Hexadezimale Zahlen

Der größte Nachteil von Binärzahlen ist, dass die binäre Entsprechung einer großen dezimalen Basis-10-Zahl ziemlich lang sein kann.

Bei der Arbeit mit großen digitalen Systemen, wie z.B. Computern, findet man häufig Binärzahlen, die aus 8, 16 und sogar 32 Ziffern bestehen, was es schwierig macht, sie fehlerfrei zu lesen oder zu schreiben, besonders wenn man mit vielen 16- oder 32-Bit-Binärzahlen arbeitet.

Eine gängige Methode zur Überwindung dieses Problems besteht darin, die Binärzahlen in Gruppen oder Sätzen von vier Bits (4-Bits) anzuordnen. Für diese 4-Bit-Gruppen wird eine andere Art von Nummerierungssystem verwendet, das auch in Computer- und Digitalsystemen verwendet wird, nämlich Hexadezimalzahlen.

Das „Hexadezimal“- oder einfach „Hex“-Nummerierungssystem verwendet das 16er-Basissystem und ist eine beliebte Wahl für die Darstellung langer Binärwerte, da ihr Format recht kompakt und im Vergleich zu langen binären 1er- und 0er-Ketten viel leichter zu verstehen ist.

Da es sich um ein Basis-16-System handelt, verwendet das hexadezimale Zahlensystem daher 16 (sechzehn) verschiedene Ziffern mit einer Kombination von Zahlen von 0 bis 15. Mit anderen Worten, es gibt 16 mögliche Ziffernsymbole.

Es gibt jedoch ein potenzielles Problem bei der Verwendung dieser Methode der Ziffernschreibweise, das durch die Tatsache verursacht wird, dass die Dezimalzahlen 10, 11, 12, 13, 14 und 15 normalerweise mit zwei benachbarten Symbolen geschrieben werden. Wenn wir beispielsweise 10 in hexadezimaler Schreibweise schreiben, meinen wir dann die Dezimalzahl zehn oder die Binärzahl zwei (1 + 0). Um dieses schwierige Problem zu umgehen, werden Hexadezimalzahlen, die die Werte zehn, elf, . . .

Im Hexadezimalen Zahlensystem werden die Zahlen von 0 bis 9 und die Großbuchstaben A bis F verwendet, um die binäre oder dezimale Entsprechung darzustellen, beginnend mit der niederwertigsten Ziffer auf der rechten Seite.

Wie wir gerade gesagt haben, können binäre Zahlenfolgen ziemlich lang und schwer zu lesen sein, aber wir können uns das Leben leichter machen, indem wir diese großen binären Zahlen in gleichmäßige Gruppen aufteilen, damit sie viel einfacher aufzuschreiben und zu verstehen sind. Die folgende Gruppe von Binärziffern 1101 0101 1100 11112 ist zum Beispiel viel leichter zu lesen und zu verstehen als 11010101110011112, wenn sie alle aneinandergereiht sind.

Im alltäglichen Gebrauch des dezimalen Zahlensystems verwenden wir Gruppen von drei Ziffern oder 000 von der rechten Seite, um eine sehr große Zahl wie eine Million oder Billion für uns leichter verständlich zu machen, und dasselbe gilt auch für digitale Systeme.

Hexadezimale Zahlen sind ein komplexeres System als die Verwendung von Binär- oder Dezimalzahlen und werden hauptsächlich im Umgang mit Computern und Speicheradressen verwendet. Durch die Unterteilung einer Binärzahl in Gruppen von 4 Bits kann jede Gruppe oder jeder Satz von 4 Ziffern einen möglichen Wert zwischen „0000“ (0) und „1111“ ( 8+4+2+1 = 15 ) haben, was insgesamt 16 verschiedene Zahlenkombinationen von 0 bis 15 ergibt. Vergessen Sie nicht, dass „0“ auch eine gültige Ziffer ist.

Wir erinnern uns aus unserem ersten Lehrgang über Binärzahlen, dass eine 4-Bit-Zifferngruppe als „Nibble“ bezeichnet wird, und da auch für eine Hexadezimalzahl 4 Bits erforderlich sind, kann man sich eine Hex-Ziffer auch als Nibble oder halbes Byte vorstellen. Dann sind zwei Hexadezimalzahlen erforderlich, um ein ganzes Byte von 00 bis FF zu erzeugen.

