順列と組合せを使って、より複雑な確率の質問に答えることができる
例1
4桁の暗証番号が選択された場合。 4498>
暗証番号の各桁には10の可能性がある（すなわち、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）ので、10×10×10×10＝10
4＝10000通りの暗証番号が存在することになる。 10×9×8×7を計算するか、これが並べ換え
10P4 = 5040と同じであることに気づきます。
繰り返し桁がない確率は、繰り返し桁がない4桁のPINの数を4桁のPINの総数で割ったものです。 この確率は
}}{{}_{10}}{P}_{4}}}={{5040}}{{10000}}={0.504}
例2
ある州のくじでは1～48番の48球が機械の中に入れられその中からランダムに6球が引かれる。 抽選された6つの数字が、プレイヤーが選んだ数字と一致すれば、プレイヤーは100万ドルを獲得する。 この宝くじでは、抽選される番号の順番は関係ありません。 4498>
確率を計算するためには、6つの数字が引かれる方法の総数と、プレイヤーのチケットに書かれた6つの数字が機械から引かれた6つの数字と一致する方法の数を数える必要があります。 数字の順番に決まりはないので、抽選の結果の可能性は
48C6 = 12,271,512となる。 これらの可能な結果のうち、プレイヤーのチケットの6つの数字がすべて一致するのは1つだけなので、大賞の当選確率は次のとおりです：
displaystyle\frac{{}_{6}}{C}_{6}}{{}_{48}}{C_{6}}=}frac{1}{12271512}}approx={0.0000000815}
例題3
先の例の州くじで、抽選された6つの数字のうち5つがプレイヤーが選んだ数字と一致すると、プレイヤーは2等賞の1000ドルを獲得します。 4498>
上記のように、宝くじの抽選結果の可能な数は
48C6 = 12,271,512である。 2等を当てるためには、券面上の6つの数字のうち5つが当選番号の5つと一致しなければなりません。言い換えれば、6つの当選番号のうち5つと42のハズレ番号のうち1つを選んでいなければならないのです。 6個の当選番号のうち5個を選ぶ方法の数は6C5=6で与えられ、42個のハズレ番号のうち1個を選ぶ方法の数は42C1=42で与えられます。 したがって、有利な結果の数は、6C5×42C1=6×42=252となり、基本的な数え方の法則で与えられる。 したがって、2等賞の当選確率は
◇displaystyle ◇frac{{left({}_{6}}{C}_{5}}right)}{left({}_{42}}{C}_{1}right)}} {{}_{48}}{C}_{6}}= ◇frac{252}{{12271512}} ◇approx{0.0000205}
今すぐ試す1
経済学のクイズの多肢選択問題には、それぞれ5つの答えが考えられる問題が10問あります。 4498>
例題4
山札からランダムに5枚引いて、ちょうど1枚のAを得る確率を計算する。
多くのカードゲーム（ポーカーなど）では、カードを引く順番は重要ではない（プレイヤーは手札を好きなように並べ替えられるから）、この後の問題では、特に記述がない限りこの場合を想定することにする。 そこで，組み合わせを使って，5枚の手札の可能な数
52C5を計算します。 4498>
分子には、山札からエース1枚と他のカード4枚（いずれもエースではない）を引く方法の数が必要です。 エースが4枚あり、そのうちの1枚が欲しいので、エース1枚を選ぶ方法は
4C1通り、エース以外が48枚あり、そのうちの4枚が欲しいので、エース以外を選ぶ方法は48C4通りあることになります。 ここで、基本計数法を用いて、エース1枚とエース以外の4枚を選ぶ方法は、4C1×48C4通りであることを計算します。
これをまとめると。 we have
\displaystyle{P}{\left(\text{one Ace}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{1}}\right)}{\left({}_{{48}}{C}_{{4}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{778320}}{{2598960}}\approx{0.299}
例題5
山札からランダムに5枚引いて、ちょうど2枚のAを得る確率を計算しなさい。
解答は前の例題と似ているが、今度は4枚の中から2枚のAを選び、48枚の中から3枚のAでないものを選ぶことを除いて、分母は同じである。
Try it Now 2
山札からランダムに5枚引いて、3枚のエースと2枚のキングが出る確率を計算する。
誕生日問題
一時停止して、確率論で有名な問題を考えてみよう。 誕生日の人が少なくとも1人いる確率はどのくらいでしょうか。
上の問題の答えを当ててみてください。 あなたの推測はかなり低く、10％程度でしたか？ それが直感的な答えのようです（30/365、でしょうか）。 直感に耳を傾けるべきかどうか、見てみましょう。
例題6
ある部屋に3人の人がいるとします。 この3人の間に少なくとも1人の誕生日の人がいる確率はどのくらいか。
