1 Introduction
数学的モデリングとは、「実世界」（実用）のシステムの挙動をシミュレーションするために数学的言語を使用することを指します。 その役割は、システムのより良い理解と特性を提供することである。 理論は単純なモデルから一般的な結論を導き出すのに有効であり、コンピュータは複雑なモデルから特定の結論を導き出すのに有効である(Bender, 2000 )。 機械振動の理論では、構造モデルと呼ばれる数学的モデルが、モデル化される構造の動的挙動の解析に役立つ。
重量、快適性、安全性、騒音、耐久性の面で、振動構造の性能を高め、信頼性を高めることへの要求はますます高まっているが、同時に、設計サイクルの短縮、動作寿命の延長、検査や修理の必要性の最小化、コストの低減への要求も存在する。 強力なコンピューターの出現により、高度な実験を行うよりも、数値シミュレーションを行う方がコスト的にも時間的にも安価になってきています。 その結果、コンピュータ支援設計と数値実験に大きくシフトし、構造モデルを使用して実験をシミュレートし、構造の将来の挙動について正確で信頼できる予測を行うことができるようになりました。 システム同定」という用語は、技術文献においてより広い意味で用いられることもあり、必ずしもモデルを要求することなく、実験データから構造挙動に関する情報を直接抽出することを指す場合もあります（例えば、アクティブモードの数や特定の周波数範囲内の固有振動数の存在を特定するなど）。 本論文では、システム同定とは、振動センシング装置を用いて実際の構造物で行われた入出力測定から構造モデルを開発（または改良）することを指す。
Linear System identificationは、過去30年間に大きく発展した分野である（Ljung, 1987 ; Soderstrom and Stoica, 1989 )。 モード解析と呼ばれるモードパラメータ推定は、構造力学における線形システム同定を行うための最も一般的なアプローチであることは間違いありません。 システムのモデルはモードパラメータ、すなわち固有振動数、モードシェイプ、減衰比の形で表されることが知られています。 モード解析の人気の理由は、その汎用性にあります。モードパラメータは、あらゆる入力タイプ、あらゆる入力範囲に対するシステムの挙動を記述することができます。 Ibrahim time domain method (Ibrahim and Mikulcik, 1973 ), eigensystem realisation algorithm (Juang and Pappa, 1985 ), stochastic subspace identification method (Van Overschee and De Moor, 1996 ), polyreference least-squares complex frequency domain method (Peeters et al., 2004 ) などが挙げられ，数多くの手法が開発されました． モーダル解析の説明は本稿の範囲外ですので，興味のある方は (Heylen et al., 1997 ; Maia and Silva, 1997 ; Ewins, 2000 ) を参照してください。 しかし、高減衰構造物やモード密度が高く、モードオーバーラップが大きい複雑な産業構造物のモード同定が可能になったことは重要なポイントです。 Allemang and Brown, 1998 ; Allemang and Phillips, 2004 ）でモード同定アルゴリズムの理論的発展の統一が試みられており，これもこの研究分野が成熟してきたことを示すものである。 非線形性は自然界に一般的なものであり、線形挙動は例外である。 構造力学において、典型的な非線形性の原因は以下の通りである：
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幾何学的非線形性は、構造物が大きな変位を受けるときに生じ、位置エネルギーに由来するものである。 例えば単純な振り子で、その運動方程式は θ¨+ω02sinθ=0 であり、非線形項 ω02sinθ は大きな角度運動をモデル化しているので、幾何学的非線形性を表している。 梁、プレート、シェルなどの柔軟な弾性連続体の大変形も幾何学的非線形性の原因となる（例えば、(Amabili and Paidoussis, 2003 ; Nayfeh and Pai, 2004 ) を参照のこと）。 幾何学的非線形を示す試験装置の一例をFig.1に示す。 片持ち梁の右端に、大きなたわみが発生すると幾何学的非線形性を示す細い短い梁を接続している。
