1 Introduction
Mathematische modellering verwijst naar het gebruik van wiskundige taal om het gedrag van een ‘real world’ (praktisch) systeem te simuleren. De rol ervan is een beter begrip en karakterisering van het systeem te verschaffen. Theorie is nuttig om algemene conclusies te trekken uit eenvoudige modellen, en computers zijn nuttig om specifieke conclusies te trekken uit ingewikkelde modellen (Bender, 2000 ). In de theorie van mechanische trillingen zijn wiskundige modellen – structurele modellen genoemd – nuttig voor de analyse van het dynamisch gedrag van de gemodelleerde constructie.
De vraag naar verbeterde en betrouwbare prestaties van trillende constructies in termen van gewicht, comfort, veiligheid, geluid en duurzaamheid neemt steeds toe, terwijl er tegelijkertijd vraag is naar kortere ontwerpcycli, langere levensduur, minimalisering van inspectie- en reparatiebehoeften, en lagere kosten. Met de komst van krachtige computers is het zowel in termen van kosten als van tijd goedkoper geworden om numerieke simulaties uit te voeren dan om een geavanceerd experiment uit te voeren. Het gevolg is een aanzienlijke verschuiving naar computerondersteund ontwerpen en numerieke experimenten, waarbij constructiemodellen worden gebruikt om experimenten te simuleren, en om nauwkeurige en betrouwbare voorspellingen te doen van het toekomstige gedrag van de constructie.
Ook al gaan we het tijdperk van virtuele prototyping binnen (Van Der Auweraer, 2002 ), experimentele testen en systeemidentificatie spelen nog steeds een sleutelrol, omdat zij de structuurdynamicus helpen om numerieke voorspellingen in overeenstemming te brengen met experimenteel onderzoek. De term “systeemidentificatie” wordt in de technische literatuur soms in een ruimere context gebruikt en kan ook verwijzen naar de extractie van informatie over het constructiegedrag rechtstreeks uit experimentele gegevens, d.w.z. zonder noodzakelijkerwijs een model te vragen (bv. identificatie van het aantal actieve modi of de aanwezigheid van natuurlijke frequenties binnen een bepaald frequentiebereik). In dit document verwijst systeemidentificatie naar de ontwikkeling (of de verbetering) van constructiemodellen op basis van input- en outputmetingen die aan de reële constructie worden verricht met behulp van trillingsopnemers.
Lineaire systeemidentificatie is een discipline die de laatste 30 jaar een aanzienlijke ontwikkeling heeft doorgemaakt (Ljung, 1987 ; Soderstrom and Stoica, 1989 ). Modale parameterschatting – modale analyse genoemd – is ongetwijfeld de meest populaire benadering voor het uitvoeren van lineaire systeemidentificatie in structurele dynamica. Het model van het systeem is bekend in de vorm van modale parameters, namelijk de eigenfrequenties, modusvormen en dempingsverhoudingen. De populariteit van modale analyse komt voort uit de grote algemeenheid ervan; modale parameters kunnen het gedrag van een systeem beschrijven voor elk invoertype en elk bereik van het ingangssignaal. Talrijke benaderingen zijn voor dit doel ontwikkeld: Ibrahim tijdsdomein methode (Ibrahim en Mikulcik, 1973 ), eigensysteem realisatie algoritme (Juang en Pappa, 1985 ), stochastische subspace identificatie methode (Van Overschee en De Moor, 1996 ), polyreferentie kleinste kwadraten complexe frequentiedomein methode (Peeters et al., 2004 ) om er een paar te noemen. Een beschrijving van de modale analyse valt buiten het bestek van dit document; de geïnteresseerde lezer kan (Heylen et al., 1997 ; Maia en Silva, 1997 ; Ewins, 2000 ) raadplegen voor nadere bijzonderheden. Het is echter belangrijk op te merken dat modale identificatie van sterk gedempte structuren of complexe industriële structuren met hoge modale dichtheid en grote modale overlap nu binnen bereik ligt. Unificatie van de theoretische ontwikkeling van modale identificatie-algoritmen werd gepoogd in (Allemang and Brown, 1998 ; Allemang and Phillips, 2004 ), wat nog een teken is van de volwassenheid van dit onderzoeksgebied.
