Podemos utilizar las permutaciones y combinaciones para ayudarnos a responder preguntas de probabilidad más complejas
Ejemplo 1
Se selecciona un PIN de 4 dígitos. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya dígitos repetidos?
Hay 10 valores posibles para cada dígito del PIN (a saber: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), por lo que hay 10 × 10 × 10 × 10 = 10
4 = 10000 PINs posibles en total.
Para que no haya dígitos repetidos, los cuatro dígitos tendrían que ser diferentes, lo cual es seleccionar sin reemplazo. Podríamos calcular 10 × 9 × 8 × 7, o notar que esto es lo mismo que la permutación
10P4 = 5040.
La probabilidad de que no haya dígitos repetidos es el número de PINs de 4 dígitos sin dígitos repetidos dividido por el número total de PINs de 4 dígitos. Esta probabilidad es
{displaystyle\frac{{{}_{10}}{P}_{4}}}}{{10}^{4}}}}={frac{5040}}{10000}={0,504}
Ejemplo 2
En la lotería de cierto estado, se colocan 48 bolas numeradas del 1 al 48 en una máquina y se extraen seis de ellas al azar. Si los seis números extraídos coinciden con los números que un jugador había elegido, éste gana 1.000.000 de dólares. En esta lotería, el orden en que se extraen los números no importa. Calcule la probabilidad de que gane el premio de un millón de dólares si compra un único billete de lotería.
Para calcular la probabilidad, tenemos que contar el número total de formas en que se pueden extraer seis números, y el número de formas en que los seis números del billete del jugador podrían coincidir con los seis números extraídos de la máquina. Como no hay ninguna estipulación de que los números estén en un orden determinado, el número de resultados posibles del sorteo de la lotería es
48C6 = 12.271.512. De estos posibles resultados, sólo uno coincidiría con los seis números del boleto del jugador, por lo que la probabilidad de ganar el gran premio es:
{displaystyle\frac{{}_{6}{C}_{6}}}}{{}48}{C}_{6}}}}={frac{1}{12271512}{approx={0.0000000815}
Ejemplo 3
En la lotería estatal del ejemplo anterior, si cinco de los seis números sorteados coinciden con los números que ha elegido un jugador, éste gana un segundo premio de 1.000 dólares. Calcule la probabilidad de que gane el segundo premio si compra un único billete de lotería.
Como en el caso anterior, el número de resultados posibles del sorteo de la lotería es
48C6 = 12.271.512. Para ganar el segundo premio, cinco de los seis números del boleto deben coincidir con cinco de los seis números ganadores; es decir, debemos haber elegido cinco de los seis números ganadores y uno de los 42 números perdedores. El número de formas de elegir 5 de los 6 números ganadores viene dado por 6C5 = 6 y el número de formas de elegir 1 de los 42 números perdedores viene dado por 42C1 = 42. Por tanto, el número de resultados favorables viene dado por la Regla Básica del Recuento: 6C5 × 42C1 = 6 × 42 = 252. Por lo tanto, la probabilidad de ganar el segundo premio es
displaystyle\frac{{Izquierda({}_{6}{C}_{5}{Derecha)}{Izquierda({}_{42}{C}_{1}{Derecha)}{{{48}{C}{6}}}}=\frac{{252}{12271512}{aprox{0.0000205}
Prueba ahora 1
Una pregunta de opción múltiple en un examen de economía contiene 10 preguntas con cinco respuestas posibles cada una. Calcule la probabilidad de adivinar al azar las respuestas y obtener exactamente 9 preguntas correctas.
Ejemplo 4
Calcule la probabilidad de sacar al azar cinco cartas de una baraja y obtener exactamente un As.
En muchos juegos de cartas (como el póquer) el orden en que se sacan las cartas no es importante (ya que el jugador puede reorganizar las cartas en su mano como quiera); en los problemas que siguen, supondremos que este es el caso a menos que se indique lo contrario. Así, utilizaremos las combinaciones para calcular el número posible de manos de 5 cartas,
52C5. Este número irá en el denominador de nuestra fórmula de probabilidad, ya que es el número de resultados posibles.
Para el numerador, necesitamos el número de formas de sacar un As y otras cuatro cartas (ninguna de ellas Ases) de la baraja. Como hay cuatro ases y queremos exactamente uno de ellos, habrá
4C1 formas de seleccionar un as; como hay 48 no ases y queremos 4 de ellos, habrá 48C4 formas de seleccionar los cuatro no ases. Ahora utilizamos la Regla Básica del Recuento para calcular que habrá 4C1 × 48C4 formas de elegir un as y cuatro no ases.
Poniendo todo esto junto, we have
\displaystyle{P}{\left(\text{one Ace}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{1}}\right)}{\left({}_{{48}}{C}_{{4}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{778320}}{{2598960}}\approx{0.299}
Ejemplo 5
Calcular la probabilidad de sacar al azar cinco cartas de una baraja y obtener exactamente dos ases.
La solución es similar a la del ejemplo anterior, excepto que ahora estamos eligiendo 2 Ases de 4 y 3 no Ases de 48; el denominador sigue siendo el mismo:
Es útil observar que estos problemas de cartas son notablemente similares a los problemas de lotería discutidos anteriormente.
Inténtelo ahora 2
Calcule la probabilidad de sacar al azar cinco cartas de una baraja y obtener tres ases y dos reyes.
Problema del cumpleaños
Hagamos una pausa para considerar un famoso problema de la teoría de la probabilidad:
Suponga que tiene una habitación llena de 30 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un cumpleaños compartido?