図1. 細く短い梁に接続された片持ち梁（ECLベンチマーク；COST Action F3）。 (a) 実験用治具、(b) 接続部のクローズアップ。
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慣性非線型は運動方程式における速度および/または加速度を含む非線形項に由来し、システムの運動エネルギーにその源を持つ（例:,
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応力とひずみを関係づける構成則が非線形である場合、非線形な材料挙動が観察されることがある。 これは発泡体(White et al., 2000 ; Schultze et al., 2001 ; Singh et al., 2003 )や防振ゴム(Richards and Singh, 2001 )などの弾性体取り付けシステムでしばしば見られる。
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ダンピング消散は本質的に非線形で、まだ十分にモデル化・理解できない現象である。 モード減衰の仮定は必ずしも物理的な現実を最も適切に表現しているわけではなく、その数学的利便性に起因して広く使用されているのが現状です。 非線形減衰の例として、乾式摩擦効果（物体が接触し、互いに滑る）やヒステリック減衰がある（例えば、Caughey and Vijayaraghavan, 1970 ; Tomlinson and Hibbert, 1979 ; Sherif and Abu Omar, 2004 ; Al-Bender et al, 2004 参照 ）。 乾式摩擦は特に小振幅の運動に対して力学的な影響を及ぼすことが重要であり、これは従来の常識から予想されることとは異なっている。 例えば、図2に示したヘリカルワイヤーロープアイソレータは、ワイヤーロープ内の摩擦によってソフト化する挙動（Juntunen, 2003 ）と、荷重によってワイヤーループの形状が変化することが特徴で、このシステムでは、加振レベルを上げると共振周波数が下がるという、明らかに非線形挙動であることが分かります。
図2 ヘリカルワイヤロープアイソレータ（VTTベンチマーク；COST Action F3）。 (a) 実験用治具；アイソレータは電気力学的加振器のベース質量と負荷質量との間に取り付けられている； (b) 測定された復元力。
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非線形性は、境界条件（例えば、液体中の自由表面、剛性制約との緩い接合または接触による振動衝撃、クリアランス、不完全に結合した弾性体）、または特定の外部非線形体力（例えば。 磁気弾性力、電気力学的力、流体力学的力など）。 クリアランスと振動衝撃の非線形性は、図3に示すように非平滑な力-たわみ特性を持ち、一般に他のタイプの非線形性と比べて特別な扱いが必要となる（Babitsky and Krupenin, 2001 )。 ビームを衝突させる。 (a) 実験用治具、(b) 計測された復元力。
非線形動的挙動の実用例は工学文献に多数報告されている。 自動車産業では、パッドとローター間の摩擦変動に関連したブレーキローターの自励振動であるブレーキ鳴きは、非線形性の望ましくない効果の刺激的だが生命を脅かさない例である（Rheeら、1989 ）。 多くの自動車には粘弾性エンジンマウントがあり、振幅、周波数、予圧に依存する顕著な非線形挙動を示す。 航空機では，流体-構造連成の非線形性の他に，制御面や関節のバックラッシュや摩擦，エンジンとパイロンの結合部の硬化非線形性，油圧アクチュエータの飽和効果などが代表的な非線形性である． Von Karman, 1940 ）では、プロペラが主翼に1/2次、舵に1/4次のサブハーモニック振動を発生させる民間航空機が紹介されている。 この振動は非常に激しく、飛行機への影響は壊滅的であった(Nayfeh and Mook, 1979 )。 メカトロニクスシステムでは、ベアリングやガイドウェイの摩擦、ロボットジョイントのバックラッシュやクリアランスが非線形性の原因となる。 土木分野では、コンサートやスポーツイベントの観覧席のような脱着可能な構造物の多くは、接合部の緩みによって構造的な非線形性が大きくなりがちである。 このため、クリアランスと摩擦が発生し、群衆の動きによって生じる挙動について、線形モデルに基づくシミュレーションが無効となる可能性があります。 疲労亀裂、動的負荷の下で開閉するリベットやボルト、または互いに衝突する内部部品などです。
