El patrón de máximos electrones posibles = $2n^2$ es correcto.
También hay que tener en cuenta que la respuesta de Brian es buena y adopta un enfoque diferente.
¿Has aprendido ya los números cuánticos?
Si no…
Cada cáscara (o nivel de energía) tiene un cierto número de subcáscaras, que describen los tipos de orbitales atómicos disponibles para los electrones en esa subcáscara. Por ejemplo, la subcáscara $s$ de cualquier nivel de energía está formada por orbitales esféricos. La subcapa $p$ tiene orbitales en forma de campana. A partir de ahí, las formas de los orbitales empiezan a ser extrañas. Cada subcapa contiene un número determinado de orbitales, y cada orbital puede contener dos electrones. Los tipos de subesferas disponibles para una cáscara y el número de orbitales en cada subesfera se definen matemáticamente mediante números cuánticos. Los números cuánticos son parámetros de la ecuación de onda que describe cada electrón. El Principio de Exclusión de Pauli establece que no hay dos electrones en el mismo átomo que puedan tener exactamente el mismo conjunto de números cuánticos. Más adelante se puede encontrar una explicación más detallada sobre los números cuánticos. Sin embargo, el resultado es el siguiente:
Las subcubiertas son las siguientes:
- La subcapa $s$ tiene un orbital para un total de 2 electrones
- La subcapa $p$ tiene tres orbitales para un total de 6 electrones
- La subcapa $d$ tiene cinco orbitales para un total de 10 electrones
- La subcapa $f$ tiene siete orbitales para un total de 14 electrones
- La subcapa $g$ tiene nueve orbitales para un total de 18 electrones
- La subcapa $h$ tiene once orbitales para un total de 22 electrones
etc.
Cada nivel de energía (cáscara) tiene más subcáscaras disponibles:
- La primera cáscara sólo tiene la subcáscara $s$ $\\Nimplica$ 2 electrones
- La segunda cáscara tiene las subcáscaras $s$ y $p$ $\Nimplica$ 2 + 6 = 8 electrones
- La tercera cáscara tiene la $s$, $p$, y $d$ subcáscaras $\\Nimplica$ 2 + 6 + 10 = 18 electrones
- La cuarta cáscara tiene las subcáscaras $s$, $p$, $d$, y $f$ subcáscaras $\\Nimplica$ 2 + 6 + 10 + 14 = 32 electrones
- La quinta cáscara tiene las subcáscaras $s$, $p$, $d$, $f$, y $g$ $\Nimplica$ 2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 50 electrones
- La sexta cáscara tiene los $s$, $p$, $d$, $f$, $g$, y $h$ subcáscaras $\Nimplica$ 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22 = 72 electrones
El patrón es así: $2, 8, 18, 32, 50, 72, …$ o $2n^2$
En la práctica, ningún átomo conocido tiene electrones en las subcubiertas $g$ o $h$, pero el modelo mecánico cuántico predice su existencia.
Usar los números cuánticos para explicar por qué las cáscaras tienen las subcáscaras que tienen y por qué las subcáscaras tienen el número de orbitales que tienen.
Los electrones en los átomos están definidos por 4 números cuánticos. El principio de exclusión de Pauli significa que no hay dos electrones que puedan compartir los mismos números cuánticos.
Los números cuánticos:
- $n$, el número cuántico principal define la cáscara. Los valores de $n$ son enteros: $n=1,2,3,…$
- $\ell$, el número cuántico del momento angular orbital define la subcáscara. Este número cuántico define la forma de los orbitales (densidades de probabilidad) en los que residen los electrones. Los valores de $\ell$ son enteros que dependen del valor de $n$: $\ell = 0,1,2,…,n-1$
- $m_{\ell}$, el número cuántico magnético define la orientación del orbital en el espacio. Este número cuántico también determina el número de orbitales por subshell. Los valores de $m_\ell$ son enteros y dependen del valor de $\ell$: $m_\ell = -\ell,…,-1,0,1,…,+\ell$
- $m_s$, el número cuántico de momento angular de espín define el estado de espín de cada electrón. Como sólo hay dos valores de espín permitidos, sólo puede haber dos electrones por orbital. Los valores de $m_s$ son $m_s=\pm \frac{1}{2}$
Para la primera capa, $n=1$, por lo que sólo se permite un valor de $\ell$: $\ell=0$, que es la subcáscara $s$. Para $\ell=0$ sólo se permite $m_\ell=0$. Por lo tanto, el subesqueleto $s$ tiene sólo 1 orbital. La primera cáscara tiene 1 subcáscara, que tiene 1 orbital con 2 electrones en total.
Para la segunda cáscara, $n=2$, por lo que los valores permitidos de $\ell$ son: $\ell=0$, que es la subcapa $s$, y $\ell=1$, que es la subcapa $p$. Para $\ell=1$, $m_\ell$ tiene tres valores posibles: $m_\ell=-1,0,+1$. Por lo tanto, la subcáscara $p$ tiene tres orbitales. La segunda cáscara tiene 2 subcáscaras: la subcáscara $s$, que tiene 1 orbital con 2 electrones, y la subcáscara $p$, que tiene 3 orbitales con 6 electrones, para un total de 4 orbitales y 8 electrones.
Para la tercera cáscara, $n=3$, por lo que los valores permitidos de $\ell$ son: $\ell=0$, que es la subcapa $s$, $\ell=1$, que es la subcapa $p$, y $\ell=2$, que es la subcapa $d$. Para $\ell=2$, $m_\ell$ tiene cinco valores posibles: $m_\ell=-2,-1,0,+1,+2$. Por lo tanto, la subcáscara $d$ tiene cinco orbitales. La tercera cáscara tiene 3 subcáscaras: la subcáscara $s$, que tiene 1 orbital con 2 electrones, la subcáscara $p$, que tiene 3 orbitales con 6 electrones, y la subcáscara $d$, que tiene 5 orbitales con 10 electrones, para un total de 9 orbitales y 18 electrones.
Para la cuarta cáscara, $n=4$, por lo que los valores permitidos de $\ell$ son: $\ell=0$, que es la subcapa $s$, $\ell=1$, que es la subcapa $p$, $\ell=2$, que es la subcapa $d$, y $\ell=3$, que es la subcapa $f$. Para $\ell=3$, $m_\ell$ tiene siete valores posibles: $m_\ell=-3,-2,-1,0,+1,+2,-3$. Así, la subcáscara $f$ tiene siete orbitales. La cuarta cáscara tiene 4 subcáscaras: la subcáscara $s$, que tiene 1 orbital con 2 electrones, la subcáscara $p$, que tiene 3 orbitales con 6 electrones, la subcáscara $d$, que tiene 5 orbitales con 10 electrones, y la subcáscara $f$, que tiene 7 orbitales con 14 electrones, para un total de 16 orbitales y 32 electrones.