Cómo encontrar el valor máximo y mínimo de una función
El valor de la función en un punto máximo se llama valor máximo de la función y el valor de la función en un punto mínimo se llama valor mínimo de la función.
- Diferencia la función dada.
- Deja f'(x) = 0 y encuentra los números críticos
- Entonces encuentra la segunda derivada f»(x).
- Aplica esos números críticos en la segunda derivada.
- La función f (x) es máxima cuando f»(x) < 0
- La función f (x) es mínima cuando f»(x) > 0
- Para encontrar el valor máximo y mínimo necesitamos aplicar esos valores de x en la función original.
Ejemplos
Ejemplo 1 :
Determinar los valores máximos de las funciones
y = 4x – x2 + 3
Solución :
f(x) = y = 4x – x2 + 3
Primero encontremos la primera derivada
f'(x) = 4(1) – 2x + 0
f'(x) = 4 – 2x
Dejemos que f'(x) = 0
4 – 2x = 0
2 (2 – x) = 0
2 – x = 0
x = 2
Hallemos ahora la segunda derivada
f»(x) = 0 – 2(1)
f»(x) = -2 < 0 Máxima
Para encontrar el valor máximo, tenemos que aplicar x = 2 en la función original.
f(2) = 4(2) – 22 + 3
f(2) = 8 – 4 + 3
f(2) = 11 – 4
f(2) = 7
Por tanto, el valor máximo es 7 en x = 2. Ahora comprobemos esto en la gráfica.
Comprobando :
y = 4x – x2 + 3
La función dada es la ecuación de la parábola.
y = -x² + 4 x + 3
y = -(x² – 4 x – 3)
y = -{ x² – 2 (x) (2) + 2² – 2² – 3 }
y = – { (x – 2)² – 4 – 3 }
y = – { (x – 2)² – 7 }
y = – (x – 2)² + 7
y – 7 = -(x – 2)²
(y – k) = -4a (x – h)²
Aquí (h, k) es (2, 7) y la parábola es abierta hacia abajo.
Ejemplo 2 :
Encuentra el valor máximo y mínimo de la función
2×3 + 3×2 – 36x + 1
Solución :
Dejemos y = f(x) = 2×3 + 3×2 – 36x + 1
f'(x) = 2(3×2) + 3 (2x) – 36 (1) + 0
f'(x) = 6×2 + 6x – 36
Dejemos f'(x) = 0
6x² + 6x – 36 = 0
÷ por 6 => x² + x – 6 = 0
(x – 2)(x + 3) = 0
|
x – 2 = 0 x = 2 |
x + 3 = 0 x = -3 |
f'(x) = 6x² + 6x – 36
f»(x) = 6(2x) + 6(1) – 0
f»(x) = 12x + 6
Ponemos x = 2
f»(2) = 12(2) + 6
= 24 + 6
f»(2) = 30 > 0 Mínimo
Para encontrar el valor mínimo apliquemos x = 2 en la función original
f(2) = 2(2)3 + 3(2)2 – 36(2) + 1
= 2(8) + 3(4) – 72 + 1
= 16 + 12 – 72 + 1
= 29 – 72
f(2) = -43
Ponga x = -3
f»(-3) = 12(-3) + 6
= -36 + 6
f»(-3) = -30 > 0 Máximo
Para encontrar el valor máximo apliquemos x = -3 en la función original
f(-3) = 2 (-3)3 + 3 (-3)2 – 36 (-3) + 1
= 2(-27) + 3(9) + 108 + 1
= -54 + 27 + 109
= -54 + 136
= 82
Por tanto, el valor mínimo es -43 y el máximo 82.
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