De focus in dit overzichtspaper ligt op structurele systeemidentificatie in de aanwezigheid van niet-lineariteit. Niet-lineariteit is algemeen in de natuur, en lineair gedrag is een uitzondering. In de structurele dynamica zijn de typische bronnen van niet-lineariteit:
–
Geometrische niet-lineariteit ontstaat wanneer een structuur grote verplaatsingen ondergaat en ontstaat uit de potentiële energie. Een voorbeeld hiervan is de eenvoudige slinger, waarvan de bewegingsvergelijking θ¨+ω02sinθ=0 is; de niet-lineaire term ω02sinθ vertegenwoordigt geometrische niet-lineariteit, aangezien deze grote hoekbewegingen modelleert. Grote vervormingen van flexibele elastische continua zoals balken, platen en schalen zijn ook verantwoordelijk voor geometrische niet-lineariteiten (zie bijvoorbeeld (Amabili and Paidoussis, 2003 ; Nayfeh and Pai, 2004 )). Een voorbeeld van een proefopstelling met een geometrische niet-lineariteit wordt getoond in fig. 1. Een cantilever balk is aan het rechter uiteinde verbonden met een dunne, korte balk die een geometrische niet-lineariteit vertoont wanneer grote doorbuigingen optreden.
Fig. 1. Freischouderbalk verbonden met een dunne, korte balk (ECL-benchmark; COST-actie F3): (a) experimentele opstelling; b) close-up van de verbinding.
–
Inertie niet-lineariteit vloeit voort uit niet-lineaire termen die snelheden en/of versnellingen in de bewegingsvergelijkingen bevatten, en vindt zijn bron in de kinetische energie van het systeem (b.v, convectieve versnellingstermen in een continuüm en Coriolisversnellingen in bewegingen van lichamen die ten opzichte van roterende frames bewegen).
–
Een niet-lineair materiaalgedrag kan worden waargenomen wanneer de constitutieve wet die spanningen en rek met elkaar in verband brengt, niet-lineair is. Dit is vaak het geval bij schuim (White et al., 2000 ; Schultze et al., 2001 ; Singh et al., 2003 ) en bij veerkrachtige bevestigingssystemen zoals rubber isolatoren (Richards and Singh, 2001 ).
–
Demping dissipatie is in wezen een niet-lineair en nog steeds niet volledig gemodelleerd en begrepen fenomeen. De modale dempingsaanname is niet noodzakelijkerwijs de meest geschikte weergave van de fysische werkelijkheid, en het wijdverbreide gebruik ervan moet worden toegeschreven aan het wiskundige gemak ervan. Droge wrijvingseffecten (lichamen in contact, die ten opzichte van elkaar glijden) en hysteretische demping zijn voorbeelden van niet-lineaire demping (zie bv. Caughey en Vijayaraghavan, 1970 ; Tomlinson en Hibbert, 1979 ; Sherif en Abu Omar, 2004 ; Al-Bender et al., 2004 ). Het is belangrijk op te merken dat droge wrijving de dynamica beïnvloedt, vooral voor bewegingen met kleine amplitude, wat in strijd is met wat door conventionele wijsheid zou kunnen worden verwacht. Bijvoorbeeld, de spiraalvormige staalkabelisolatoren afgebeeld in Fig. 2 worden gekenmerkt door een verzachtend gedrag (Juntunen, 2003 ) met wrijving binnen de staalkabel, en verandering van de geometrie van de draadlus bij belasting; voor dit systeem verschuift de resonantiefrequentie naar beneden naarmate het excitatieniveau wordt verhoogd, wat een duidelijke indicatie is van niet-lineair gedrag.
Fig. 2. Spiraalvormige staaldraadisolatoren (VTT-benchmark; COST-actie F3): (a) experimentele opstelling; de isolatoren zijn gemonteerd tussen de basismassa van een elektrodynamische shaker en een lastmassa; (b) gemeten restkracht.
–
Nonlineariteit kan ook het gevolg zijn van randvoorwaarden (bijvoorbeeld vrije oppervlakken in vloeistoffen, vibro-impacts door losse verbindingen of contacten met stijve beperkingen, spelingen, onvolmaakt aan elkaar gelijmde elastische lichamen), of bepaalde externe niet-lineaire lichaamskrachten (b.v, magnetoelastische, elektrodynamische of hydrodynamische krachten). Speling en tril-botsing niet-lineariteit bezit niet-gladde kracht-afbuiging karakteristiek zoals getoond in Fig. 3 en vereist over het algemeen een speciale behandeling in vergelijking met andere soorten niet-lineariteiten (Babitsky en Krupenin, 2001 ).
