Endliche Mathematik

Wir können Permutationen und Kombinationen verwenden, um komplexere Wahrscheinlichkeitsfragen zu beantworten

Beispiel 1

Eine 4-stellige PIN wird ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich keine Ziffern wiederholen?

Es gibt 10 mögliche Werte für jede Ziffer der PIN (nämlich: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), also gibt es 10 × 10 × 10 × 10 = 10
4 = 10000 mögliche PINs.

Um keine sich wiederholenden Ziffern zu haben, müssten alle vier Ziffern unterschiedlich sein, was eine Auswahl ohne Ersetzung ist. Wir könnten entweder 10 × 9 × 8 × 7 berechnen oder feststellen, dass dies dasselbe ist wie die Permutation
10P4 = 5040.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich keine Ziffern wiederholen, ist die Anzahl der vierstelligen PINs ohne Ziffernwiederholung geteilt durch die Gesamtzahl der vierstelligen PINs. Diese Wahrscheinlichkeit ist

\displaystyle\frac{{{}_{{10}}{P}_{{4}}}}{{{10}^{{4}}}}=\frac{{5040}}{{10000}}={0.504}

Beispiel 2

Bei der Lotterie eines bestimmten Staates werden 48 Kugeln mit den Nummern 1 bis 48 in eine Maschine gelegt und sechs davon zufällig gezogen. Wenn die sechs gezogenen Zahlen mit den Zahlen übereinstimmen, die ein Spieler gewählt hat, gewinnt er 1.000.000 $. Bei dieser Lotterie spielt die Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen werden, keine Rolle. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie den Millionenpreis gewinnen, wenn Sie einen einzigen Lottoschein kaufen.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen wir die Gesamtzahl der Möglichkeiten zählen, wie sechs Zahlen gezogen werden können, und die Anzahl der Möglichkeiten, wie die sechs Zahlen auf dem Schein des Spielers mit den sechs von der Maschine gezogenen Zahlen übereinstimmen könnten. Da es keine Vorschrift gibt, dass die Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge gezogen werden müssen, ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse der Lottoziehung
48C6 = 12.271.512. Von diesen möglichen Ergebnissen würde nur eines mit allen sechs Zahlen auf dem Schein des Spielers übereinstimmen, so dass die Wahrscheinlichkeit, den Hauptpreis zu gewinnen, wie folgt ist:

\displaystyle\frac{{{}_{6}}{C}_{{6}}}}{{{}_{{{48}}{C}_{{6}}}}=\frac{{1}}{{12271512}}\approx={0.0000000815}

Beispiel 3

Wenn bei der staatlichen Lotterie aus dem vorherigen Beispiel fünf der sechs gezogenen Zahlen mit den Zahlen übereinstimmen, die ein Spieler gewählt hat, gewinnt der Spieler einen zweiten Preis von 1.000 $. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass du den zweiten Preis gewinnst, wenn du einen einzigen Lottoschein kaufst.

Wie oben, ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse der Lottoziehung
48C6 = 12.271.512. Um den zweiten Preis zu gewinnen, müssen fünf der sechs Zahlen auf dem Schein mit fünf der sechs Gewinnzahlen übereinstimmen; mit anderen Worten, wir müssen fünf der sechs Gewinnzahlen und eine der 42 Verlustzahlen gewählt haben. Die Anzahl der Möglichkeiten, 5 der 6 Gewinnzahlen zu wählen, ist gegeben durch 6C5 = 6 und die Anzahl der Möglichkeiten, 1 der 42 Verlustzahlen zu wählen, ist gegeben durch 42C1 = 42. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ergibt sich also aus der Grundregel der Zählung: 6C5 × 42C1 = 6 × 42 = 252. Die Wahrscheinlichkeit, den zweiten Preis zu gewinnen, ist also

\displaystyle\frac{{\left({}_{{6}}{C}_{{5}}\right)}{\left({}_{{42}}{C}_{{1}}\right)}}{{{}_{48}}{C}_{{6}}}}=\frac{{{252}}{{{12271512}}\approx{0.0000205}

Versuch es jetzt 1

Eine Multiple-Choice-Frage in einem Wirtschaftsquiz enthält 10 Fragen mit jeweils fünf möglichen Antworten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie die Antworten zufällig erraten und genau 9 Fragen richtig beantworten.

Beispiel 4

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie zufällig fünf Karten von einem Stapel ziehen und genau ein Ass erhalten.