Da 16 im Dezimalsystem die vierte Potenz von 2 (oder 24) ist, besteht außerdem eine direkte Beziehung zwischen den Zahlen 2 und 16, so dass eine Hexadezimalziffer einen Wert hat, der vier Binärziffern entspricht, so dass q jetzt gleich „16“ ist.

Aufgrund dieser Beziehung können vier Ziffern in einer Binärzahl mit einer einzigen Hexadezimalziffer dargestellt werden. Dies macht die Umrechnung zwischen Binär- und Hexadezimalzahlen sehr einfach, und Hexadezimal kann verwendet werden, um große Binärzahlen mit viel weniger Ziffern zu schreiben.

Die Zahlen 0 bis 9 werden immer noch wie im ursprünglichen Dezimalsystem verwendet, aber die Zahlen von 10 bis 15 werden jetzt durch Großbuchstaben des Alphabets von A bis einschließlich F dargestellt, und die Beziehung zwischen Dezimal-, Binär- und Hexadezimalzahlen ist unten angegeben.

Hexadezimalzahlen

Dezimalzahlen	4-Bit Binärzahl	Hexadezimalzahl
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F
16	0001 0000	10 (1+0)
17	0001 0001	11 (1+1)
Weiter aufwärts in Vierergruppen

Unter Verwendung der ursprünglichen Binärzahl von oben 1101 0101 1100 11112 kann diese nun in eine äquivalente Hexadezimalzahl von D5CF umgewandelt werden, die viel einfacher zu lesen und zu verstehen ist als eine lange Reihe von 1en und 0en, die wir vorher hatten.

Durch die Verwendung der Hexadezimaldarstellung können digitale Zahlen also mit weniger Ziffern und einer viel geringeren Fehlerwahrscheinlichkeit geschrieben werden. Die Umwandlung von hexadezimalen Zahlen in binäre Zahlen ist der umgekehrte Vorgang.

Das Hauptmerkmal des hexadezimalen Zahlensystems ist, dass es 16 verschiedene Ziffern von 0 bis F gibt, wobei jede Ziffer ein Gewicht oder einen Wert von 16 hat, beginnend mit dem niederwertigsten Bit (LSB). Um Hexadezimalzahlen von Denary-Zahlen zu unterscheiden, wird vor dem eigentlichen Wert der Hexadezimalzahl entweder ein „#“ (Raute) oder ein „$“ (Dollarzeichen) vorangestellt, also #D5CF oder $D5CF.

Da die Basis eines Hexadezimalsystems 16 ist, was auch die Anzahl der einzelnen im System verwendeten Symbole darstellt, wird der tiefgestellte Index 16 zur Kennzeichnung einer in Hexadezimal ausgedrückten Zahl verwendet. Zum Beispiel wird die vorherige Hexadezimalzahl ausgedrückt als: D5CF16

Zählen mit Hexadezimalzahlen

So wissen wir jetzt, wie man 4 Binärziffern in eine Hexadezimalzahl umwandelt. Aber was wäre, wenn wir mehr als 4 binäre Ziffern hätten, wie würden wir in Hexadezimalzahlen über den letzten Buchstaben F hinaus zählen. Die einfache Antwort ist, wieder mit einem anderen Satz von 4 Bits wie folgt zu beginnen.

0…bis…9, A,B,C,D,E,F, 10…bis…19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21….etc

Nicht verwirren lassen, 10 oder 20 ist NICHT zehn oder zwanzig, es ist 1 + 0 und 2 + 0 in Hexadezimal. Tatsächlich gibt es die Zwanzig in Hexadezimal gar nicht. Mit zwei hexadezimalen Zahlen können wir bis FF zählen, was dezimal 255 entspricht. Um höher als FF zu zählen, würden wir eine dritte Hexadezimalziffer links anhängen, so dass die erste 3-Bit-Hexadezimalzahl 10016 (25610) und die letzte FFF16 (409510) wäre. Die maximale 4-stellige hexadezimale Zahl ist FFFF16, was dezimal 65.535 entspricht, usw.

