Los números complejos son números que constan de dos partes: un número real y un número imaginario. Los números complejos son los bloques de construcción de matemáticas más intrincadas, como el álgebra. Se pueden aplicar a muchos aspectos de la vida real, especialmente en la electrónica y el electromagnetismo.
El formato estándar de los números complejos es a + bi, con el número real primero y el número imaginario al final. Como cualquiera de las partes puede ser 0, técnicamente cualquier número real o imaginario puede considerarse un número complejo. Complejo no significa complicado; significa que los dos tipos de números se combinan para formar un complejo, como un complejo de viviendas – un grupo de edificios unidos.
Los números reales son valores tangibles que se pueden trazar en una recta numérica horizontal, como las fracciones, los números enteros o cualquier número contable que se pueda imaginar. Los números imaginarios son conceptos abstractos que se utilizan cuando se necesita la raíz cuadrada de un número negativo.
Sumando &multiplicando números complejos
Debido a que un número complejo es un binomio -una expresión numérica con dos términos- la aritmética se realiza generalmente de la misma manera que cualquier binomio, combinando los términos semejantes y simplificando. Por ejemplo:
(3 + 2i) + (4 – 4i)
(3 + 4) = 7
(2i – 4i) = -2i
El resultado es 7-2i.
Para la multiplicación, se emplea el método FOIL para la multiplicación de polinomios: se multiplica el Primero, se multiplica el Exterior, se multiplica el Interior, se multiplica el Último, y luego se suma. Por ejemplo:
(3 – 2i)(5 + 3i) =
(3)(5) + (3)(3i) + (-2i)(5) + (-2i)(3i) =
15 + 9i + -10i + -6i2 =
15 – i – 6(-1) =
21 – i
La razón por la que i2 se simplifica a (-1) es porque i es la raíz cuadrada de -1.
Dividir números complejos
La división, sin embargo, se complica y requiere el uso de conjugados. Los conjugados complejos son pares de números complejos que tienen signos diferentes, como (a + bi) y (a – bi). La multiplicación de conjugados complejos hace que el término medio se cancele. Por ejemplo:
(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – (bi)2
Esto se simplifica a a2 – b2(i2) = a2 – b2(-1)
El resultado final es a2 + b2
Cuando se dividen números complejos, se determina el conjugado del denominador y se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado. Por ejemplo,
(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)
El conjugado de 7 + 4i es 7 – 4i. Entonces, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado:
(5 + 2i)(7 – 4i) ÷ (7 + 4i)(7 – 4i) =
(35 + 14i – 20i – 8i2) ÷ (49 – 28i + 28i – 16i2 ) =
(35 – 6i + 8) ÷ (49 + 16) =
(43 – 6i) ÷ 65
Valor absoluto de los números complejos
El valor absoluto de un número se considera su distancia al cero en la recta numérica. Dado que los números complejos incluyen números imaginarios, no pueden representarse en la recta numérica real. Sin embargo, se pueden medir desde el cero en el plano de los números complejos, que incluye un eje x (para el número real) y el eje y (para el número imaginario).
Usos de los números complejos
Los números complejos se pueden utilizar para resolver cuadráticas para ceros. La fórmula cuadrática resuelve ax2 + bx + c = 0 para los valores de x. Si la fórmula proporciona un negativo en la raíz cuadrada, se pueden utilizar los números complejos para simplificar el cero.
Los números complejos se utilizan en electrónica y electromagnetismo. Un solo número complejo reúne dos cantidades reales, lo que hace que los números sean más fáciles de trabajar. Por ejemplo, en electrónica, el estado de un elemento del circuito se define por la tensión (V) y la corriente (I). Los elementos del circuito también pueden tener una capacitancia (c) y una inductancia (L) que describen la tendencia del circuito a resistir los cambios de V e I. En lugar de describir el estado del elemento del circuito mediante V e I, se puede describir como z = V + Ii. Las leyes de la electricidad pueden entonces expresarse usando la adición y multiplicación de números complejos.
Como se mencionó anteriormente, esto también puede aplicarse al electromagnetismo. En lugar de describirse como intensidad de campo eléctrico e intensidad de campo magnético, se puede crear un número complejo en el que los componentes eléctricos y magnéticos son los números reales e imaginarios.
Más información:
Calculadora de números complejos
Math is Fun: Números complejos
Almacén de las matemáticas: Números complejos
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