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Sección 4-1 : La definición
Siempre da un poco de miedo cuando dedicamos una sección entera sólo a la definición de algo. Las transformadas de Laplace (o simplemente las transformadas) pueden parecer aterradoras cuando empezamos a verlas. Sin embargo, como veremos, no son tan malas como pueden parecer al principio.
Antes de empezar con la definición de la transformada de Laplace necesitamos sacar otra definición del camino.
Una función se llama continua a trozos en un intervalo si el intervalo se puede dividir en un número finito de subintervalos en los que la función es continua en cada subintervalo abierto (es decir, el subintervalo sin sus puntos finales) y tiene un límite finito en los puntos finales de cada subintervalo. A continuación se muestra un esquema de una función continua a trozos.
En otras palabras, una función continua a trozos es una función que tiene un número finito de interrupciones en ella y no explota hasta el infinito en ninguna parte.
Ahora, veamos la definición de la transformada de Laplace.
Definición
Supongamos que \(f(t)\Nes una función continua a trozos. La transformada de Laplace de \(f(t)\Nse denota \N(\mathcal{L}\left{{f\left( t \right)} \right}\) y se define como
\
Hay una notación alternativa para las transformadas de Laplace. Por conveniencia, a menudo denotaremos las transformadas de Laplace como,
\\Ncon esta notación alternativa, observe que la transformada es realmente una función de una nueva variable, \N(s\), y que todas las \N(t\) se eliminarán en el proceso de integración.
Ahora, la integral en la definición de la transformada se llama una integral impropia y probablemente sería mejor recordar cómo funcionan estos tipos de integrales antes de saltar a calcular algunas transformadas.
Ahora que recordamos cómo hacerlas, vamos a calcular algunas transformadas de Laplace. Empezaremos con la transformada de Laplace más sencilla de calcular.
En realidad no hay mucho que hacer aquí más que enchufar la función \(f(t) = 1\) en \(\eqref{eq:eq1}\)
Ahora, en este punto note que esto no es más que la integral en el ejemplo anterior con \(c = – s\). Por lo tanto, todo lo que necesitamos hacer es reutilizar \(\eqref{eq:eq2}\ con la sustitución adecuada. Haciendo esto da,
\
O, con alguna simplificación tenemos,
\
Nota que tuvimos que poner una restricción en \(s\) para poder calcular realmente la transformada. Todas las transformadas de Laplace tendrán restricciones en \(s\). A estas alturas del juego, esta restricción es algo que tendemos a ignorar, pero realmente no deberíamos olvidar nunca que está ahí.
Hagamos otro ejemplo.
Coloquemos la función en la definición de la transformada y hagamos una pequeña simplificación.
Una vez más, fíjate en que podemos utilizar \N(\eqref{eq:eq2}\Nsiempre que \Nc = a – s\N). Por lo tanto, vamos a hacer esto.
Hagamos un ejemplo más que no se reduce a una aplicación de \(\eqref{eq:eq2}\).
Como muestra este ejemplo, el cálculo de las transformadas de Laplace es a menudo desordenado.
Antes de pasar a la siguiente sección, tenemos que hacer una pequeña nota lateral. En ocasiones verás lo siguiente como la definición de la transformada de Laplace.
Nota el cambio en el límite inferior de cero a infinito negativo. En estos casos casi siempre se supone que la función \(f(t)\Nestá de hecho definida de la siguiente manera,
\NSe supone que la función es cero si t<0. En este caso la primera mitad de la integral caerá ya que la función es cero y volveremos a la definición dada en . Para que la función sea cero para t<0 se suele utilizar una función de Heaviside, que veremos en un apartado posterior.