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Abschnitt 4-1: Die Definition
Wie Sie wissen, ist es immer ein wenig unheimlich, wenn wir einen ganzen Abschnitt nur der Definition von etwas widmen. Laplace-Transformationen (oder einfach nur Transformationen) können beängstigend wirken, wenn wir uns zum ersten Mal mit ihnen beschäftigen. Wie wir jedoch sehen werden, sind sie nicht so schlimm, wie sie auf den ersten Blick erscheinen mögen.
Bevor wir mit der Definition der Laplace-Transformation beginnen, müssen wir eine andere Definition aus dem Weg räumen.
Eine Funktion heißt stückweise stetig auf einem Intervall, wenn das Intervall in eine endliche Anzahl von Teilintervallen zerlegt werden kann, auf denen die Funktion auf jedem offenen Teilintervall (d.h. dem Teilintervall ohne seine Endpunkte) stetig ist und einen endlichen Grenzwert an den Endpunkten jedes Teilintervalls hat. Nachfolgend eine Skizze einer stückweise stetigen Funktion.
Mit anderen Worten, eine stückweise stetige Funktion ist eine Funktion, die eine endliche Anzahl von Brüchen hat und nirgendwo ins Unendliche aufbläht.
Werfen wir nun einen Blick auf die Definition der Laplace-Transformation.
Definition
Angenommen, \(f(t)\) ist eine stückweise stetige Funktion. Die Laplace-Transformation von \(f(t)\) wird mit \(\mathcal{L}\left\{ {f\left( t \right)} \right\}\) und ist definiert als
\
Es gibt eine alternative Schreibweise für Laplace-Transformationen. Der Einfachheit halber werden wir Laplace-Transformationen oft als,
\
bezeichnen. Bei dieser alternativen Schreibweise ist zu beachten, dass die Transformation in Wirklichkeit eine Funktion einer neuen Variablen, \(s\), ist und dass alle \(t\)’s bei der Integration wegfallen.
Das Integral in der Definition der Transformation ist ein sogenanntes unechtes Integral, und es wäre wahrscheinlich am besten, sich daran zu erinnern, wie diese Art von Integralen funktioniert, bevor wir uns an die Berechnung einiger Transformationen machen.
Nun, da wir uns daran erinnern, wie man das macht, wollen wir einige Laplace-Transformationen berechnen. Wir beginnen mit der wahrscheinlich einfachsten zu berechnenden Laplace-Transformation.
Es gibt hier nicht wirklich viel zu tun, außer die Funktion \(f(t) = 1\) in \(\eqref{eq:eq1}\)
\
Nun, an dieser Stelle beachte, dass dies nichts anderes ist als das Integral im vorherigen Beispiel mit \(c = – s\). Daher müssen wir nur \(\eqref{eq:eq2}\) mit der entsprechenden Substitution wiederverwenden. Auf diese Weise erhalten wir,
\
Oder, mit einigen Vereinfachungen, haben wir,
\
Beachte, dass wir eine Einschränkung auf \(s\) machen mussten, um die Transformation tatsächlich zu berechnen. Alle Laplace-Transformationen haben Einschränkungen für \(s\). In diesem Stadium des Spiels neigen wir dazu, diese Einschränkung zu ignorieren, aber wir sollten niemals vergessen, dass es sie gibt.
Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel machen.
Gliedern Sie die Funktion in die Definition der Transformation ein und führen Sie eine kleine Vereinfachung durch.
\
Wir sehen wieder, dass wir \(\eqref{eq:eq2}\) verwenden können, sofern \(c = a – s\). Also, lassen Sie uns das tun.
\
Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel machen, das nicht auf eine Anwendung von \(\eqref{eq:eq2}\) hinausläuft.
Wie dieses Beispiel zeigt, ist die Berechnung von Laplace-Transformationen oft chaotisch.
Bevor wir zum nächsten Abschnitt übergehen, müssen wir eine kleine Randnotiz machen. Gelegentlich werden Sie folgendes als Definition der Laplace-Transformation sehen.
Beachten Sie die Änderung der unteren Grenze von Null zu negativ unendlich. In diesen Fällen wird fast immer angenommen, dass die Funktion \(f(t)\) tatsächlich wie folgt definiert ist,
\
Mit anderen Worten, es wird angenommen, dass die Funktion Null ist, wenn t<0. In diesem Fall entfällt die erste Hälfte des Integrals, da die Funktion Null ist, und wir kehren zu der in gegebenen Definition zurück. Normalerweise wird eine Heaviside-Funktion verwendet, um die Funktion für t<0 zu Null zu machen. Wir werden diese in einem späteren Abschnitt betrachten.