Frequency and Phase Characteristics of Candle Flame Oscillation

（a）グループ内のロウソクの本数が異なる場合の炎の明るさの時系列画像です。 本数が増えると明るさの振幅と平均値が飛躍的に増大する。 (b)数-周波数線図。 本数が3本以下では周波数はnullであり、3本以上では周波数は単調に減少している。 青い線は線形フィットである。 (c) 数値-輝度線図。 明るさは各グループの1周期における平均値である。 数が増えるにつれて明るさが増している。 9538>

ロウソクの本数が増えると、それに伴って燃料の流量が増え、酸素の需要が増大する。 燃焼中のキャンドルの周囲の外気は、流量29 がかなり少なく、準静的と見なすことができる。 反応が激しくなると、燃焼部位に必要な空気を補充するのに時間がかかる。 一方、ロウソクから発生するパフは、数が増えるほど大きくなり、外気に上向きに浮遊するのに長い時間を必要とする。

ここで注目すべきは、同じ数のロウソクを使った発振器でも、配置が発振挙動に影響を与えることです。 例えばキャンドルが6本の場合、実験では3種類の配置を確認し、明るさと周波数が全て異なることが分かった。 図3(a)の左に示す最初のタイプは、幅が最も大きいため、振幅が最も大きく、周波数が最も小さくなっている。 一方、最も密に配置されたグループは、前述のように反応面が小さいと酸素の消費量もパフも小さくなるため、最も周波数が高くなるが振幅は小さくなる。 しかし、実際にはこれら3つのケースの差は大きくなく、ロウソクの本数よりも配置の影響の方がはるかに弱いことがわかる。

6本のロウソクの配置が異なるグループでの比較。 (a)グレースケール画像、(b)各タイプの時系列。 対応する周波数は10.7227 Hz/10.7802 Hz/10.9570 Hz（左から右）

2つの同一対称振動子間の同期

前節で、単一振動子に対するロウソクの本数と配置が発振振幅と周波数に与える影響について述べた。 本節では2つの同一発振器の結合系について検討する。 北畑らは、2つの炎振動子の距離が20 mmから30 mmのときに同相同期を示し、30 mmから48 mmのときに逆相同期を示すことを見いだした。 本実験では、ロウソク間の距離を最初は20mmに設定し、5mmのステップサイズで60mmで終了するようにした。 図4は同位相と逆位相の発振のグレースケール画像である。 距離が長くなるにつれて、約35mmで同相から逆相に、60mmで逆相からインコヒーレントに同期状態が変化していることがわかる。 距離と発振器の周波数の関係を記録し、分析したところ、以前の結果1 とよく一致した。 同位相で同期しているときは周波数がわずかに上昇し、逆位相では高い周波数から低下することが確認された。 さらに、キャンドル群間の同期状態を調べるために、シュリーレン画像を提示した。 同相同期と逆相同期のフローパターンを比較すると、両者を区別することができる。 同相モードに関しては、フローパターンの輪郭は空間的な対称性を示し、内部のプロファイルは直線に近い。 反位相モードに関しては、輪郭と内側の線が非対称なカーブを描いていることが観察される。 図4

(a) 底辺2cmの二等辺三角形に配置した3本のキャンドルのグレースケール画像。 左上のドットは配置を表す。 左の頂点角は39度（<60度）、右は120度（>60度）である。 (b)明るさの時系列。 9538>

実験では、温度と正の相関を持つ熱放射による影響に着目している。 従って、炎間の温度を測定することにより、振動子間の結合強度を示すことができる。 放射束は距離に対して逆2乗則で減衰するので、一つの発振器に対して、他の炎に大きな影響を与え、外では放射の影響が無視できる有効放射範囲があると考えられる。 温度が高いほど結合強度は大きくなり、逆もまた然りである。 常温近くまで下がると、発振器は結合を保てなくなる。

多くの研究により、結合した発振器間で結合強度が徐々に変化すると、同期状態の遷移に閾値30,31,32,33,34が存在したり、結合強度の変化に伴いコヒーレント状態の流域安定性が変化することが明らかになっている35。 2つの同一の発振器の実験を考えると、直感的に、2つの発振器間の距離が大きくなるにつれて結合強度は減衰するはずだという結論に達するかもしれない。 ある点まで減衰すると、同期状態はコヒーレントからインコヒーレントに切り替わるはずである。 しかし、この直感はFig.6の結果には合致しない。 距離が大きくなると、同相同期から逆相同期に状態が変化するのである。 このことは、状態の遷移は、ベイスンの変化によるものではないことを意味している。

