1 Introducción
La modelización matemática se refiere al uso del lenguaje matemático para simular el comportamiento de un sistema del «mundo real» (práctico). Su función es proporcionar una mejor comprensión y caracterización del sistema. La teoría es útil para sacar conclusiones generales de modelos sencillos, y los ordenadores son útiles para sacar conclusiones específicas de modelos complicados (Bender, 2000 ). En la teoría de las vibraciones mecánicas, los modelos matemáticos -denominados modelos estructurales- son útiles para el análisis del comportamiento dinámico de la estructura que se está modelando.
La demanda de un rendimiento mejorado y fiable de las estructuras vibratorias en términos de peso, comodidad, seguridad, ruido y durabilidad es cada vez mayor, mientras que, al mismo tiempo, existe una demanda de ciclos de diseño más cortos, una vida útil más larga, la minimización de las necesidades de inspección y reparación, y la reducción de los costes. Con la llegada de potentes ordenadores, resulta más barato, tanto en términos de coste como de tiempo, realizar simulaciones numéricas que llevar a cabo un experimento sofisticado. La consecuencia ha sido un cambio considerable hacia el diseño asistido por ordenador y los experimentos numéricos, en los que se emplean modelos estructurales para simular experimentos y realizar predicciones precisas y fiables del comportamiento futuro de la estructura.
Aunque estemos entrando en la era de la creación de prototipos virtuales (Van Der Auweraer, 2002 ), las pruebas experimentales y la identificación del sistema siguen desempeñando un papel fundamental, ya que ayudan al especialista en dinámica estructural a conciliar las predicciones numéricas con las investigaciones experimentales. El término «identificación del sistema» se utiliza a veces en un contexto más amplio en la literatura técnica y puede referirse también a la extracción de información sobre el comportamiento estructural directamente a partir de datos experimentales, es decir, sin solicitar necesariamente un modelo (por ejemplo, la identificación del número de modos activos o la presencia de frecuencias naturales dentro de un determinado rango de frecuencias). En el presente documento, la identificación del sistema se refiere al desarrollo (o la mejora) de los modelos estructurales a partir de las mediciones de entrada y salida realizadas en la estructura real mediante dispositivos de detección de vibraciones.
La identificación de sistemas lineales es una disciplina que ha evolucionado considerablemente durante los últimos 30 años (Ljung, 1987 ; Soderstrom y Stoica, 1989 ). La estimación de los parámetros modales -denominada análisis modal- es indudablemente el enfoque más popular para realizar la identificación de sistemas lineales en dinámica estructural. Se sabe que el modelo del sistema está en forma de parámetros modales, a saber, las frecuencias naturales, las formas modales y las relaciones de amortiguamiento. La popularidad del análisis modal se debe a su gran generalidad; los parámetros modales pueden describir el comportamiento de un sistema para cualquier tipo de entrada y cualquier rango de la misma. Se han desarrollado numerosos enfoques con este fin: el método de Ibrahim en el dominio del tiempo (Ibrahim y Mikulcik, 1973 ), el algoritmo de realización del sistema eigénico (Juang y Pappa, 1985 ), el método de identificación del subespacio estocástico (Van Overschee y De Moor, 1996 ), el método de mínimos cuadrados en el dominio de la frecuencia compleja (Peeters et al., 2004 ), por citar algunos de ellos. Una descripción del análisis modal no entra en el ámbito de este documento; el lector interesado puede consultar (Heylen et al., 1997 ; Maia y Silva, 1997 ; Ewins, 2000 ) para más detalles. Sin embargo, es importante señalar que la identificación modal de estructuras muy amortiguadas o de estructuras industriales complejas con alta densidad modal y gran solapamiento modal está ahora al alcance de la mano. La unificación del desarrollo teórico de los algoritmos de identificación modal se intentó en (Allemang y Brown, 1998 ; Allemang y Phillips, 2004 ), lo cual es otra señal de la madurez de este campo de investigación.
El enfoque de este documento general es la identificación de sistemas estructurales en presencia de no linealidad. La no linealidad es genérica en la naturaleza, y el comportamiento lineal es una excepción. En la dinámica estructural, las fuentes típicas de no linealidad son:
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La no linealidad geométrica resulta cuando una estructura sufre grandes desplazamientos y surge de la energía potencial. Un ejemplo es el péndulo simple, cuya ecuación de movimiento es θ¨+ω02sinθ=0; el término no lineal ω02sinθ representa la no linealidad geométrica, ya que modela grandes movimientos angulares. Las grandes deformaciones de los continuos elásticos flexibles, como las vigas, las placas y las conchas, también son responsables de las no linealidades geométricas (véase, por ejemplo, (Amabili y Paidoussis, 2003 ; Nayfeh y Pai, 2004 )). En la Fig. 1 se muestra un ejemplo de banco de pruebas que presenta una no linealidad geométrica. Una viga en voladizo está conectada en su extremo derecho a una viga delgada y corta que presenta una no linealidad geométrica cuando se producen grandes deflexiones.
