In het 16e eeuwse Venetië waren formules voor het oplossen van vergelijkingen streng bewaakte intellectuele eigendommen. Van bijzonder belang voor ballistiek- en vestingbouwdeskundige Niccolo Tartaglia waren kwadratische en kubische vergelijkingen, die onder meer het gedrag van projectielen tijdens de vlucht modelleerden. Deze kunnen u misschien een belletje doen rinkelen bij wiskunde op school – kwadratische vergelijkingen hebben een x2 term in zich en kubieke vergelijkingen een x3 term. Tartaglia en andere wiskundigen merkten op dat voor sommige oplossingen de vierkantswortels van negatieve getallen nodig waren, en hierin schuilt een probleem. Negatieve getallen hebben geen vierkantswortels – er is geen getal dat, wanneer het met zichzelf vermenigvuldigd wordt, een negatief getal oplevert. Dat komt omdat negatieve getallen, wanneer ze met elkaar worden vermenigvuldigd, een positief resultaat opleveren: -2 × -2 = 4 (niet -4).
Tartaglia en zijn rivaal, Gerolamo Cardano, merkten op dat, als zij negatieve vierkantswortels in hun berekeningen toelieten, zij toch geldige numerieke antwoorden konden geven (Reële getallen, zoals wiskundigen ze noemen). Tartaglia leerde dit op de harde manier toen hij in 1530 werd verslagen door een van Cardano’s studenten in een maandenlang vergelijkend duel.
- Vijf rare feiten over wiskunde
- Kan wiskunde het terrorisme verslaan?
Mathematici gebruiken i om de vierkantswortel van min één voor te stellen. Dit wordt de imaginaire eenheid genoemd – het is geen reëel getal, bestaat niet in het ‘echte’ leven. We kunnen het wel gebruiken om de vierkantswortels van negatieve getallen te vinden. Als ik de vierkantswortels van -4 wil berekenen, kan ik zeggen dat -4 = 4 × -1. Dit betekent dat de vierkantswortel van -4 is de vierkantswortel van 4 vermenigvuldigd met de vierkantswortel van -1. In symbolen:
√-4= √4×√-1
De vierkantswortel van 4 is 2, en de vierkantswortel van -1 is i, zodat we als antwoord krijgen dat de vierkantswortel van -4 2i is. We moeten ook opmerken dat -2 ook een vierkantswortel is van 4 om de hierboven vermelde redenen. Dit betekent dat de vierkantswortels van -4 2i en -2i zijn.
De rekenkunde van i zelf vormde aanvankelijk een obstakel voor wiskundigen. Ik stelde hierboven dat negatief maal negatief positief oplevert en wij zijn van huis uit vertrouwd met het idee dat positief maal positief positief positief oplevert. Met de imaginaire eenheid lijkt dit op te breken, waarbij twee positieven vermenigvuldigen om een negatief te geven:
i × i = i2 = -1
Evenzo vermenigvuldigen hier twee negatieven om een negatief te geven:
-i × -i = i2 = -1
Dit was enige tijd een probleem en gaf sommigen het gevoel dat het gebruik ervan in de formele wiskunde niet rigoureus was. Rafael Bombelli, een andere Italiaanse renaissancist, schreef in 1572 een boek met de eenvoudige titel Algebra, waarin hij wiskunde trachtte uit te leggen aan mensen zonder kennis op universitair niveau, waardoor hij een vroege onderwijspionier werd. In Algebra legt hij uit hoe je kunt rekenen met positieve, negatieve en imaginaire getallen, waarbij hij aanvoert dat de imaginaire eenheid (i werd pas in de 18e eeuw als symbool gebruikt) noch positief noch negatief is en dus niet gehoorzaamt aan de gebruikelijke regels van de rekenkunde.
Het werk van deze wiskundigen aan imaginaire getallen maakte de ontwikkeling mogelijk van wat nu de Fundamentele Stelling van de Algebra wordt genoemd. In principe is het aantal oplossingen van een vergelijking altijd gelijk aan de hoogste macht van de onbekende in de vergelijking. Bijvoorbeeld, toen ik hierboven de vierkantswortels van -4 uitrekende, loste ik de vergelijking x2= -4 op. De hoogste (en enige) macht van de onbekende x in de vergelijking is twee, en zie daar, we vonden twee antwoorden, 2i en -2i.
Met een kubische vergelijking, waarvan de hoogste macht drie is, zou ik drie oplossingen moeten krijgen. Laten we eens kijken naar x3 + 4x = 0, dezelfde vorm van kubische vergelijking die Tartaglia behandelde. x = 0 is een oplossing, want 03 – 4 × 0 = 0 – 0 = 0, waarmee de vergelijking vervuld is. Maar hoe zit het met de andere twee oplossingen die we verwachten van een kubiek?
Wel, er zijn geen reële oplossingen meer voor de vergelijking, maar wel imaginaire. In feite zijn 2i en -2i ook oplossingen voor deze vergelijking, zodat we in totaal drie oplossingen hebben.
Luister naar Science Focus Podcast-afleveringen over wiskunde:
- Wat is er aan de hand met algoritmen? – Hannah Fry
- Wat gebeurt er als wiskunde vreselijk, vreselijk fout gaat? – Matt Parker
Pas een paar honderd jaar na Bombelli werd de fundamentele stelling van de algebra rigoureus bewezen door de Parijse boekhandelaar Jean-Robert Argand in 1806. Argand was ook een pionier in het verband tussen imaginaire getallen en meetkunde via het concept van complexe getallen.
Complexe getallen zijn getallen met een reëel deel en een imaginair deel. Bijvoorbeeld, 4 + 2i is een complex getal met een reëel deel gelijk aan 4 en een imaginair deel gelijk aan 2i. Het blijkt dat zowel reële getallen als imaginaire getallen ook complexe getallen zijn. Zo is 17 een complex getal met een reëel deel gelijk aan 17 en een imaginair deel gelijk aan nul, en i een complex getal met een reëel deel gelijk aan nul.
Een andere Fransman, Abraham de Moivre, was een van de eersten die complexe getallen in verband bracht met meetkunde met zijn stelling van 1707 waarin complexe getallen en goniometrie met elkaar in verband werden gebracht. Argand ontwikkelde vervolgens Arganddiagrammen, die lijken op een normale grafiek met een x- en y-as, behalve dat zijn assen de reële en de imaginaire getallen zijn. Deze doorbraken maakten het mogelijk complexe algebraïsche problemen op te lossen met behulp van de meetkunde.
Zoals zoveel ontwikkelingen in de wiskunde, was dit alles van zuiver academisch belang tot het moderne elektronische tijdperk. Complexe getallen blijken ongelooflijk nuttig te zijn bij de analyse van alles wat in golven komt, zoals de elektromagnetische straling die we gebruiken in radio’s en wifi, audiosignalen voor muziek en spraakcommunicatie en wisselstroomvoedingen. Ook de kwantumfysica herleidt alle deeltjes tot golfvormen, wat betekent dat complexe getallen van groot belang zijn om deze vreemde wereld te begrijpen die ons in staat heeft gesteld te genieten van moderne computers, glasvezel, GPS, MRI-beeldvorming, om er maar een paar te noemen. Gelukkig maar dat wiskundigen, van 500 jaar geleden tot nu, besloten dat imaginaire getallen toch de moeite van het onderzoeken waard waren.
Volg Science Focus op Twitter, Facebook, Instagram en Flipboard