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Section 4-1 : The Definition
私たちが何かの定義にセクション全体を割くとき、それはいつも少し怖いです。 ラプラス変換（または単に変換）は、最初に見たときは怖く感じるかもしれません。
ラプラス変換の定義を始める前に、別の定義を整理しておく必要があります。
区間を有限個の部分区間に分割でき、それぞれの開いた部分区間（すなわち、終点のない部分区間）上で関数が連続し、それぞれの部分区間の終点で有限の極値を持つ場合、関数はその区間で区分的連続と呼ばれます。 以下は区分的連続関数のスケッチです。
言い換えれば、区分的連続関数とは、その中に有限の切れ目を持ち、どこにも無限大に吹き上がらない関数のことである。
さて、ここでラプラス変換の定義を見てみましょう。
定義
例えば、(f(t)㊤)を区分的連続関数としましょう。 このとき、(f(t)㊤)のラプラス変換を(㊦)㊧とします。 \right} ）と定義され、
ラプラス変換には別の表記があります。 便宜上、ラプラス変換を
\
と表記することがあります。この表記法では、変換は実際には新しい変数である閾値の関数であり、積分の過程ですべての閾値が脱落することに注意しましょう。
さて、変換の定義にある積分は不適切な積分と呼ばれ、実際に変換の計算に入る前に、この種の積分がどのように機能するかを思い出すのが一番でしょう。
There’s not really much do follows the function \(f(t) = 1) plug into \(eqref{eq:eq1})
\
Now, at this point notice that this is nothing more than the integral in previous example with \(c = – s\).ここで、前の例のinteriorにnothingがあることに注意してください。 従って、あとは適当な代入をして♪♪♪を再利用するだけです。 これを実行すると、
\
または、少し単純化して、
\
となります。実際に変換を計算するために、the \(senta) に制限を加えなければならないことに注意してください。 すべてのラプラス変換は、閾値に制約を持つことになります。 この段階ではこの制約を無視しがちですが、この制約があることを決して忘れてはいけません。
別の例もやってみましょう。
変換の定義に関数を突っ込んで少し単純化しましょう。
⑭
ここでもう一度、(c = a – s)であれば、(⑭)が使えることに気がつきましたね。
この例からも分かるように、ラプラス変換の計算は面倒なことが多いのですが、その前に少し補足しておきます。
下限が0から負の無限大に変化していることに注意してください。 このような場合、関数(f(t)Γ)が実は次のように定義されているという前提があることがほとんどです。
\
つまり、t<0なら関数はゼロであると仮定します。この場合、関数はゼロなので積分の前半が抜け、 で述べた定義に戻ります。 t<0で関数がゼロになるようにするには、通常Heaviside関数が使われます。