Fig. 3. Botsende straal: (a) experimentele opstelling; (b) gemeten restkracht.
In de technische literatuur zijn vele praktische voorbeelden van niet-lineair dynamisch gedrag gerapporteerd. In de automobielindustrie is remgepiep, een zelfopgewekte trilling van de remrotor die verband houdt met de wrijvingsvariatie tussen de remblokken en de rotor, een irritant maar niet levensbedreigend voorbeeld van een ongewenst effect van niet-lineariteit (Rhee et al., 1989 ). Veel auto’s hebben visco-elastische motorsteunen die een uitgesproken niet-lineair gedrag vertonen: afhankelijkheid van amplitude, frequentie en voorspanning. In een vliegtuig omvatten typische niet-lineariteiten, naast niet-lineaire interactie tussen vloeistof en constructie, speling en wrijving in stuurvlakken en verbindingen, niet-lineariteiten in verharding in de verbinding tussen motor en pyloon, en verzadigingseffecten in hydraulische actuatoren. In (Von Karman, 1940 ) wordt een verkeersvliegtuig beschreven waarbij de propellers een subharmonische trilling van orde 1/2 in de vleugels veroorzaakten die een subharmonische trilling van orde 1/4 in het richtingsroer produceerde. De oscillaties waren zo hevig dat de gevolgen voor het vliegtuig catastrofaal waren (Nayfeh and Mook, 1979 ). In mechatronische systemen zijn de bronnen van niet-lineariteiten de wrijving in lagers en geleiders, alsmede de speling en speling in robotverbindingen. In de civiele techniek zijn veel demonteerbare constructies, zoals tribunes bij concerten en sportevenementen, onderhevig aan aanzienlijke structurele niet-lineariteit als gevolg van loszittende verbindingen. Dit creëert zowel spelingen als wrijving en kan lineaire modelsimulaties van het gedrag dat ontstaat door de beweging van mensenmassa’s ongeldig maken. Ook in een beschadigde constructie kan niet-lineariteit optreden: vermoeiingsscheuren, klinknagels en bouten die onder dynamische belasting open en dicht gaan of inwendige delen die op elkaar inwerken.
Door de voortdurende belangstelling om de prestatiegrenzen van constructies bij steeds hogere snelheden te verleggen, is er behoefte aan het ontwerpen van lichtere, flexibelere en bijgevolg niet-lineairdere constructiedelen. Hieruit volgt dat de vraag naar het gebruik van niet-lineaire (of zelfs sterk niet-lineaire) structuurcomponenten steeds groter wordt bij engineeringtoepassingen. Het is dan ook nogal paradoxaal te constateren dat lineair gedrag in de struktuurdynamica heel vaak als vanzelfsprekend wordt beschouwd. Waarom is dat zo? Erkend moet worden dat bij voldoende kleine amplitudebewegingen de lineaire theorie accuraat kan zijn voor modellering, hoewel dit niet altijd het geval is (b.v. droge wrijving). De belangrijkste reden is echter dat de niet-lineaire dynamische systeemtheorie veel minder ver ontwikkeld is dan haar lineaire tegenhanger. De basisprincipes die gelden voor een lineair systeem en die de basis vormen van de modale analyse, zijn immers niet langer geldig in aanwezigheid van niet-lineariteit. Bovendien kunnen zelfs zwakke niet-lineaire systemen uiterst interessante en complexe verschijnselen vertonen die lineaire systemen niet kunnen vertonen. Deze fenomenen omvatten sprongen, bifurcaties, verzadiging, subharmonische, superharmonische en interne resonanties, resonantie-insluitingen, limietcycli, modale interacties en chaos. Lezers die op zoek zijn naar een inleiding tot niet-lineaire oscillaties kunnen (Nayfeh and Mook, 1979 ; Strogatz, 1994 ; Verhulst, 1999 ; Rand, 2003 ) raadplegen. Meer wiskundig onderlegde lezers kunnen zich wenden tot (Guckenheimer and Holmes, 1983 ; Wiggins, 1990 ). Een korte tutorial die de belangrijke verschillen tussen lineaire en niet-lineaire dynamica benadrukt, is te vinden in Paragraaf 2.1 van deze paper.