Fig. 1. Viga en voladizo conectada a una viga delgada y corta (referencia ECL; Acción COST F3): (a) dispositivo experimental; (b) primer plano de la conexión.
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La no linealidad de la inercia se deriva de los términos no lineales que contienen velocidades y/o aceleraciones en las ecuaciones de movimiento, y toma su fuente en la energía cinética del sistema (por ejemplo, los términos de aceleración convectiva en un continuo y las aceleraciones de Coriolis en los movimientos de los cuerpos que se mueven con respecto a los marcos de rotación).
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Se puede observar un comportamiento no lineal del material cuando la ley constitutiva que relaciona las tensiones y las deformaciones es no lineal. Este es a menudo el caso de las espumas (White et al., 2000 ; Schultze et al., 2001 ; Singh et al., 2003 ) y de los sistemas de montaje resilientes como los aislantes de goma (Richards y Singh, 2001 ).
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La disipación del amortiguamiento es esencialmente un fenómeno no lineal y todavía no totalmente modelado y comprendido. La hipótesis del amortiguamiento modal no es necesariamente la representación más adecuada de la realidad física, y su uso generalizado debe atribuirse a su conveniencia matemática. Los efectos de la fricción seca (cuerpos en contacto, que se deslizan entre sí) y la amortiguación histerética son ejemplos de amortiguación no lineal (véase, por ejemplo, Caughey y Vijayaraghavan, 1970; Tomlinson y Hibbert, 1979; Sherif y Abu Omar, 2004; Al-Bender et al., 2004 ). Es importante señalar que el rozamiento en seco afecta a la dinámica especialmente para el movimiento de pequeña amplitud, lo que es contrario a lo que podría esperarse según la sabiduría convencional. Por ejemplo, los aisladores de cable helicoidal representados en la Fig. 2 se caracterizan por un comportamiento de ablandamiento (Juntunen, 2003 ) con la fricción dentro del cable, y el cambio de la geometría del bucle de cable cuando se carga; para este sistema, la frecuencia de resonancia se desplaza hacia abajo a medida que aumenta el nivel de excitación, lo que es una clara indicación de un comportamiento no lineal.
Fig. 2. Aisladores de cable helicoidal (referencia VTT; Acción COST F3): (a) dispositivo experimental; los aisladores están montados entre la masa base de un agitador electrodinámico y una masa de carga; (b) fuerza restauradora medida.
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La no linealidad también puede resultar debido a las condiciones de contorno (por ejemplo, superficies libres en fluidos, vibroimpactos debidos a uniones sueltas o contactos con restricciones rígidas, holguras, cuerpos elásticos imperfectamente unidos), o ciertas fuerzas externas no lineales del cuerpo (por ejemplo, fuerzas magnetoelásticas, electrodinámicas o hidrodinámicas). La no linealidad de la holgura y el vibroimpacto posee una característica de fuerza-deflexión no suave, como se muestra en la Fig. 3, y generalmente requiere un tratamiento especial en comparación con otros tipos de no linealidad (Babitsky y Krupenin, 2001 ).
Fig. 3. Viga de impacto: (a) dispositivo experimental; (b) fuerza restauradora medida.
En la literatura de ingeniería se han reportado muchos ejemplos prácticos de comportamiento dinámico no lineal. En la industria del automóvil, el chirrido de los frenos, que es una vibración autoexcitada del rotor de los frenos relacionada con la variación de la fricción entre las pastillas y el rotor, es un ejemplo irritante, pero que no pone en peligro la vida, de un efecto indeseable de la no linealidad (Rhee et al., 1989 ). Muchos automóviles tienen soportes de motor viscoelásticos que muestran un marcado comportamiento no lineal: dependencia de la amplitud, la frecuencia y la precarga. En un avión, además de la interacción no lineal fluido-estructura, las no linealidades típicas incluyen la holgura y la fricción en las superficies de control y las juntas, las no linealidades de endurecimiento en la conexión motor-pilón y los efectos de saturación en los actuadores hidráulicos. En (Von Karman, 1940 ) se describe un avión comercial en el que las hélices indujeron una vibración subarmónica de orden 1/2 en las alas que produjo una subarmónica de orden 1/4 en el timón. Las oscilaciones fueron tan violentas que los efectos en el avión fueron catastróficos (Nayfeh y Mook, 1979 ). En los sistemas mecatrónicos, las fuentes de no linealidad son la fricción en rodamientos y guías, así como el juego y las holguras en las articulaciones de los robots. En ingeniería civil, muchas estructuras desmontables, como las gradas de los conciertos y eventos deportivos, son propensas a una no linealidad estructural sustancial como resultado de la holgura de las juntas. Esto crea holguras y fricciones y puede invalidar cualquier simulación basada en modelos lineales del comportamiento creado por el movimiento de la multitud. La no linealidad también puede surgir en una estructura dañada: grietas por fatiga, remaches y pernos que se abren y cierran posteriormente bajo cargas dinámicas o partes internas que impactan entre sí.
