Toon mobiele notitie Toon alle notities Verberg alle notities
Hoofdstuk 4-1 : De Definitie
Weetje, het is altijd een beetje beangstigend als we een heel hoofdstuk wijden aan alleen de definitie van iets. Laplace transformaties (of gewoon transformaties) kunnen eng lijken als we er voor het eerst naar kijken. Zoals we zullen zien, zijn ze echter niet zo erg als ze op het eerste gezicht lijken.
Voordat we met de definitie van de Laplace-transformatie beginnen, moeten we eerst een andere definitie uit de weg ruimen.
Een functie heet stukgewijs continu op een interval als het interval kan worden opgedeeld in een eindig aantal deelintervallen waarop de functie continu is op elk open deelinterval (d.w.z. het deelinterval zonder eindpunten) en een eindige limiet heeft op de eindpunten van elk deelinterval. Hieronder staat een schets van een stukgewijs continue functie.
Met andere woorden, een stukgewijs continue functie is een functie die een eindig aantal breuken in zich heeft en nergens opblaast tot oneindig.
Nu kijken we naar de definitie van de Laplace-transformatie.
Definitie
Voorstel dat f(t)een stukgewijs continue functie is. De Laplace-transformatie van (f(t)†) wordt aangeduid met (\mathcal{L}}left}{ {ff(t)†rechts} \en gedefinieerd als
\
Er is een alternatieve notatie voor Laplace-transformaties. Gemakshalve zullen we Laplace-transformaties vaak aanduiden als,
\
Met deze alternatieve notatie merken we op dat de transformatie eigenlijk een functie is van een nieuwe variabele, \(s\), en dat alle \(t\)’s wegvallen in het integratieproces.
Nu wordt de integraal in de definitie van de transformatie een oneigenlijke integraal genoemd en het is waarschijnlijk het beste om ons te herinneren hoe dit soort integralen werken voordat we daadwerkelijk met transformaties gaan rekenen.
Nu we weten hoe we dit moeten doen, laten we wat Laplace-transformaties gaan berekenen. We beginnen met waarschijnlijk de eenvoudigste Laplace-transformatie om te berekenen.
Er is hier eigenlijk niet veel anders te doen dan de functie \(f(t) = 1) in \(\eqref{eq:eq1}\)
Nou, merk op dit punt op dat dit niets meer is dan de integraal in het vorige voorbeeld met \(c = – s\). Daarom hoeven we alleen maar \(\eqref{eq:eq2}\) te hergebruiken met de juiste substitutie. Dit geeft,
\
Of, met wat vereenvoudiging hebben we,
\
Merk op dat we een beperking op \(s\) moesten zetten om de transformatie te kunnen berekenen. Alle Laplace transformaties zullen beperkingen hebben. In dit stadium van het spel negeert men deze beperking, maar men mag nooit vergeten dat hij er is.
Laten we een ander voorbeeld doen.
Stop de functie in de definitie van de transformatie en doe een kleine vereenvoudiging.
Ook hier zien we dat we \(\eqref{eq:eq2}\) kunnen gebruiken op voorwaarde dat \(c = a – s\). Laten we dit dus doen.
\
Laten we nog een voorbeeld doen dat niet neerkomt op een toepassing van \(\eqref{eq:eq2}\).
Zoals dit voorbeeld laat zien, is het berekenen van Laplace-transformaties vaak rommelig.
Voordat we verder gaan met de volgende paragraaf, moeten we nog een kleine opmerking terzijde maken. Soms zie je het volgende als de definitie van de Laplace-transformatie.
Let op de verandering in de ondergrens van nul naar negatief oneindig. In deze gevallen wordt bijna altijd aangenomen dat de functie f(t)in feite als volgt gedefinieerd is,
\
Met andere woorden, men neemt aan dat de functie nul is als t<0. In dit geval valt de eerste helft van de integraal weg omdat de functie nul is en komen we terug bij de definitie gegeven in . Een Heaviside functie wordt meestal gebruikt om de functie nul te maken voor t<0. We zullen deze in een later deel bekijken.