Adivina la respuesta al problema anterior. ¿Su suposición fue bastante baja, como alrededor del 10%? Esa parece ser la respuesta intuitiva (¿30/365, quizás?). Veamos si debemos hacer caso a nuestra intuición. Sin embargo, empecemos con un problema más sencillo.
Ejemplo 6
Supongamos que hay tres personas en una habitación. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un cumpleaños compartido entre estas tres personas?
Hay muchas maneras de que haya al menos un cumpleaños compartido. Afortunadamente hay una forma más fácil. Nos preguntamos «¿Cuál es la alternativa a que haya al menos un cumpleaños compartido?». En este caso, la alternativa es que no haya
ningún cumpleaños compartido. Es decir, la alternativa a «al menos uno» es no tener ninguno. Es decir, como se trata de un suceso complementario,
P(al menos uno) = 1 – P(ninguno)
Comenzaremos, pues, por calcular la probabilidad de que no haya ningún cumpleaños compartido. Imaginemos que usted es una de estas tres personas. Su cumpleaños puede ser cualquier cosa sin conflicto, así que hay 365 opciones de 365 para su cumpleaños. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda persona no comparta tu cumpleaños? Hay 365 días en el año (ignoremos los años bisiestos) y eliminando tu cumpleaños de la contienda, hay 364 opciones que garantizarán que no compartes el cumpleaños con esta persona, así que la probabilidad de que la segunda persona no comparta tu cumpleaños es de 364/365. Ahora pasamos a la tercera persona. ¿Cuál es la probabilidad de que esta tercera persona no tenga el mismo cumpleaños que tú o la segunda persona? Hay 363 días que no duplican tu cumpleaños ni el de la segunda persona, por lo que la probabilidad de que la tercera persona no comparta cumpleaños con las dos primeras es de 363/365.
Queremos que la segunda persona no comparta cumpleaños contigo
y que la tercera persona no comparta cumpleaños con las dos primeras, así que utilizamos la regla de la multiplicación:
\displaystyle{P}{\left(\text{no shared birthday}\right)}=\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\approx{0.9918}
y luego restamos de 1 para obtener
P(cumpleaños compartido) = 1 – P(cumpleaños no compartido) = 1 – 0,9918 = 0,0082.
Este es un número bastante pequeño, así que tal vez tenga sentido que la respuesta a nuestro problema original sea pequeña. Hagamos nuestro grupo un poco más grande.
Ejemplo 7
Supongamos que hay cinco personas en una habitación. Cuál es la probabilidad de que haya al menos un cumpleaños compartido entre estas cinco personas?
Continuando el patrón del ejemplo anterior, la respuesta debería ser
{displaystyle{P}{left(\text{shared birthday}{right)}={1}-\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\cdot\frac{{362}}{{365}}\cdot\frac{{361}}{{365}}\approx{0.0271}
Nótese que podríamos reescribir esto de forma más compacta como
displaystyle{P}{left(\text{cumpleaños compartido}{right)}={1}-\frac{{{365}{P}{5}}}}{365}^{{5}}approx{0.0271}
que hace un poco más fácil de escribir en una calculadora o un ordenador, y que sugiere una buena fórmula a medida que seguimos ampliando la población de nuestro grupo.
Ejemplo 8
Supongamos que hay 30 personas en una habitación. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un cumpleaños compartido entre estas 30 personas?
Aquí podemos calcular
{displaystyle{P}{left(\text{cumpleaños compartidos}{right)}={1}-{frac{{}_{365}{P}_{30}}}}{365}^{{30}}}approx{0.¡706}
lo que nos da el sorprendente resultado de que cuando estás en una habitación con 30 personas hay un 70% de posibilidades de que haya al menos un cumpleaños compartido!
Si te gusta apostar, y si puedes convencer a 30 personas para que revelen sus cumpleaños, podrías ganar algo de dinero apostando con un amigo a que habrá al menos dos personas con el mismo cumpleaños en la sala siempre que estés en una sala de 30 o más personas. (Por supuesto, tendrías que asegurarte de que tu amigo no ha estudiado probabilidad). No tendría garantizada la victoria, pero debería ganar más de la mitad de las veces.
Este es uno de los muchos resultados de la teoría de la probabilidad que es contraintuitivo; es decir, va en contra de nuestros instintos. Si todavía no te crees las matemáticas, puedes realizar una simulación. Para que no tengas que andar reuniendo grupos de 30 personas, alguien ha tenido la amabilidad de desarrollar un applet de Java para que puedas realizar una simulación por ordenador. Ve a esta página web:
http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html, y una vez que se haya cargado el applet, selecciona 30 cumpleaños y luego sigue haciendo clic en Start y Reset. Si llevas la cuenta del número de veces que se repite un cumpleaños, deberías obtener un cumpleaños repetido aproximadamente 7 de cada 10 veces que ejecutes la simulación.
Pruébalo ahora 3
Supón que hay 10 personas en una habitación. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un cumpleaños compartido entre estas 10 personas?
- {displaystyle{P} {left({9}\ \ text{ respuestas correctas}\ right)}={frac{9\cdot4}{5^{10})}{approx0.0000037 de probabilidad
- {displaystyle{P}{left(\text{tres Ases y dos Kings}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{3}}\right)}{\left({}_{{4}}{C}_{{2}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{24}}{{2598960}}\approx{0.0000092}
- displaystyle{P}{left(\text{shared birthday}{right)}={1}-\frac{{}_{365}{P}_{10}}}}{365}^{{{10}}approx{0.117}
David Lippman, Math in Society, «Probability,» licensed under a CC BY-SA 3.0 license.