruiken dus combinaties om het mogelijke aantal handen van 5 kaarten te berekenen,
52C5. Dit getal komt in de noemer van onze kansformule, omdat het het aantal mogelijke uitkomsten is.
Voor de teller hebben we het aantal manieren nodig om een Aas en vier andere kaarten (geen van hen Azen) uit het kaartspel te trekken. Aangezien er vier Azen zijn en we er precies één willen, zijn er
4C1 manieren om één Aas te kiezen; aangezien er 48 niet-Azen zijn en we er 4 willen, zijn er 48C4 manieren om de vier niet-Azen te kiezen. Nu gebruiken we de Basis Telregel om uit te rekenen dat er 4C1 × 48C4 manieren zijn om één Aas en vier niet-Azen te kiezen.
Als we dit allemaal samenvoegen, we have
\displaystyle{P}{\left(\text{one Ace}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{1}}\right)}{\left({}_{{48}}{C}_{{4}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{778320}}{{2598960}}\approx{0.299}
Voorbeeld 5
Bereken de kans dat je willekeurig vijf kaarten uit een kaartspel trekt en precies twee Azen krijgt.
De oplossing is gelijk aan het vorige voorbeeld, behalve dat we nu 2 Azen uit 4 kiezen en 3 niet-Azen uit 48; de noemer blijft hetzelfde:
Het is nuttig op te merken dat deze kaartproblemen opmerkelijk veel lijken op de eerder besproken loterijproblemen.
Probeer het Nu 2
Bereken de kans dat je willekeurig vijf kaarten trekt uit een spel kaarten en drie Azen en twee Koningen krijgt.
Verjaardagsprobleem
Laten we even stilstaan bij een beroemd probleem in de kansrekening:
Stel dat je een kamer vol hebt met 30 mensen. Hoe groot is de kans dat er minstens één gedeelde verjaardag is?
Gok eens naar het antwoord op bovenstaand probleem. Was je gok vrij laag, zo rond de 10%? Dat lijkt het intuïtieve antwoord te zijn (30/365, misschien?). Laten we eens kijken of we naar onze intuïtie moeten luisteren. Maar laten we beginnen met een eenvoudiger probleem.
Voorbeeld 6
Voorstel dat er drie mensen in een kamer zijn. Wat is de kans dat er minstens één gedeelde verjaardag is onder deze drie mensen?
Er zijn heel veel manieren waarop er minstens één gedeelde verjaardag kan zijn. Gelukkig is er een eenvoudiger manier. We vragen ons af “Wat is het alternatief voor het hebben van minstens één gedeelde verjaardag?” In dit geval is het alternatief dat er
geen gedeelde verjaardagen zijn. Met andere woorden, het alternatief voor “minstens één” is er geen hebben. Met andere woorden, omdat dit een complementaire gebeurtenis is,
P(ten minste één) = 1 – P(geen)
We beginnen dus met het berekenen van de kans dat er geen gedeelde verjaardag is. Stel je voor dat je een van deze drie mensen bent. Je verjaardag kan van alles zijn zonder conflict, dus er zijn 365 keuzes van de 365 voor je verjaardag. Wat is de kans dat de tweede persoon uw verjaardag niet deelt? Er zijn 365 dagen in het jaar (schrikkeljaren even buiten beschouwing gelaten) en als je je verjaardag niet in conflict brengt, zijn er 364 keuzes die garanderen dat je geen verjaardag deelt met deze persoon, dus de kans dat de tweede persoon je verjaardag niet deelt is 364/365. Nu gaan we naar de derde persoon. Wat is de kans dat deze derde persoon niet dezelfde verjaardag heeft als u of de tweede persoon? Er zijn 363 dagen die niet samenvallen met uw verjaardag of met die van de tweede persoon, dus de kans dat de derde persoon niet dezelfde verjaardag heeft als de eerste twee is 363/365.
