虚数の歴史

16世紀のヴェネツィアでは、方程式を解く公式は厳重に管理された知的財産だった。 弾道学と要塞の専門家である Niccolo Tartaglia が特に興味を持ったのは、2次方程式と3次方程式で、これは特に飛行中の弾丸の挙動をモデル化するものでした。 二次方程式にはx2の項があり、三次方程式にはx3の項がある。 タルタルと他の数学者たちは、解答に負の数の平方根が必要であることに気づいた。 負の数には平方根がない。掛け合わせると負の数になる数はない。

タルターリアとライバルのジェロラモ・カルダーノは、負の平方根を許容しても、有効な数値（数学者がいうところの実数）を計算できることに気づいたのである。 タルターリアは、1530年に1カ月にわたる方程式を解く決闘でカルダーノの弟子の一人に負けたとき、このことを痛感した。

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数学者はマイナス1の平方根を表すのにiを使っています。 これは虚数単位と呼ばれ、実数ではなく、「現実」には存在しない。 しかし、負の数の平方根を求めるのに使うことができる。 例えば、-4の平方根を計算したい場合、-4 = 4 × -1 とすることができる。 つまり、-4の平方根は4の平方根に-1の平方根を掛けたものです。 記号では、

√-4= √4×√-1

4の平方根は2、-1の平方根はiなので、-4の平方根は2iという答えが得られます。 また、上記の理由から-2も4の平方根であることに注意する必要があります。 4172>

iの演算は、当初は数学者にとって障害となった。 先に「負の倍数の負は正になる」と述べたが、我々は「正の倍数の正は正になる」という考え方に生来親しんでいる。

i × i = i2 = -1

同様に、ここでは2つの負が掛け合わされて負になる。

-i × -i = i2 = -1

これはしばらく問題で、公式数学でこれを使うと厳密にならない、という人もいたようです。 イタリアのルネッサンス期の人物であるラファエル・ボンベリは、1572年に『代数学』という本を書き、学位レベルの専門知識を持たない人にも数学を説明しようとし、初期の教育の先駆者となった。 代数学』では、正数、負数、虚数の演算方法を説明し、虚数単位（i は18世紀まで記号として使われなかった）は正でも負でもなく、したがって通常の演算規則に従わないことを論証している

これらの数学者の虚数に関する研究により、現在代数学の基本定理と呼ばれているものを発展させることができた。 基本的には、方程式の解の数は、常に方程式の未知数の最高乗に等しいというものである。 例えば、私が上記の -4 の平方根を計算したとき、方程式 x2= -4 を解いていました。方程式の未知数 x の最大（かつ唯一の）べき乗は 2 で、驚くことに、2i と -2i という 2 つの答えが見つかりました。 x3 + 4x = 0を見てみましょう。タルタルニアが扱ったのと同じ形の3次方程式です。x = 0は、03 – 4 × 0 = 0 – 0 = 0となり、方程式を満たして、解となります。 しかし、3次方程式から期待される他の2つの解はどうでしょうか。

さて、この方程式にはもう実数解はありませんが、虚数解は存在します。 実際、2i と -2i もこの方程式の解であり、合計で 3 つの解があります。

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1806年にパリの本屋の店長ジャン＝ロベール・アルガンが代数学の基本定理を厳密に証明したのは、ボンベリから数百年後のことでした。 アルガンはまた、複素数の概念を通じて、虚数と幾何学を関連づけた先駆者でもあります。

複素数とは、実部と虚部を持つ数のことです。 例えば、4＋2iは実部が4で虚部が2iの複素数である。 実数も虚数も複素数であることがわかる。 例えば、17は実部が17で虚部が0に等しい複素数であり、iは実部が0の複素数である。

同じくフランス人のアブラハム・ド・モワブルは、1707年に複素数と三角法を関連付ける定理を出し、複素数と幾何学を最初に結びつけた。 アーガンは、実数と虚数を軸とする以外は、X軸とY軸を持つ通常のグラフと同じであるアーガンド図を開発しました。 これらのブレークスルーにより、複雑な代数的問題を幾何学で解くことができるようになった。

数学の多くの発展と同様、現代の電子時代までは、これらすべては純粋に学術的な関心事であった。 ラジオや無線 LAN で使用される電磁波、音楽や音声通信用のオーディオ信号、交流電源など、波でやってくるものを分析する際に、複素数が非常に役に立つことがわかりました。 同様に、量子物理学では、すべての粒子を波形に還元する。つまり、複素数は、現代のコンピューター、光ファイバー、GPS、MRI画像などを可能にしたこの不思議な世界を理解するのに役立っているのである。 500年前から今日に至るまで、数学者たちが、結局のところ、虚数は調査する価値があると判断したことに感謝します。