対称系における同期のメカニズムを現象論的に説明したものである。 各列は距離が大きくなるにつれて、同相、逆相、非干渉解の順に並んでいる。 (a-c)現象論的モデル曲線。 (d-f) 3本のロウソクを含む単一グループの温度分布のデータを用いたシミュレーション曲線。 (g-i) 実際の温度分布曲線。 (j-l) 赤外線画像。

炎振動子間の熱放射による結合を考慮し、赤外線カメラを用いて2つの振動子間の温度分布を調査した。 図6(j-l)は同相(発振器間20mm)、逆相(40mm)、インコヒーレント(70mm)発振の場合であり、同相発振の場合、逆相発振の場合、インコヒーレント(70mm)の場合である。 これらの実験結果に基づいて、この現象を説明する「オーバーラップピークモデル」が提案されました。 このモデルを用いることで、距離の変化と同期状態の遷移を関連付けることができた。 そのモデルをFig.6に示し、以下のように説明した。 図6(a-c)に示すように、赤の実線は放射が最大になったときの範囲を表し、黒は最小になったときの範囲を表している。 両線ともガウシアン曲線である。 横軸は、放射強度が無視できる程度であることを示している。 結合振動子の場合、結合の強さは2つの有効放射曲線の下に重なる部分で表される。 最大輻射曲線と最小輻射曲線がこのモデルのポイントである。 明らかに、2つの結合炎の場合、この2組の曲線で構成される4つの重なり合う領域が存在することになります。 図6（a）に示すように、2つの最小プロファイルの重なり合う領域を黒く塗りつぶしてS3、最大重なり合いを赤くしてS1と表記し、黄色（緑）の領域をS2（S2′）と表記して、例えば図6（b）のように、一方の火炎が最大（最小）曲線に達し、他方が最小（最大）曲線を得た場合の重なり具合を示している。 これらの領域は、互いに覆い合う可能性があることに留意されたい。 したがって、各領域の定義を確実にするために、各サブ図にはそのすべてが示されているわけではない。 例えば、図6（a）において、S1ドメインはS3によって一部覆われており、S2とS2′は実際に存在するのに表現されていない。 発振器が十分に近い場合、図6（a）に示すように、S1＜6830＞ S2＜6830＞ S3＜6830＞ 0の関係が満たされる。 つまり、2つの炎が極小値まで落ちても、系は同位相の同期を維持するのに十分な結合を保っているのである。 距離が長くなると、S3領域が消失するため、図6（b）に示すように、S1＜6830＞ S2＜6830＞ 0＝S3となる。 この場合、反同期では2つの炎が交互に最小になり、結合とコヒーレンスを維持することができるのに対し、両者が最小になると結合を強く維持することができなくなる。 距離が十分に小さい場合、図6（c）に示すように、S1＜6830＞ 0＝S2＝S3 となる。 この状態では、ほとんどの時間、結合強度が十分でないため、炎は同位相同期も逆位相同期も維持できず、発振はインコヒーレント、すなわち2つの発振器の位相差をロックできない状態になる

もし、提案したモデルが正しければ、温度曲線や現象はモデルの予測に一致するはずである。 このモデルを検証するために、一群の蝋燭の炎が最大と最小になるときの赤外線画像を別々に撮影してみた。 そして、その温度分布曲線を計算し、単一振動子の有効放射範囲と見なします。 曲線が常温まで減衰すると両側の結合強度が無効となるため、常温が曲線の底の漸近線とみなされる。 同じ曲線を2組適用して、2つの同一発振器の結合系の温度分布をシミュレートしてみた。 これらのシミュレーション曲線(d-f)を、左側のモデル(a-c)と右側の実際の温度分布(g-i)が与えるものと比較すると、同じプロット方法によって一貫した結果が得られていることがわかる。 これらの結果は、我々のモデルが実験で観測された現象を有効かつ意味のある形で予測していることを示しています。 これまでのところ、このモデルに基づいて、同期状態は、発振器が十分に近ければ、熱放射の正帰還によって同相モードになり、距離が大きくなると、安定性を保つためにπ位相差を保つ必要があり、距離が十分に大きくなると、結合力が弱くなり、どんな位相差があっても発振器同士が凝集できなくなるという現象論的に説明できることが分かっている。