We willen dat de tweede persoon niet jarig is met jou
en dat de derde persoon niet jarig is met de eerste twee personen, dus gebruiken we de vermenigvuldigingsregel:
\displaystyle{P}{\left(\text{no shared birthday}\right)}=\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\approx{0.9918}
en trek dan af van 1 om
P(gedeelde verjaardag) = 1 – P(geen gedeelde verjaardag) = 1 – 0.9918 = 0.0082.
Dit is een vrij klein getal, dus misschien is het logisch dat het antwoord op ons oorspronkelijke probleem klein zal zijn. Laten we onze groep eens wat groter maken.
Voorbeeld 7
Voorstel dat er vijf mensen in een kamer zijn. Wat is de kans dat er minstens één gedeelde verjaardag is onder deze vijf mensen?
Doorgaand op het patroon van het vorige voorbeeld, moet het antwoord zijn
\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\cdot\frac{{362}}{{365}}\cdot\frac{{361}}{{365}}\approx{0.0271}
Merk op dat we dit compacter zouden kunnen herschrijven als
Displaystyle{P}{{linker({ gedeelde verjaardag}}rechts)}={1}-{{}_{365}}{P}_{5}}}}{365}^{{5}}}{1}-{1}-{{{{}_{365}}}}{5}}}}{365}^{{5}}}{0.0271}
wat het wat gemakkelijker maakt om in een rekenmachine of computer te typen, en wat een mooie formule suggereert als we de populatie van onze groep blijven uitbreiden.
Voorbeeld 8
Voorstel dat er 30 mensen in een kamer zijn. Hoe groot is de kans dat er onder deze 30 mensen minstens één gedeelde verjaardag is?
Hiermee kunnen we berekenen
{P}{links(tekst{gedeeldeverjaardag}}}rechts)}={1}-{{}_{365}}{P}_{30}}}}{365}^{30}}}{0.706}
wat ons het verrassende resultaat geeft dat wanneer je in een kamer bent met 30 mensen er een kans van 70% is dat er minstens één gedeelde verjaardag zal zijn!
Als je van wedden houdt, en als je 30 mensen kunt overtuigen om hun verjaardag bekend te maken, kun je misschien wat geld winnen door met een vriend te wedden dat er minstens twee mensen met dezelfde verjaardag in de kamer zullen zijn, telkens als je in een kamer van 30 of meer mensen bent. (Je moet er natuurlijk wel zeker van zijn dat je vriend geen kansberekening heeft bestudeerd!) U zou niet gegarandeerd winnen, maar u zou meer dan de helft van de tijd moeten winnen.
Dit is een van de vele resultaten in de waarschijnlijkheidstheorie die contra-intuïtief zijn; dat wil zeggen, het gaat tegen ons buikgevoel in. Als u de wiskunde nog steeds niet gelooft, kunt u een simulatie uitvoeren. Om te voorkomen dat u groepen van 30 mensen bijeen moet roepen, is iemand zo vriendelijk geweest een Java-applet te ontwikkelen waarmee u een computersimulatie kunt uitvoeren. Ga naar deze webpagina:
http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html, en zodra de applet geladen is, selecteer je 30 verjaardagen en blijf je klikken op Start en Reset. Als je bijhoudt hoe vaak een verjaardag herhaald wordt, zou je ongeveer 7 van de 10 keer dat je de simulatie uitvoert een herhaalde verjaardag moeten krijgen.
Probeer het nu 3
Voorstel dat er 10 mensen in een kamer zijn. Wat is de kans dat er onder deze 10 mensen minstens één gedeelde verjaardag is?
- Displaystyle{P}{links({9}{juiste antwoorden}}rechts)}={9{9}cdot4}{(5^{10})}=0.0000037 kans
- Displaystyle{P}{left(tekst{drie Azen en twee Kings}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{3}}\right)}{\left({}_{{4}}{C}_{{2}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{24}}{{2598960}}\approx{0.0000092}
- Displaystyle{P}{{{5}}}}={2598960}}}:{1}-{{{}_{365}}{P}_{10}}}}{{365}^{10}}}{0.117}
David Lippman, Math in Society, “Probability,” onder een CC BY-SA 3.0 licentie.