La alumna de cuarto grado Alice pregunta: «¿Cuántas diagonales hay en el decágono?»
Gran pregunta, Alice. Pero en lugar de darte una respuesta a esa pregunta, voy a mostrarte cómo puedes averiguarlo por ti misma. Y no sólo eso, te mostraré cómo puedes averiguar la respuesta para cualquier polígono, ¡incluso si tiene 20, o 50, o 2000 lados!
¿Listo? Empecemos con un ejemplo sencillo. Vamos a utilizar un polígono que tiene 8 lados (que se llama octógono), así:
Ahora bien, este polígono, al tener ocho lados, también tiene ocho vértices. Parece un poco abrumador intentar averiguar todas las diagonales, así que vamos a centrarnos en un solo vértice. ¿Cuántas diagonales puedes dibujar en un octógono, que empiecen todas en un vértice?
La respuesta a esta pregunta es cinco. Observa el siguiente diagrama:
En este diagrama he elegido la diagonal de la izquierda justo debajo del vértice superior, y he dibujado diagonales a todos los vértices a los que puedo dibujar una diagonal. ¿Qué diagonales no puedo dibujar? Bueno, no puedo dibujar una diagonal desde un vértice hacia sí mismo, y no puedo dibujar diagonales hacia los dos vértices que están al lado de ese vértice (porque no serían diagonales; ¡serían lados!).
Así que hay tres vértices a los que no puedo dibujar diagonales desde ese vértice. Ocho vértices en total, menos los tres que no puedo dibujar, quedan cinco. Es importante recordar esto: resta 3 del número de vértices, y tienes el número de diagonales que puedes dibujar desde cualquier vértice.
¡Pero eso es sólo un vértice! Podrías dibujar diagonales desde cualquier vértice, ¿verdad? Sí, claro. Y hay ocho vértices en nuestro octógono, así que tomamos el número de diagonales por vértice, y lo multiplicamos por el número de vértices: 5 x 8 = 40.
Podrías estar tentado de pensar que esa es nuestra respuesta, pero no lo es. ¿Por qué no lo es? Porque hemos contado cada diagonal dos veces. Cada diagonal tiene dos vértices, así que la hemos contado desde un extremo y también desde el otro. Así que para obtener el número real de diagonales, tenemos que dividir nuestra respuesta entre 2. 40 / 2 = 20. Hay veinte diagonales en un octógono.
Intentemos ese razonamiento con un polígono que tenga 2000 lados. Ahora, no voy a dibujar un polígono de 2000 para ti; tendremos que resolver el razonamiento sin una imagen.
- Elige un vértice. ¿Cuántas diagonales puedes trazar a partir de ese vértice? Respuesta: 2000 – 3 = 1997.
- ¿Cuántos vértices en total? Respuesta: 2000
- ¿Cuántas diagonales se cuentan desde todos los vértices? Respuesta: 1997 x 2000 = 3.994.000
- ¡Oops! ¡Hemos contado dos veces cada diagonal! Cómo nos deshacemos de los duplicados? Respuesta: 3994000 / 2 = 1.997.000
¡Así que un polígono de 2000 tiene 1.997.000 diagonales!
Después de hacer algo tan loco como un polígono de 2000, un decágono no debería parecer tan difícil, ¿verdad? Yo te pongo en marcha, y tú puedes terminarlo desde aquí. Elegí un vértice y dibujá diagonales desde ese vértice.
¿Cuántas hay? ¿Fuiste capaz de averiguar cuántas había sin mirar la imagen?
¿Puedes averiguarlo desde aquí? Espero que sí. Buena suerte, Alice.
Por cierto, hay una fórmula que puedes usar; es así: D = n(n – 3)/2. Pero sinceramente, no espero que mis alumnos la memoricen. Espero que recuerden cómo lo razonamos aquí. Si entienden la lógica, es incluso mejor que tener una fórmula!