Con el continuo interés por ampliar la envolvente de rendimiento de las estructuras a velocidades cada vez mayores, existe la necesidad de diseñar elementos estructurales más ligeros, más flexibles y, en consecuencia, más no lineales. De ahí que la demanda de utilizar componentes estructurales no lineales (o incluso fuertemente no lineales) esté cada vez más presente en las aplicaciones de ingeniería. Por lo tanto, resulta bastante paradójico observar que, muy a menudo, el comportamiento lineal se da por sentado en la dinámica estructural. ¿Por qué es así? Hay que reconocer que, con movimientos de amplitudes suficientemente pequeñas, la teoría lineal puede ser precisa para la modelización, aunque no siempre es así (por ejemplo, la fricción en seco). Sin embargo, la razón principal es que la teoría de los sistemas dinámicos no lineales está mucho menos establecida que su homóloga lineal. En efecto, los principios básicos que se aplican a un sistema lineal y que constituyen la base del análisis modal ya no son válidos en presencia de la no linealidad. Además, incluso los sistemas no lineales débiles pueden mostrar fenómenos extremadamente interesantes y complejos que los sistemas lineales no pueden mostrar. Estos fenómenos incluyen saltos, bifurcaciones, saturación, resonancias subarmónicas, superarmónicas e internas, capturas de resonancia, ciclos límite, interacciones modales y caos. Los lectores que busquen una introducción a las oscilaciones no lineales pueden consultar (Nayfeh y Mook, 1979 ; Strogatz, 1994 ; Verhulst, 1999 ; Rand, 2003 ). Los lectores con mayor inclinación matemática pueden consultar (Guckenheimer y Holmes, 1983 ; Wiggins, 1990 ). En la sección 2.1 de este documento se ofrece un breve tutorial que destaca las importantes diferencias entre la dinámica lineal y la no lineal.
Esto no quiere decir que los sistemas no lineales no hayan recibido una atención considerable durante las últimas décadas. Aunque, durante años, una forma de estudiar los sistemas no lineales fue el enfoque de linealización (Caughey, 1963 ; Iwan, 1973 ), se han dedicado muchos esfuerzos a desarrollar teorías para la investigación de sistemas no lineales en dinámica estructural. Se propuso una extensión no lineal del concepto de formas modales en (Rosenberg, 1962 ; Rosenberg, 1966 ) y se investigó más a fondo en (Rand, 1974 ; Shaw y Pierre, 1993 ; Vakakis et al., 1996 ; Vakakis, 1997 ). Los sistemas débilmente no lineales se analizaron a fondo utilizando la teoría de la perturbación (Nayfeh y Mook, 1979 ; Nayfeh, 1981 ; O’Malley, 1991 ; Kevorkian y Cole, 1996 ). Los métodos de perturbación incluyen, por ejemplo, el método de promediación, la técnica de Lindstedt-Poincaré y el método de escalas múltiples, y su objetivo es obtener aproximaciones asintóticamente uniformes de las soluciones. Durante la última década aproximadamente, se ha asistido a una transición de las estructuras débilmente no lineales a las estructuras fuertemente no lineales (por sistemas fuertemente no lineales se entiende un sistema en el que los términos no lineales son del mismo orden que los términos lineales) gracias a la extensión de las técnicas clásicas de perturbación (Chan et al., 1996 ; Chen y Cheung, 1996 ) y el desarrollo de nuevas metodologías (Pilipchuk, 1985 ; Manevitch, 1999 ; Qaisi y Kilani, 2000 ; Babitsky y Krupenin, 2001 ).
Recientemente, unos pocos estudios propusieron aprovechar las no linealidades en lugar de ignorarlas o evitarlas, lo que representa un interesante cambio de paradigma. Por ejemplo, el concepto de resonancia paramétrica se explota para diseñar osciladores microelectromecánicos con capacidad de filtrado en (Rhoads et al., 2005 ). En (Vakakis y Gendelman, 2001 ; Vakakakis et al., 2004a ; Kerschen et al., 2005b ), se demuestra que la no linealidad esencial (es decir, no linealizable) da lugar a fenómenos irreversibles de transferencia de energía no lineal entre subsistemas, denominados bombeo de energía no lineal. En (Nichols et al., 2004 ), se utiliza la interrogación caótica y la reconstrucción del espacio de fase para evaluar la resistencia de una conexión atornillada en una viga compuesta. En (Epureanu y Hashmi, 2005 ), se explota la forma geométrica de los atractores dinámicos para realzar pequeñas variaciones paramétricas en un sistema.
