横波

数学的には、最も単純な横波は平面直線偏波の正弦波である。 ここでいう “平面 “とは伝播の方向が不変であり媒質全体で同じであることを意味し、”直線偏光 “とは変位の方向も不変であり媒質全体で同じであり、変位の大きさは時間と伝播方向の位置の正弦関数のみであることを意味している。 dを伝搬方向(単位長さのベクトル)とし、oを媒質中の任意の基準点としておく。 uを振動の方向(dに垂直な別の単位長さのベクトル)とする。 媒質の任意の点pと任意の時間t(秒)における粒子の変位は

S ( p , t ) = A u sin ( t – ( p – o ) ⋅ d v T + ϕ ) となる。 {displaystyle S(p,t)=Ausin {left({}frac {t-(p-o)\cdot {frac {d}{v}}}{T}}+Copyright)}}.

ここでAは波の振幅または強度、Tは周期、vは伝搬速度、φはoでの位相である。 記号”-“は2つのベクトルの内積を表す。

この方程式により、波は方向dに伝わり、振動は方向uに沿って行ったり来たりする。

定点pを見る観測者は、そこの粒子が周期T秒、各感覚で最大粒子変位Aで、つまり1秒間にf=1/Tの全振動サイクルの周波数で単純調和（正弦波）運動をするのを見ることになる。 一定時間tにおける全粒子のスナップショットは、dに垂直な各平面上の全粒子について同じ変位を示し、連続する平面上の変位は正弦波パターンを形成し、それぞれの全サイクルはdに沿って波長λ = v T = v/fだけ延長される。 パターン全体はd方向に速度Vで移動する。

同じ式で平面直線偏光正弦波が記述されるが、「変位」S（p、t）は点pと時間tにおける電場である。（磁場も同じ式で記述するが、dとuに垂直な「変位」方向と異なる振幅を持つ）。)

重畳の原理編集

均質な弾性媒体では、複雑な振動（物質の振動や光の流れ）は、横波（直線偏波）か縦波のどちらかの多くの単純な正弦波の重畳として記述できる。

たとえばバイオリンの弦の振動は、異なる周波数の多くの横波の合計として解析でき、弦を上下または左右に変位させることができる。

円偏光編集

媒質が線形で、同じ進行方向dに対して複数の独立した変位方向を許容する場合、互いに直交する二つの偏光方向を選び、他の方向に線形偏光した波は、その二つの波の線形結合（混合）として表現することができます。

周波数、速度、進行方向が同じで、位相が異なり、変位方向が独立した2つの波を組み合わせると、円偏波または楕円偏波が得られる。 このような波では、粒子は前後に動くのではなく、円形または楕円形の軌道を描く。

前述した張った糸による思考実験をもう一度見直してみると、理解の助けになるかもしれない。 手を上下に動かすのではなく、右や左に動かすことによっても、ひもに波を打ち出すことができることに注意してください。 ここが重要なポイントです。 波が動く方向には、独立した（直交する）2つの方向があります（これは、直角の2方向にも当てはまりますが、分かりやすいように上下と左右を選びました）。 手を直線的に動かして打ち出される波はすべて直線偏波の波です。

しかし、今度は円を描くように手を動かすことを想像してみてください。 あなたの動きによって、弦に螺旋状の波が打ち出されます。 あなたは手を上下と左右に同時に動かしています。 左右への動きの最大値は、上下への動きの最大値から4分の1波長（または円の4分の1周、つまり90度またはπ/2ラジアン）のところで発生します。 ひもに沿ったどの点でも、ひもの変位はあなたの手と同じ円を描きますが、波の伝搬速度分だけ遅れます。 また、手を時計回りの円に動かすか、反時計回りの円に動かすかを選ぶことができることに注意してください。 これらの交互の円運動は、右と左の円偏波を発生させます。

あなたの円が不完全である限り、規則的な運動は楕円を描き、楕円偏波の波動を発生させます。 偏心していると楕円は直線になり、楕円の長軸に沿って直線偏光が発生します。 楕円運動は常に、振幅が不等で位相が90度ずれた2つの直交する直線運動に分解することができ、円偏波は2つの直線運動が同じ振幅を持つ特殊なケースとなります。