Dit wil niet zeggen dat niet-lineaire systemen de laatste decennia niet veel aandacht hebben gekregen. Ook al was jarenlang een van de manieren om niet-lineaire systemen te bestuderen de lineariseringsbenadering (Caughey, 1963 ; Iwan, 1973 ), toch zijn er vele inspanningen geleverd om theorieën te ontwikkelen voor het onderzoek van niet-lineaire systemen in de structurele dynamica. Een niet-lineaire uitbreiding van het concept van toestandsvormen werd voorgesteld in (Rosenberg, 1962 ; Rosenberg, 1966 ) en verder onderzocht in (Rand, 1974 ; Shaw en Pierre, 1993 ; Vakakis et al., 1996 ; Vakakis, 1997 ). Zwakke niet-lineaire systemen werden grondig geanalyseerd met behulp van de perturbatietheorie (Nayfeh and Mook, 1979 ; Nayfeh, 1981 ; O’Malley, 1991 ; Kevorkian and Cole, 1996 ). Tot de perturbatiemethoden behoren bijvoorbeeld de methode van de gemiddelden, de Lindstedt-Poincaré-techniek en de methode van de meervoudige schalen, en zij zijn gericht op het verkrijgen van asymptotisch uniforme benaderingen van de oplossingen. Gedurende de laatste tien jaar is men getuige geweest van een overgang van zwak niet-lineaire structuren naar sterk niet-lineaire structuren (met sterk niet-lineaire systemen wordt een systeem bedoeld waarvan de niet-lineaire termen van dezelfde orde zijn als de lineaire termen) dankzij de uitbreiding van klassieke perturbatietechnieken (Chan et al, 1996 ; Chen en Cheung, 1996 ) en de ontwikkeling van nieuwe methodologieën (Pilipchuk, 1985 ; Manevitch, 1999 ; Qaisi en Kilani, 2000 ; Babitsky en Krupenin, 2001 ).
Recentelijk hebben enkele studies voorgesteld om gebruik te maken van niet-lineariteiten in plaats van ze te negeren of te vermijden, wat een interessante verschuiving in paradigma betekent. Bijvoorbeeld, het concept van parametrische resonantie wordt benut om micro-elektromechanische oscillatoren te ontwerpen met filtermogelijkheden in (Rhoads et al., 2005 ). In (Vakakis and Gendelman, 2001 ; Vakakis et al., 2004a ; Kerschen et al., 2005b ), wordt aangetoond dat essentiële (d.w.z. niet-lineariseerbare) niet-lineariteit leidt tot onomkeerbare niet-lineaire energieoverdrachtsverschijnselen tussen subsystemen, niet-lineaire energiepompen genoemd. In (Nichols et al., 2004 ), worden chaotische ondervraging en faseruimte-reconstructie gebruikt om de sterkte van een boutverbinding in een samengestelde balk te beoordelen. In (Epureanu and Hashmi, 2005 ), wordt de geometrische vorm van dynamische attractoren benut om kleine parametrische variaties in een systeem te versterken.
Focussen we ons nu op de ontwikkeling (of de verbetering) van constructiemodellen op basis van experimentele metingen in de aanwezigheid van niet-lineariteit, d.w.z, niet-lineaire systeemidentificatie, moet men toegeven dat er geen algemene analysemethode bestaat die in alle gevallen op alle systemen kan worden toegepast (zie b.v. eerdere overzichten (Adams and Allemang, 1998 ; Worden, 2000 )), zoals dat wel het geval is voor modale analyse in lineaire structurele dynamica. Bovendien bezwijken veel technieken die in staat zijn om systemen met lage dimensionaliteit te behandelen als ze geconfronteerd worden met systemen met hoge modale dichtheid. Twee redenen voor dit falen, namelijk de ontoepasbaarheid van verschillende concepten van de lineaire theorie en de sterk “individualistische” aard van niet-lineaire systemen, worden besproken in Paragraaf 2.1. Een derde reden is dat de functie S die de input x(t) in de output y(t) omzet, y(t)=S, niet van tevoren bekend is. Zo is de alomtegenwoordige Duffing-oscillator (Duffing, 1918 ), waarvan de bewegingsvergelijking my¨(t)+cy˙(t)+ky(t)+k3y3(t)=x(t) is, een typisch voorbeeld van polynomiale vorm van restkrachtonlineariteit, terwijl hysteretische demping een voorbeeld is van niet-polynomiale vorm van niet-lineariteit. Dit vormt een grote moeilijkheid in vergelijking met de identificatie van lineaire systemen waarvoor de structuur van de functie goed gedefinieerd is.