非同定非対称振動子の同期と位相差

対称結合系ではいくつかの興味深い現象が見られるが、ここでは非同定2振動子の結合系を研究してみることにする。 非対称な2つの系を取り上げる。 (1)図7(a)に示すように，3本のローソクを含む振動子と6本のローソクを含む振動子からなる「3＋6」パターンと，その解析図を図8に示す。 (2)「1＋6」パターン：図9(a)に示すように、ローソク1本とローソク6本の振動子からなる。

(a) 「3＋6」系の非対称な配置。 (b-d)時系列と位相差。 黒破線は6キャンドル群、赤実線は3キャンドル群、青点線は位相差(補足図S4参照)(b)は近同期(15mm-35mm)、(c)は近反相関(35mm-55mm)、(d)はインコヒーレント発振（>55mm)である。

非対称系における同期のメカニズムについて現象論的に説明したもの。 各列は距離が長くなるにつれて配置されている。 (a-c)現象論的モデル曲線。 (d-f）3本のキャンドルを含む1つのグループの温度分布のデータを用いたシミュレーション曲線。 (g-i) 実際の温度分布曲線。 (j-l) 赤外線画像。

(a) “1 + 6” システムの非対称な配置。 (b-d)時系列と位相差の様子。 6本ローソク足が黒の破線、1本ローソク足が赤の実線、位相差が青の点線で示されている。 (b)同相に近い同期（15mm-35mm）、(c)逆相に近い同期（35mm-55mm）、(d)インコヒーレント発振（＜6830＞55mm）

まず、「3＋6」パターンを見てみよう。 対称系と同様、炎を同期させて位相ロックさせた。 しかし、炎が非常に近い場合（我々の実験では15mm-35mm）、その非対称性により位相差はゼロではなくなります。 距離が大きくなると（35mm-55mm）、反位相に近い位相ロック同期に変わります。 距離が55mm以上になると、炎はインコヒーレントとなり、位相差は連続的に変化する。 図7(b-d)はこれらの場合の時系列を示したものである。 周波数領域に関しても同様の結果が得られている。 反位相に近い同期状態は周波数が高く、振動子間の距離が大きくなるにつれて減少し、同相に近い状態は周波数は低いが増加する。

非対称系の同期の説明にも「オーバーラップピークモデル」を適用することができる。 細部は変更されているが、同様の方法が実施されている。 このモデルによれば、同期状態は、距離が小さいと同相モード、大きいと逆相モードに似ているはずである。 また、発振は結合強度の強い「6」グループの方が優位になるはずである。 図8では、左のスコープが3本のローソクを含む痩せた発振器、右の曲線が6本のローソクを含む丈夫な発振器を表しています。 対称的な場合とは対照的に、「3」と「6」の有効放射スコープは同一ではないため、重なり合う領域も対称的ではなく、特にS2とS2′の領域は他との結合強度を決定し、これ以上等しくはならない。 S1 > S2 (>S2′) > S3 > 0の場合、「6」の振動子は「3」に対して見かけ上強い結合強度を与えるので（これは「6」の方が温度が高いか放射が強いことを意味する）、「3」のピークが「6」より低く、ある位相差が生じるため早く最大ピークに達することになります。 S1 > S2 (>S2′) > 0 = S3 では、S2 と S2′ の非対称性により、このモードは本来逆位相のはずのものからある差を伴ってシフトする。

同様に温度分布のシミュレーション曲線と実プロファイルをプロットしたところ、我々のモデルとの整合性が見られた。

最後に “1+6 “パターンについて述べるが、その非対称性は “3+6 “の場合よりはるかに明瞭である。 先に見たように、1本のろうそくの炎は孤立した状態では振動せず、安定した状態を保つ。 しかし，”6 “の発振器を近接させると（<15 mm），”1 “は “6 “からの結合によって振動し始め，”3+6 “の場合と同様に同位相に近い同期を示すようになる。 距離が15mmから45mmの間で大きくなると，”1 “の振動の振幅は小さくなり，逆位相の同期を示すようになります。 距離が45mm以上になると、結合が弱くなり、1本のロウソクの炎の振動が止まり、安定した状態になる。 一方、”6 “のグループはまだ発振している。 関連する時系列を図9(b-d)に、温度分布を図10に示す。 図10