Darstellung einer Hexadezimalzahl

MSB	Hexadezimalzahl							LSB
168	167	166	165	164	163	162	161	160
4.3G	2.6G	16M	1M	65k	4k	256	16	1

Dieses Hinzufügen zusätzlicher hexadezimaler Ziffern, um sowohl Dezimal- als auch Binärzahlen in eine Hexadezimalzahl umzuwandeln, ist sehr einfach, wenn es 4, 8, 12 oder 16 binäre Ziffern zu konvertieren sind. Wir können aber auch Nullen links vom höchstwertigen Bit, dem MSB, hinzufügen, wenn die Anzahl der Binärbits kein Vielfaches von vier ist.

Zum Beispiel ist 110010110110012 eine vierzehn Bit lange Binärzahl, die zu groß für nur drei Hexadezimalziffern ist, aber zu klein für eine vierstellige Hexadezimalzahl. Die Lösung besteht darin, zusätzliche Nullen an das am weitesten links stehende Bit anzuhängen, bis wir einen vollständigen Satz von Vier-Bit-Binärzahlen oder Vielfachen davon haben.

Hinzufügen von zusätzlichen 0en zu einer Binärzahl

Binärzahl	0011	0010	1101	1001
Hexadezimalzahl	3	2	D	9

Der Hauptvorteil einer Hexadezimalzahl ist, dass sie sehr kompakt ist und durch die Verwendung einer Basis von 16 bedeutet, dass die Anzahl der Ziffern, die zur Darstellung einer bestimmten Zahl verwendet werden, in der Regel geringer ist als bei Binär- oder Dezimalzahlen. Außerdem ist es schnell und einfach, zwischen Hexadezimal- und Binärzahlen umzuwandeln.

Hexadezimalzahlen Beispiel Nr. 1

Wandeln Sie die folgende Binärzahl 1110 10102 in ihre Hexadezimalzahl um.

Binärzahl = 111010102
Gruppiere die Bits in Vierergruppen, beginnend auf der rechten Seite
=	1110	1010
Ermittle die dezimale Entsprechung jeder einzelnen Gruppen
=	14	10	(dezimal)
Umrechnen in Hexadezimal unter Verwendung der obigen Tabelle
=	E	A	(in Hex)
Dann, ist das hexadezimale Äquivalent der Binärzahl 1110 10102 #EA16

Hexadezimale Zahlen Beispiel Nr. 2

Wandeln Sie die folgende Hexadezimalzahl #3FA716 in ihr binäres Äquivalent und auch in ihr dezimales oder denäres Äquivalent um, indem Sie die einzelnen Zahlensysteme durch tiefgestellte Zahlen kennzeichnen.

#3FA716

= 0011 1111 1010 01112

= (8192 + 4096 + 2048 + 1024 + 512 + 256 + 128 + 32 + 4 + 2 + 1)

= 16,29510

Dann kann die Dezimalzahl 16,295 dargestellt werden als:-

#3FA716 in Hexadezimal

oder

0011 1111 1010 01112 in Binär.

Zusammenfassung der hexadezimalen Zahlen

Zusammenfassung. Das Hexadezimal- oder Hex-Zahlensystem wird häufig in Computern und digitalen Systemen verwendet, um große binäre Zahlenreihen in vier Ziffern zu reduzieren, die für uns leicht verständlich sind. Das Wort „Hexadezimal“ bedeutet sechzehn, weil diese Art von digitalem Nummerierungssystem 16 verschiedene Ziffern von 0 bis 9 und von A bis F verwendet.

Hexadezimale Zahlen gruppieren binäre Zahlen in Gruppen von vier Ziffern. Um eine binäre Sequenz in eine äquivalente hexadezimale Zahl umzuwandeln, müssen wir zunächst die binären Ziffern in einen Satz von 4 Bits gruppieren. Diese binären Sätze können jeden Wert von 010 ( 00002 ) bis 1510 ( 11112 ) haben, der das hexadezimale Äquivalent von 0 bis F darstellt.

Im nächsten Lehrgang über Binärlogik werden wir uns die Umwandlung ganzer Reihen von Binärzahlen in ein anderes digitales Nummerierungssystem namens Oktalzahlen und umgekehrt ansehen.