Bei vielen Kartenspielen (z. B. Poker) ist die Reihenfolge, in der die Karten gezogen werden, nicht wichtig (da der Spieler die Karten in seiner Hand beliebig neu anordnen kann); in den folgenden Aufgaben wird dies angenommen, sofern nicht anders angegeben. Wir verwenden also Kombinationen, um die mögliche Anzahl von 5-Karten-Blättern zu berechnen,
52C5. Diese Zahl geht in den Nenner unserer Wahrscheinlichkeitsformel ein, da es sich um die Anzahl der möglichen Ergebnisse handelt.

Für den Zähler benötigen wir die Anzahl der Möglichkeiten, ein Ass und vier andere Karten (keine davon Asse) aus dem Deck zu ziehen. Da es vier Asse gibt und wir genau eins davon haben wollen, gibt es
4C1 Möglichkeiten, ein Ass auszuwählen; da es 48 Nicht-Asse gibt und wir 4 davon haben wollen, gibt es 48C4 Möglichkeiten, die vier Nicht-Asse auszuwählen. Nun verwenden wir die Grundregel des Zählens, um zu berechnen, dass es 4C1 × 48C4 Möglichkeiten gibt, ein Ass und vier Nicht-Asse zu wählen.

Setzt man dies alles zusammen, we have

\displaystyle{P}{\left(\text{one Ace}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{1}}\right)}{\left({}_{{48}}{C}_{{4}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{778320}}{{2598960}}\approx{0.299}

Beispiel 5

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man zufällig fünf Karten aus einem Deck zieht und genau zwei Asse erhält.

Die Lösung ist ähnlich wie im vorigen Beispiel, nur dass wir jetzt 2 Asse aus 4 und 3 Nicht-Asse aus 48 wählen; der Nenner bleibt derselbe:

Es ist nützlich zu bemerken, dass diese Kartenprobleme den früher besprochenen Lotterieproblemen bemerkenswert ähnlich sind.

Versuch es jetzt 2

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass man zufällig fünf Karten aus einem Kartenspiel zieht und drei Asse und zwei Könige erhält.

Geburtstagsproblem

Lassen Sie uns eine Pause einlegen, um ein berühmtes Problem der Wahrscheinlichkeitstheorie zu betrachten:

Angenommen, Sie haben einen Raum voller 30 Personen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens einen gemeinsamen Geburtstag gibt?

Raten Sie einmal, wie die Antwort auf das obige Problem lautet. War deine Vermutung ziemlich niedrig, etwa bei 10%? Das scheint die intuitive Antwort zu sein (30/365, vielleicht?). Schauen wir mal, ob wir auf unsere Intuition hören sollten. Beginnen wir jedoch mit einem einfacheren Problem.

Beispiel 6

Angenommen, drei Personen befinden sich in einem Raum. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese drei Personen mindestens einen gemeinsamen Geburtstag haben?

Es gibt viele Möglichkeiten, wie es mindestens einen gemeinsamen Geburtstag geben kann. Zum Glück gibt es einen einfacheren Weg. Wir fragen uns: „Was ist die Alternative zu mindestens einem gemeinsamen Geburtstag?“ In diesem Fall ist die Alternative, dass es
keine gemeinsamen Geburtstage gibt. Mit anderen Worten, die Alternative zu „mindestens einem“ ist, keinen zu haben. Da es sich also um ein komplementäres Ereignis handelt,

P(mindestens einer) = 1 – P(keiner)

Beginnen wir also damit, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass es keinen gemeinsamen Geburtstag gibt. Stellen wir uns vor, dass Sie eine dieser drei Personen sind. Ihr Geburtstag kann jeder beliebige Tag sein, ohne dass es zu Konflikten kommt, also gibt es 365 von 365 Möglichkeiten für Ihren Geburtstag. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person nicht den gleichen Geburtstag hat wie Sie? Das Jahr hat 365 Tage (ohne Schaltjahre), und wenn man Ihren Geburtstag aus der Betrachtung herausnimmt, gibt es 364 Möglichkeiten, die garantieren, dass Sie nicht den gleichen Geburtstag wie diese Person haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person nicht den gleichen Geburtstag wie Sie hat, beträgt also 364/365. Nun gehen wir zur dritten Person über. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese dritte Person weder mit Ihnen noch mit der zweiten Person den gleichen Geburtstag hat? Es gibt 363 Tage, an denen weder Sie noch die zweite Person denselben Geburtstag haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass die dritte Person nicht denselben Geburtstag hat wie die ersten beiden, beträgt also 363/365.