結合系における位相差の変化に関する考察

3.2および3.3節において、異なる結合系においていくつかの位相差変化が観察されたが、それらは概ね2つのケースに分類することができる。 (1)インコヒーレントな位相、これは結合がかなり弱いために起こるものである。 (2)離散的に変化する位相：時系列に包絡線を形成し、位相差のステップを表示する。 その区別と起源については次節で述べる。

最初の位相変化の場合は、炎間の距離が長いために、結合が弱すぎてコヒーレンスを保てないことによる。 理想的な対称系では、振動子の固有周波数が同じなので、振動子間の距離が大きくても位相差は一定に保たれるはずです。 しかし、今回の実験では、位相差の微小な変化が観察され、半周期でゆっくりと変化しています（πの範囲に収まっている）。 このような変化は、ロウソクの燃焼が不安定であることに起因すると考えられます。 炎が10秒以上続くと、燃焼に参加しているろうそくの芯が伸びて外側に傾き、炎の対称性や締まりが失われ、振動の不規則性が生じる。 振幅の微妙な変化は、周波数や位相差の変化も引き起こす。 非対称系では、実験で観察されたように、非同一振動子の固有周波数が異なるので、位相差は単調に変化するはずであることは明らかである。 図11(c)に示すように、「3＋6」の非対称系をもう一つ考えてみた。 両振動子の振幅は周期的な包絡線を示している。 この場合の位相の変化率は、最初の場合よりもはるかに高く、2倍近くある。 このような連続的な位相差の変化は、振幅の周期的な包絡線が周波数を周期的に変化させていることに起因すると考えられる。

複数種類の位相差の変化の比較。 赤の実線と黒の破線は2つの振動子の時系列、青の点線は位相差の時系列である。 (a)距離80mmで「3＋3」の対称系。 各グループの振幅はわずかに変動し、位相差も微妙に変化している。 (b)距離55mmの「3＋6」の非対称系。 振幅はほとんど変化しないが、固有周波数が異なるため位相差は単調に増加する。 (c) 距離30mmでの非対称「3＋6」システムの別の配置（右下の黄色い点で示したもの）。 この場合、両グループの振幅は周期的な包絡線を示し、位相差は「ステップ」に従って増加する(補足Vid. S5参照)。

数値モデル化手法

火災挙動のモデル化にはNISTが開発した計算流体力学シミュレータFire Dynamics Simulator (FDS) が使用された。

シミュレーションモデルで使用した熱関連パラメータは一定の値に固定されており、熱流束の測定装置がないため、実際の状況とは全く一致しない可能性がある。 まず、3.2節に相当する状況をシミュレーションした。 ロウソク一群のシミュレーションに適した初期値を得るために、3.1節と同様に、モデル内の燃焼部分の単位面積あたりの熱放出率（HRRPUA）を連続的に調整し、一群に適用できる最小のパラメータを求める方法を用いた。

シミュレーションでは、仮想ろうそくの周りに210000個のセルを含む140×60×200mm3の領域を作成した。 境界条件はキャンドルの4つの側壁と天井を開口ベントとし、床は冷たい不活性壁とした。 キャンドルのモデルは、計算機資源の消費を抑えるために単純化し、11 × 11 × 20 mm3の不活性なキャンドルベースと5.5 × 5.5 × 10 mm3の芯で構成した。 ベースと芯は同軸上に配置され、芯の表面はデフォルトで1340.0 kW/mm2の均一なHRPUAを共有している。 また、燃焼する蝋の特性は、過去の測定結果から取得した。 シミュレーションの開始時に2つのロウソクの初期パラメータは同一とした

その後、2つの同一の振動子に対して同様の処理をシミュレーションで繰り返した。 その結果を図12に示す。 距離が長くなると、30mmと45mmで同相と逆相の発振が見られるようになった。 また、距離が70mm以上になると、発振器はインコヒーレントとなり、実験結果と同様となった。 このように、距離の増加とともに同期モードが変化することが、シミュレーションによって確認された。 図12

同相・逆相のFDSシミュレーション結果のスナップショットです。 (a) 30mmでの同相モード、(b) 45mmでの逆位相モード。 両図とも上記のパラメータを共有し、火炎領域は3D温度コンター面（ピンク）でおおよそ表現されています。