Centrándonos ahora en el desarrollo (o la mejora) de modelos estructurales a partir de mediciones experimentales en presencia de no linealidad, es decir la identificación de sistemas no lineales, uno se ve obligado a admitir que no existe un método de análisis general que pueda aplicarse a todos los sistemas en todos los casos (véase, por ejemplo, las reseñas anteriores (Adams y Allemang, 1998 ; Worden, 2000 )), como es el caso del análisis modal en la dinámica estructural lineal. Además, muchas técnicas que son capaces de tratar sistemas con baja dimensionalidad se colapsan si se enfrentan a sistemas con alta densidad modal. En la sección 2.1 se analizan dos razones de este fracaso, a saber, la inaplicabilidad de varios conceptos de la teoría lineal y la naturaleza altamente «individualista» de los sistemas no lineales. Una tercera razón es que la función S que mapea la entrada x(t) a la salida y(t), y(t)=S, no se conoce de antemano. Por ejemplo, el omnipresente oscilador de Duffing (Duffing, 1918), cuya ecuación de movimiento es my¨(t)+cy˙(t)+ky(t)+k3y3(t)=x(t), representa un ejemplo típico de forma polinómica de no linealidad de la fuerza restauradora, mientras que el amortiguamiento histerético es un ejemplo de forma no polinómica de no linealidad. Esto representa una gran dificultad en comparación con la identificación de sistemas lineales para los que la estructura del funcional está bien definida.
Incluso si existe una diferencia entre la forma en que se hacía la identificación de sistemas no lineales «históricamente» y la forma en que se hace ahora, el proceso de identificación puede considerarse como una progresión a través de tres pasos, a saber, la detección, la caracterización y la estimación de parámetros, como se indica en la Fig. 4. Una vez detectado el comportamiento no lineal, se dice que un sistema no lineal está caracterizado después de determinar la ubicación, el tipo y la forma funcional de todas las no linealidades en el sistema. A continuación, los parámetros del modelo seleccionado se estiman mediante algoritmos de ajuste lineal por mínimos cuadrados o de optimización no lineal, dependiendo del método considerado.
Fig. 4. Proceso de identificación.
La identificación del sistema no lineal es una parte integral del proceso de verificación y validación(V&V). Según (Roache, 1998 ), la verificación se refiere a la resolución de las ecuaciones correctamente, es decir, a la realización de los cálculos de forma matemáticamente correcta, mientras que la validación se refiere a la resolución de las ecuaciones correctas, es decir, a la formulación de un modelo matemático y a la selección de los coeficientes de forma que el fenómeno físico de interés se describa con un nivel adecuado de fidelidad. Como se indica en (Doebling, 2002 ), una definición que capta muchos de los aspectos importantes de la validación de modelos está tomada de la literatura de las ciencias de la simulación:
La comprobación de que un modelo, dentro de su dominio de aplicabilidad, posee un rango satisfactorio de precisión consistente con la aplicación prevista del modelo (Schlesinger et al., 1979 ).
La discusión de la verificación y la validación está más allá del alcance de este documento general; el lector puede consultar (Roache, 1998 ; Link y Friswell, 2003 ; Babuska y Oden, 2004 ; Hemez et al., 2005 ) y sus referencias.
Alcance del documento: La motivación de este documento de estudio es triple. En primer lugar, pretende ofrecer un punto de partida conciso para los investigadores y profesionales que deseen evaluar el estado actual de la técnica en la identificación de modelos estructurales no lineales. En segundo lugar, el documento pretende revisar varios métodos que se han propuesto en la literatura técnica y destacar algunas de las razones que impiden que estas técnicas se apliquen a estructuras complejas. El último objetivo de este trabajo es identificar las necesidades futuras de investigación que ayudarían a «empujar el sobre» en la identificación de sistemas no lineales.
El tema de la dinámica no lineal es extremadamente amplio, y existe una extensa literatura. Este documento está inevitablemente sesgado hacia aquellas áreas con las que los autores están más familiarizados, y esto significa, por supuesto, aquellas áreas en las que los autores y colegas han realizado investigaciones. Por lo tanto, no se trata de una visión general de los enfoques pasados y actuales para la identificación de estructuras dinámicas no lineales; por ejemplo, no se intenta resumir muchos de los desarrollos originados en la teoría de control.
No se describe aquí el diseño de los experimentos (por ejemplo, la selección de las fuentes de excitación, el número y la ubicación de los sensores) que condiciona el éxito del proceso de identificación. Puede encontrarse alguna información en (Leontaritis y Billings, 1987 ; Duym y Schoukens, 1995 ; Worden y Tomlinson, 2001 ). Tampoco se discute la identificación del sistema en presencia de vibraciones caóticas (Moon, 1987 ).