少なくとも1人の誕生日の人がいる方法はたくさんある。 幸いなことに、もっと簡単な方法があります。 私たちは、”少なくとも1つの共通の誕生日があることの代替案は何か？”と自問します。 この場合、代替案は、
共有された誕生日がないことである。 言い換えれば、「少なくとも1つ」の代替案は「何もない」ことです。 つまり、これは補集合なので、
P(at least one) = 1 – P(none)
では、まず、誕生日の共有がない確率を計算することにしましょう。 あなたがこの3人のうちの1人であると想像してみましょう。 誕生日は矛盾なく何でもよいので、365のうち365の選択肢があります。 2人目の人が誕生日を共有しない確率はどのくらいでしょうか？ 1年は365日あり（うるう年は無視しましょう）、誕生日を競合から外すと、この人と誕生日が同じでないことを保証する選択肢は364通りあるので、2人目が誕生日を同じにしない確率は364/365となります。 次に、3人目の人に移ります。 この3人目の人が、あなたとも2人目の人とも誕生日が同じでない確率はどのくらいでしょうか。 あなたと2番目の人の誕生日と重複しない日が363日あるので、3番目の人が最初の2人と誕生日を同じにしない確率は363/365です。
2人目の人はあなた
と、3人目の人は最初の2人と誕生日がかぶらないようにしたいので、乗法法則を用います。
\displaystyle{P}{\left(\text{no shared birthday}\right)}=\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\approx{0.9918}
そして1から引くと
P(shared birthday) = 1 – P(no shared birthday) = 1 – 0.9918 = 0.0082.
これはかなり小さい数字なので、元の問題の答えが小さくなるのは理にかなっているかもしれませんね。 4498>
例題7
部屋に5人いるとします。 この5人の中に少なくとも1人、共通の誕生日がある確率は何％か？
前の例題のパターンを続けます。 答えは
P}{left(\text{shared birthday}right)}={1}- となります。\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\cdot\frac{{362}}{{365}}\cdot\frac{{361}}{{365}}\approx{0.0271}
なお、これをもっとコンパクトに書くと
これは電卓やコンピュータに入力するのが少し簡単になり、私たちのグループの人口を拡大し続けるので、良い公式を示唆しています。
例8
30人が部屋にいるとします。 この30人の中で誕生日が同じ人が少なくとも1人いる確率はどのくらいか。
ここで計算すると
displaystyle{P}{left(\text{shared birthday}right)}={1}-thefrac{{}_{{365}{P}_{30}}}{365}^{30}}approx{0.706}
これにより、30 人の部屋にいるとき、70%の確率で少なくとも 1 つの共通の誕生日がある、という驚くべき結果が得られます!
賭け事が好きで、30人に自分の誕生日を明かすように説得できるなら、30人以上の部屋にいるときはいつでも、部屋に同じ誕生日の人が少なくとも2人いることを友人に賭けて、いくらかのお金を獲得できるかもしれません。 (もちろん、その友人が確率を勉強していないことを確認する必要があります!） 4498>
これは、確率論における多くの結果のうちの1つで、直感に反したものです。 それでも数学が信じられない場合は、シミュレーションを実行することができます。 30人のグループを集める必要がないように、ある人が親切にもJavaアプレットを開発してくれて、コンピュータ・シミュレーションを行うことができます。 このウェブページ
http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.htmlにアクセスし、アプレットを読み込んだら、30人の誕生日を選んで、スタートとリセットをクリックし続けてください。 繰り返される誕生日の回数を記録しておくと、10回に7回くらいは繰り返されるはずです。
Try it Now 3
ある部屋に10人がいるとします。 この10人の中で誕生日が同じ人が1人以上いる確率は何％でしょうか。
- ◇left({9} \text{ answers correct}right)}=Capprac{9}Cdot4}{(5^{10})} ◇approx0.0000037 chance
- Displaystyle{P}{left(\{three Aces and two Kings}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{3}}\right)}{\left({}_{{4}}{C}_{{2}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{24}}{{2598960}}\approx{0.0000092}
David Lippman, Math in Society, “Probability”, licensed under a CC BY-SA 3.0 license.