高速化する構造物の性能範囲を拡大することへの継続的な関心により、より軽量で柔軟、そして結果としてより非線形な構造要素を設計する必要性が生じています。 このことは、非線形（あるいは強非線形）構造部品を利用する要求が、工学的応用においてますます存在することを意味している。 したがって、構造力学の分野では、多くの場合、線形挙動が当然と考えられていることは、むしろ逆説的なことなのです。 なぜそうなのでしょうか？ 十分に小さな振幅の運動では、常にそうであるとは限りませんが、線形理論がモデリングに正確であることは認識されるべきでしょう（例えば、乾性摩擦）。 しかし、その主な理由は、非線形力学系理論が線形理論に比べてはるかに確立されていないためです。 実際、線形システムに適用され、モード解析の基礎となる基本原則は、非線形性が存在する場合にはもはや有効ではありません。 また、弱い非線形系であっても、線形系にはない極めて興味深く複雑な現象を示すことがある。 これらの現象には、ジャンプ、分岐、飽和、サブハーモニック、スーパーハーモニック、内部共振、共振捕捉、リミットサイクル、モード相互作用、カオスが含まれる。 非線形振動の入門書をお探しの方は、(Nayfeh and Mook, 1979 ; Strogatz, 1994 ; Verhulst, 1999 ; Rand, 2003 )を参照していただきたい。 より数学的な志向の強い読者には(Guckenheimer and Holmes, 1983 ; Wiggins, 1990 )を参照していただきたい。 線形と非線形ダイナミクスの重要な違いを強調する簡単なチュートリアルは、この論文の2.1節にあります。
これは、非線形システムが過去数十年間、大きな注目を集めなかったと言うことではありません。 長年にわたって非線形システムを研究する方法の1つが線形化アプローチであったとしても(Caughey, 1963 ; Iwan, 1973 )、構造力学における非線形システムの研究のための理論を開発するために多くの努力が払われてきたのである。 モードシェイプの概念を非線形に拡張したものが (Rosenberg, 1962 ; Rosenberg, 1966 ) で提案され、さらに (Rand, 1974 ; Shaw and Pierre, 1993 ; Vakakis et al., 1996 ; Vakakis, 1997 ) で検討されている。 弱非線形系は摂動論を用いて徹底的に解析された (Nayfeh and Mook, 1979 ; Nayfeh, 1981 ; O’Malley, 1991 ; Kevorkian and Cole, 1996 )。 摂動法には、例えば、平均化法、Lindstedt-Poincaré法、多重スケール法などがあり、解の漸近的に均一な近似を得ることを目的としている。 この10年ほどの間に、古典的な摂動法の拡張により、弱非線形構造から強非線形構造（強非線形系とは、非線形項が線形項と同次である系を意味する）への移行が見られるようになった（Chan et al, 1996 ; Chen and Cheung, 1996 ）や新しい方法論の開発（Pilipchuk, 1985 ; Manevitch, 1999 ; Qaisi and Kilani, 2000 ; Babitsky and Krupenin, 2001 ）による。
最近、非線形性を無視したり回避するのではなく、活用することを提案するいくつかの研究があり、これはパラダイムの興味深いシフトである。 例えば、パラメトリック共振の概念を利用して、フィルタリング機能を持つ微小電気機械発振器を設計した(Rhoads et al., 2005 )。 Vakakis and Gendelman, 2001 ; Vakakis et al., 2004a ; Kerschen et al., 2005b ）では、本質的な（すなわち非線形化可能な）非線形性が、非線形エネルギーポンプと呼ばれるサブシステム間の不可逆的非線形エネルギー移動現象につながることが示されている。 Nichols et al., 2004 ）では、カオス探査と位相空間再構成を用いて、複合梁のボルト接合部の強度評価を行っています。 (Epureanu and Hashmi, 2005 ) では、動的アトラクターの幾何学的形状を利用して、システムの小さなパラメトリック変動を強化している。 非線形システムの同定に焦点を当てると、線形構造力学におけるモード解析の場合と同様に、すべての場合にすべてのシステムに適用できる一般的な解析手法は存在しないことを認めざるを得ない（たとえば、以前の概説（Adams and Allemang, 1998 ; Worden, 2000 ）を参照）。 また、低次元システムに対応できる手法でも、モード密度の高いシステムに直面すると破綻するものが多くあります。 その理由は、線形理論の様々な概念が適用できないことと、非線形システムの高度に「個人主義的」な性質のためであることは、2.1節で述べたとおりである。 第三の理由は、入力 x(t) を出力 y(t) に写像する関数 S、すなわち y(t)=S があらかじめ知られていないことである。 例えば、どこにでもあるダフィング振動子(Duffing, 1918 )の運動方程式は my¨(t)+cy˙(t)+ky(t)+k3y3(t)=x(t) であり、多項式型の復元力非線形の典型例であるが、ヒステリシス減衰は非多項式型の非線形性の例である。 このことは、関数の構造がよく定義されている線形システムの同定と比較して、大きな困難が伴う。
非線形システムの同定を「歴史的」に行った方法と現在の方法に違いがあるとしても、同定プロセスは、図4に概略を示すように、検出、特性決定、パラメータ推定の3つのステップを経て進行すると考えることができる。 非線形挙動が検出されると、システム全体のすべての非線形性の位置、タイプ、および機能形態が決定された後、非線形システムの特性評価が行われると言われています。 次に、選択したモデルのパラメータは、検討する方法に応じて、線形最小二乗フィッティングまたは非線形最適化アルゴリズムを用いて推定される。 同定プロセス。
非線形システムの同定は、検証および妥当性確認（V&V）プロセスの不可欠な部分である。 (Roache, 1998 )によれば、検証とは方程式を正しく解くこと、すなわち数学的に正しい方法で計算を行うことを指し、一方、検証とは正しい方程式を解くこと、すなわち関心のある物理現象が十分な忠実度で記述されるような数学モデルを定式化し係数を選択することである。 Doebling, 2002 ）にあるように、シミュレーション科学の文献から、モデルバリデーションの重要な側面の多くを捉えた1つの定義が引用されている：
The substantiation that model within its domain of applicability possesses a satisfactory range of accuracy consistent with the intended application of the model (Schlesinger et al, 読者は (Roache, 1998 ; Link and Friswell, 2003 ; Babuska and Oden, 2004 ; Hemez et al., 2005 ) およびその参考文献を参照されたい。 この調査論文の背景には、3つの動機がある。 まず、非線形構造モデルの同定における現状を評価したい研究者や実務家のために、簡潔な出発点を提供することを意図しています。 第二に、技術文献で提案されているいくつかの手法をレビューし、これらの手法が複雑な構造物に適用されるのを阻む理由のいくつかを強調することを意図している。 本論文の最後の目標は、非線形システム同定における「限界を超える」のに役立つ将来の研究ニーズを特定することである。
非線形力学のテーマは非常に幅広く、膨大な文献が存在する。 この論文は必然的に著者が最も精通している分野に偏っており，これはもちろん著者や同僚が研究を行っている分野を意味する。 したがって，非線形力学的構造の同定に関する過去および現在のアプローチを包括的に概観するものではなく，例えば，制御理論に由来する多くの開発について要約する試みもない。
同定プロセスの成功を左右する実験設計（例えば，励起源の選択，センサの数および位置）については，本論文では述べられていない。 いくつかの情報は、(Leontaritis and Billings, 1987 ; Duym and Schoukens, 1995 ; Worden and Tomlinson, 2001 )に記載されている場合がある。 また、カオス振動の存在下でのシステム同定（Moon, 1987）についても触れていない。