En la Venecia del siglo XVI, las fórmulas para resolver ecuaciones eran una propiedad intelectual muy vigilada. De especial interés para el experto en balística y fortificaciones Niccolo Tartaglia eran las ecuaciones cuadráticas y cúbicas, que modelan el comportamiento de los proyectiles en vuelo, entre otras cosas. Puede que le suenen de las matemáticas del colegio: las ecuaciones cuadráticas tienen un término x2 y las cúbicas un término x3. Tartaglia y otros matemáticos se dieron cuenta de que algunas soluciones requerían las raíces cuadradas de números negativos, y ahí está el problema. Los números negativos no tienen raíces cuadradas: no hay ningún número que, al multiplicarse por sí mismo, dé un número negativo. Esto se debe a que los números negativos, cuando se multiplican juntos, dan un resultado positivo: -2 × -2 = 4 (no -4).
Tartaglia y su rival, Gerolamo Cardano, observaron que, si permitían raíces cuadradas negativas en sus cálculos, podían seguir dando respuestas numéricas válidas (números reales, como los llaman los matemáticos). Tartaglia lo aprendió por las malas cuando fue derrotado por uno de los alumnos de Cardano en un duelo de resolución de ecuaciones que duró un mes en 1530.
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Los matemáticos utilizan i para representar la raíz cuadrada de menos uno. Esto se llama la unidad imaginaria – no es un número real, no existe en la vida «real». Sin embargo, podemos utilizarla para hallar las raíces cuadradas de los números negativos. Si quiero calcular la raíz cuadrada de -4, puedo decir que -4 = 4 × -1. Esto significa que la raíz cuadrada de -4 es la raíz cuadrada de 4 multiplicada por la raíz cuadrada de -1. En símbolos:
√-4= √4×√-1
La raíz cuadrada de 4 es 2, y la raíz cuadrada de -1 es i, lo que nos da como respuesta que la raíz cuadrada de -4 es 2i. También debemos tener en cuenta que -2 también es una raíz cuadrada de 4 por las razones expuestas anteriormente. Esto significa que las raíces cuadradas de -4 son 2i y -2i.
La propia aritmética de i supuso inicialmente un obstáculo para los matemáticos. Antes he dicho que un negativo por un negativo da un positivo y estamos familiarizados de forma innata con la idea de que un positivo por un positivo da un positivo. Con la unidad imaginaria, esto parece romperse, ya que dos positivos se multiplican para dar un negativo:
i × i = i2 = -1
Igualmente, aquí dos negativos se multiplican para dar un negativo:
-i × -i = i2 = -1
Esto supuso un problema durante algún tiempo e hizo que algunas personas consideraran que su uso en la matemática formal no era riguroso. Rafael Bombelli, otro italiano del Renacimiento, escribió en 1572 un libro titulado, simplemente, Álgebra, en el que trataba de explicar las matemáticas a personas sin conocimientos de grado, lo que le convirtió en uno de los primeros pioneros de la educación. En Álgebra, explica cómo realizar aritmética con números positivos, negativos e imaginarios, argumentando que la unidad imaginaria (la i no se utilizó como símbolo hasta el siglo XVIII) no era ni positiva ni negativa y, por tanto, no obedecía a las reglas habituales de la aritmética.
El trabajo de estos matemáticos sobre los números imaginarios permitió el desarrollo de lo que hoy se denomina Teorema Fundamental del Álgebra. En términos básicos, el número de soluciones de una ecuación es siempre igual a la mayor potencia de la incógnita en la ecuación. Por ejemplo, cuando estaba resolviendo las raíces cuadradas de -4 arriba, estaba resolviendo la ecuación x2= -4. La mayor (y única) potencia de la incógnita x en la ecuación es dos, y he aquí que encontramos dos respuestas, 2i y -2i.
Con una ecuación cúbica, donde la mayor potencia es tres, debería obtener tres soluciones. Veamos x3 + 4x = 0, que es la misma forma de ecuación cúbica que trató Tartaglia. x = 0 es una solución, ya que 03 – 4 × 0 = 0 – 0 = 0, cumpliendo la ecuación. Pero, ¿qué pasa con las otras dos soluciones que esperamos de una cúbica?
Bueno, no hay más soluciones reales de la ecuación, pero sí imaginarias. De hecho, 2i y -2i también son soluciones de esta ecuación, lo que nos da nuestras tres soluciones en total.
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No fue hasta unos cientos de años después de Bombelli que el teorema fundamental del álgebra fue rigurosamente demostrado por el gerente de una librería parisina Jean-Robert Argand en 1806. Argand también fue pionero en relacionar los números imaginarios con la geometría a través del concepto de números complejos.
Los números complejos son números con una parte real y otra imaginaria. Por ejemplo, 4 + 2i es un número complejo con una parte real igual a 4 y una parte imaginaria igual a 2i. Resulta que tanto los números reales como los imaginarios son también números complejos. Por ejemplo, 17 es un número complejo con una parte real igual a 17 y una parte imaginaria igual a cero, e i es un número complejo con una parte real igual a cero.
Otro francés, Abraham de Moivre, fue de los primeros en relacionar los números complejos con la geometría con su teorema de 1707 que relacionaba los números complejos y la trigonometría. A continuación, Argand desarrolló los diagramas de Argand, que son como un gráfico normal con un eje x e y, salvo que sus ejes son los números reales y los imaginarios. Estos avances permitieron resolver problemas algebraicos complejos utilizando la geometría.
Como tantos desarrollos en matemáticas, todo esto fue de interés puramente académico hasta la era electrónica moderna. Los números complejos resultan ser increíblemente útiles para analizar cualquier cosa que venga en forma de ondas, como la radiación electromagnética que utilizamos en las radios y el wifi, las señales de audio para la música y la comunicación de voz y las fuentes de alimentación de corriente alterna. Asimismo, la física cuántica reduce todas las partículas a formas de onda, lo que significa que los números complejos son fundamentales para entender este extraño mundo que nos ha permitido disfrutar de los ordenadores modernos, la fibra óptica, el GPS y las imágenes por resonancia magnética, por nombrar sólo algunos. Menos mal que los matemáticos, desde hace 500 años hasta hoy, decidieron que merecía la pena investigar los números imaginarios.
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