Im Venedig des 16. Jahrhunderts waren Formeln zur Lösung von Gleichungen streng gehütetes geistiges Eigentum. Von besonderem Interesse für den Ballistik- und Festungsexperten Niccolo Tartaglia waren quadratische und kubische Gleichungen, die unter anderem das Verhalten von Geschossen im Flug modellieren. Vielleicht kennen Sie diese Gleichungen noch aus der Schulmathematik – quadratische Gleichungen haben einen x2-Term und kubische einen x3-Term. Tartaglia und andere Mathematiker stellten fest, dass einige Lösungen die Quadratwurzeln negativer Zahlen erforderten, und hier liegt ein Problem. Negative Zahlen haben keine Quadratwurzeln – es gibt keine Zahl, die, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, eine negative Zahl ergibt. Das liegt daran, dass negative Zahlen, wenn sie miteinander multipliziert werden, ein positives Ergebnis ergeben: -2 × -2 = 4 (nicht -4).
Tartaglia und sein Rivale, Gerolamo Cardano, stellten fest, dass sie, wenn sie negative Quadratwurzeln in ihren Berechnungen zuließen, immer noch gültige numerische Antworten geben konnten (Reelle Zahlen, wie Mathematiker sie nennen). Tartaglia lernte dies auf die harte Tour, als er 1530 in einem einmonatigen Gleichungslösungsduell von einem von Cardanos Schülern geschlagen wurde.
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Mathematiker verwenden i, um die Quadratwurzel von minus eins darzustellen. Dies wird die imaginäre Einheit genannt – sie ist keine reale Zahl, sie existiert nicht im „echten“ Leben. Wir können sie aber verwenden, um die Quadratwurzeln negativer Zahlen zu finden. Wenn ich die Quadratwurzel von -4 berechnen möchte, kann ich sagen, dass -4 = 4 × -1 ist. Das bedeutet, dass die Quadratwurzel von -4 die Quadratwurzel von 4 multipliziert mit der Quadratwurzel von -1 ist. In Symbolen:
√-4= √4×√-1
Die Quadratwurzel von 4 ist 2, und die Quadratwurzel von -1 ist i, was uns die Antwort gibt, dass die Quadratwurzel von -4 2i ist. Wir sollten auch beachten, dass -2 aus den oben genannten Gründen auch eine Quadratwurzel aus 4 ist. Das bedeutet, dass die Quadratwurzeln von -4 2i und -2i sind.
Die Arithmetik von i selbst stellte ursprünglich ein Hindernis für Mathematiker dar. Ich habe oben gesagt, dass ein Negativ mal ein Negativ ein Positiv ergibt, und wir sind von Haus aus mit der Vorstellung vertraut, dass ein Positiv mal ein Positiv ein Positiv ergibt. Mit der imaginären Einheit scheint dies nicht mehr zu funktionieren, da zwei Positive multipliziert ein Negativ ergeben:
i × i = i2 = -1
Gleichermaßen multiplizieren sich hier zwei Negative, um ein Negativ zu ergeben:
-i × -i = i2 = -1
Dies war eine Zeit lang ein Problem und führte dazu, dass einige Leute das Gefühl hatten, dass ihre Verwendung in der formalen Mathematik nicht rigoros war. Rafael Bombelli, ein weiterer Mann der italienischen Renaissance, schrieb 1572 ein Buch mit dem schlichten Titel Algebra, in dem er versuchte, Mathematik für Menschen ohne Hochschulabschluss zu erklären, was ihn zu einem frühen Pionier der Bildung machte. In der Algebra erklärt er, wie man mit positiven, negativen und imaginären Zahlen rechnet, und legt dar, dass die imaginäre Einheit (das i wurde erst im 18. Jahrhundert als Symbol verwendet) weder positiv noch negativ ist und daher nicht den üblichen Regeln der Arithmetik gehorcht.
Die Arbeit dieser Mathematiker über imaginäre Zahlen ermöglichte die Entwicklung dessen, was heute als Fundamentalsatz der Algebra bezeichnet wird. Grundsätzlich gilt, dass die Anzahl der Lösungen einer Gleichung immer gleich der höchsten Potenz der Unbekannten in der Gleichung ist. Als ich zum Beispiel die Quadratwurzeln von -4 berechnet habe, habe ich die Gleichung x2= -4 gelöst. Die höchste (und einzige) Potenz der Unbekannten x in der Gleichung ist zwei, und siehe da, wir haben zwei Lösungen gefunden, 2i und -2i.
Bei einer kubischen Gleichung, bei der die höchste Potenz drei ist, sollte ich drei Lösungen erhalten. Betrachten wir x3 + 4x = 0, die gleiche Form der kubischen Gleichung, mit der sich Tartaglia befasst hat. x = 0 ist eine Lösung, da 03 – 4 × 0 = 0 – 0 = 0 die Gleichung erfüllt. Aber was ist mit den beiden anderen Lösungen, die wir von einer kubischen Gleichung erwarten?
Nun, es gibt keine reellen Lösungen der Gleichung mehr, aber es gibt imaginäre. Tatsächlich sind 2i und -2i auch Lösungen dieser Gleichung, so dass wir insgesamt drei Lösungen haben.
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Erst ein paar hundert Jahre nach Bombelli wurde der fundamentale Satz der Algebra 1806 von dem Pariser Buchhändler Jean-Robert Argand eindeutig bewiesen. Argand war auch ein Pionier, der die imaginären Zahlen über das Konzept der komplexen Zahlen mit der Geometrie in Verbindung brachte.
Komplexe Zahlen sind Zahlen mit einem Realteil und einem Imaginärteil. Zum Beispiel ist 4 + 2i eine komplexe Zahl mit einem Realteil gleich 4 und einem Imaginärteil gleich 2i. Es stellt sich heraus, dass sowohl reelle Zahlen als auch imaginäre Zahlen auch komplexe Zahlen sind. Zum Beispiel ist 17 eine komplexe Zahl mit einem Realteil gleich 17 und einem Imaginärteil gleich Null, und i ist eine komplexe Zahl mit einem Realteil von Null.
Ein anderer Franzose, Abraham de Moivre, war einer der ersten, der mit seinem Theorem von 1707, das komplexe Zahlen und Trigonometrie miteinander verband, komplexe Zahlen mit Geometrie in Verbindung brachte. Argand entwickelte daraufhin Argand-Diagramme, die wie ein normales Diagramm mit einer x- und y-Achse aussehen, nur dass seine Achsen die reellen und die imaginären Zahlen sind. Diese Durchbrüche ermöglichten es, komplexe algebraische Probleme mit Hilfe der Geometrie zu lösen.
Wie so viele Entwicklungen in der Mathematik war dies alles bis zum modernen elektronischen Zeitalter von rein akademischem Interesse. Komplexe Zahlen erweisen sich als unglaublich nützlich bei der Analyse von allem, was in Wellenform daherkommt, wie z.B. die elektromagnetische Strahlung, die wir in Radios und Wifi verwenden, Audiosignale für Musik und Sprachkommunikation und Wechselstromversorgungen. Auch die Quantenphysik reduziert alle Teilchen auf Wellenformen, was bedeutet, dass komplexe Zahlen entscheidend zum Verständnis dieser seltsamen Welt beitragen, die uns moderne Computer, Glasfaseroptik, GPS und MRT-Bildgebung ermöglicht hat, um nur einige Beispiele zu nennen. Gott sei Dank haben die Mathematiker von vor 500 Jahren bis heute beschlossen, dass es sich lohnt, imaginäre Zahlen zu erforschen.
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