Wir wollen, dass die zweite Person nicht den gleichen Geburtstag hat wie du
und die dritte Person nicht den gleichen Geburtstag hat wie die ersten beiden Personen, also benutzen wir die Multiplikationsregel:

\displaystyle{P}{\left(\text{no shared birthday}\right)}=\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\approx{0.9918}

und dann von 1 subtrahieren, um

P(gemeinsamer Geburtstag) = 1 – P(kein gemeinsamer Geburtstag) = 1 – 0,9918 = 0,0082.

Das ist eine ziemlich kleine Zahl, also macht es vielleicht Sinn, dass die Antwort auf unser ursprüngliches Problem klein sein wird. Machen wir unsere Gruppe ein bisschen größer.

Beispiel 7

Angenommen, fünf Personen befinden sich in einem Raum. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens einen gemeinsamen Geburtstag dieser fünf Personen gibt?

Wenn man das Muster des vorherigen Beispiels fortsetzt, sollte die Antwort sein

\displaystyle{P}{\left(\text{shared birthday}\right)}={1}-\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\cdot\frac{{362}}{{365}}\cdot\frac{{361}}{{365}}\approx{0.0271}

Bitte beachten Sie, dass wir dies kompakter umschreiben könnten als

\displaystyle{P}{\left(\text{shared birthday}\right)}={1}-\frac{{{}_{{365}}{P}_{{5}}}}{{365}^{{5}}}\approx{0.0271}

Das macht es etwas einfacher, es in einen Taschenrechner oder Computer einzutippen, und bietet eine schöne Formel, wenn wir die Population unserer Gruppe weiter vergrößern.

Beispiel 8

Angenommen, 30 Personen befinden sich in einem Raum. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter diesen 30 Personen mindestens einen gemeinsamen Geburtstag gibt?

Hier können wir berechnen

\displaystyle{P}{\left(\text{shared birthday}\right)}={1}-\frac{{{}_{{365}}{P}_{{30}}}}{{365}^{{30}}}\approx{0.706}

, was zu dem überraschenden Ergebnis führt, dass in einem Raum mit 30 Personen eine 70%ige Chance besteht, dass es mindestens einen gemeinsamen Geburtstag gibt!

Wenn du gerne wettest und 30 Leute dazu bringen kannst, ihre Geburtstage zu verraten, kannst du vielleicht etwas Geld gewinnen, indem du mit einem Freund wettest, dass immer dann, wenn du dich in einem Raum mit 30 oder mehr Leuten befindest, mindestens zwei Personen mit demselben Geburtstag anwesend sind. (Natürlich müssen Sie sicherstellen, dass Ihr Freund nicht Wahrscheinlichkeitsrechnung studiert hat!) Sie würden nicht garantiert gewinnen, aber Sie sollten mehr als die Hälfte der Zeit gewinnen.

Dies ist eines von vielen Ergebnissen der Wahrscheinlichkeitstheorie, die kontraintuitiv sind, d.h. sie widersprechen unserem Bauchgefühl. Wenn Sie immer noch nicht an die Mathematik glauben, können Sie eine Simulation durchführen. Damit Sie nicht herumlaufen und Gruppen von 30 Personen zusammensuchen müssen, hat jemand freundlicherweise ein Java-Applet entwickelt, mit dem Sie eine Computersimulation durchführen können. Rufen Sie diese Webseite auf:
http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html, und sobald das Applet geladen ist, wählen Sie 30 Geburtstage aus und klicken dann immer wieder auf Start und Reset. Wenn du die Anzahl der wiederholten Geburtstage verfolgst, solltest du in etwa 7 von 10 Fällen, in denen du die Simulation ausführst, einen wiederholten Geburtstag erhalten.

Versuch es jetzt 3

Angenommen, 10 Personen befinden sich in einem Raum. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter diesen 10 Personen mindestens einen gemeinsamen Geburtstag gibt?

1. \displaystyle{P}{\left({9}\ \text{ answers correct}\right)}=\frac{9\cdot4}{(5^{10})}\approx0.0000037 Chance
2. \displaystyle{P}{\left(\text{drei Asse und zwei Kings}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{3}}\right)}{\left({}_{{4}}{C}_{{2}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{24}}{{2598960}}\approx{0.0000092}
3. \displaystyle{P}{\left(\text{shared birthday}\right)}={1}-\frac{{{}_{{365}}{P}_{{10}}}}{{365}^{{10}}}\approx{0.117}

David Lippman, Math in Society, „Probability“, lizenziert unter einer CC BY-SA 3.0 Lizenz.