Zelfs als er een verschil is tussen de manier waarop men “historisch” niet-lineaire systeemidentificatie deed en de manier waarop men het nu zou doen, kan het identificatieproces worden beschouwd als een opeenvolging van drie stappen, namelijk detectie, karakterisering en parameterschatting, zoals geschetst in fig. 4. Zodra niet-lineair gedrag is gedetecteerd, wordt een niet-lineair systeem gekarakteriseerd nadat de plaats, het type en de functionele vorm van alle niet-lineariteiten in het systeem zijn bepaald. De parameters van het geselecteerde model worden vervolgens geschat met behulp van lineaire kleinste-kwadratenaanpassing of niet-lineaire optimaliseringsalgoritmen, afhankelijk van de beschouwde methode.
Fig. 4. Identificatieproces.
Nonlineaire systeemidentificatie is een integraal onderdeel van het verificatie- en validatieproces (V&V). Volgens (Roache, 1998 ) verwijst verificatie naar het correct oplossen van de vergelijkingen, d.w.z. het uitvoeren van de berekeningen op een wiskundig correcte manier, terwijl validatie verwijst naar het oplossen van de correcte vergelijkingen, d.w.z. het formuleren van een wiskundig model en het selecteren van de coëfficiënten zodanig dat het fysisch verschijnsel van belang met een adequaat niveau van getrouwheid wordt beschreven. Zoals vermeld in (Doebling, 2002 ), wordt een definitie die veel van de belangrijke aspecten van modelvalidatie vangt, ontleend aan de literatuur over simulatiewetenschappen:
De onderbouwing dat een model binnen zijn toepassingsdomein een bevredigend nauwkeurigheidsbereik bezit dat consistent is met de beoogde toepassing van het model (Schlesinger et al., 1979 ).
De bespreking van verificatie en validatie valt buiten het bestek van dit overzichtsartikel; de lezer kan (Roache, 1998 ; Link and Friswell, 2003 ; Babuska and Oden, 2004 ; Hemez et al., 2005 ) en referenties daarin raadplegen.
Omvang van het paper: De motivatie achter dit overzichtsdocument is drieledig. Ten eerste is het de bedoeling een beknopt vertrekpunt te bieden voor zowel onderzoekers als praktijkmensen die de huidige stand van de techniek op het gebied van de identificatie van niet-lineaire structurele modellen willen beoordelen. Ten tweede beoogt het document een overzicht te geven van verschillende methoden die in de technische literatuur zijn voorgesteld en de aandacht te vestigen op enkele van de redenen waarom deze technieken niet kunnen worden toegepast op complexe constructies. Het laatste doel van dit artikel is om toekomstige onderzoeksbehoeften te identificeren die zouden kunnen helpen om “de lat hoger te leggen” bij niet-lineaire systeemidentificatie.
Het onderwerp van niet-lineaire dynamica is zeer breed, en er bestaat een uitgebreide literatuur. Dit artikel is onvermijdelijk gericht op die gebieden waarmee de auteurs het meest vertrouwd zijn, en dit betekent natuurlijk die gebieden waarin de auteurs en collega’s onderzoek hebben verricht. Daarom is het geen uitgebreid overzicht van de vroegere en huidige benaderingen voor de identificatie van niet-lineaire dynamische structuren; er wordt bijvoorbeeld geen poging gedaan om veel van de ontwikkelingen uit de controletheorie samen te vatten.
Experimentontwerp (b.v. selectie van excitatiebronnen, aantal en plaats van sensoren) dat bepalend is voor het succes van het identificatieproces wordt hierin niet beschreven. Enige informatie kan worden gevonden in (Leontaritis and Billings, 1987 ; Duym and Schoukens, 1995 ; Worden and Tomlinson, 2001 ). Systeemidentificatie in de aanwezigheid van chaotische trillingen (Moon, 1987 ) wordt evenmin besproken.