Matematicky nejjednodušším druhem příčné vlny je rovinná lineárně polarizovaná sinusovka. „Rovinná“ zde znamená, že směr šíření je neměnný a stejný v celém prostředí; „lineárně polarizovaná“ znamená, že i směr posunu je neměnný a stejný v celém prostředí; a velikost posunu je sinusovou funkcí pouze času a polohy podél směru šíření.
Pohyb takové vlny lze matematicky vyjádřit takto. Nechť d je směr šíření (vektor o jednotkové délce) a o libovolný vztažný bod v prostředí. Nechť u je směr kmitů (další vektor o jednotkové délce kolmý na d). Posunutí částice v libovolném bodě p prostředí a v libovolném čase t (sekundy) bude
S ( p , t ) = A u sin ( t – ( p – o ) ⋅ d v T + ϕ ). {\displaystyle S(p,t)=Au\sin {\left({\frac {t-(p-o)\cdot {\frac {d}{v}}}{T}}+\phi \right)}}}
kde A je amplituda nebo síla vlny, T je její perioda, v je rychlost šíření a φ je její fáze v bodě o. Všechny tyto parametry jsou reálná čísla. Symbol „-“ označuje vnitřní součin dvou vektorů.
Podle této rovnice se vlna šíří ve směru d a ke kmitům dochází tam a zpět podél směru u. Říká se, že vlna je lineárně polarizovaná ve směru u.
Pozorovatel, který se dívá na pevný bod p, uvidí, že se tam částice pohybuje jednoduchým harmonickým (sinusovým) pohybem s periodou T sekund, s maximálním posunem částice A v každém smyslu; to znamená s frekvencí f = 1/T plných kmitů každou sekundu. Snímek všech částic v pevném čase t ukáže stejné posunutí všech částic v každé rovině kolmé na d, přičemž posunutí v po sobě jdoucích rovinách tvoří sinusoidu, přičemž každý plný cyklus se podél d prodlouží o vlnovou délku λ = v T = v/f. Celý obrazec se pohybuje ve směru d rychlostí V.
Stejná rovnice popisuje rovinnou lineárně polarizovanou sinusovou světelnou vlnu s tím rozdílem, že „posunutí“ S(p, t) je elektrické pole v bodě p a čase t. (Magnetické pole bude popsáno stejnou rovnicí, ale se směrem „posunutí“, který je kolmý na d i u, a jinou amplitudou.)
Princip superpoziceUpravit
V homogenním pružném prostředí lze složité oscilace (kmitání materiálu nebo světelné toky) popsat jako superpozici mnoha jednoduchých sinusových vln, a to buď příčných (lineárně polarizovaných), nebo podélných.
Například kmitání houslové struny lze analyzovat jako součet mnoha příčných vln o různých frekvencích, které posouvají strunu buď nahoru, nebo dolů, nebo doleva doprava. Vlnění rybníka lze analyzovat jako kombinaci příčných a podélných vln (gravitačních vln), které se šíří společně.
Kruhová polarizacePravidelně
Pokud je prostředí lineární a umožňuje více nezávislých směrů posunu pro stejný směr pohybu d, můžeme zvolit dva vzájemně kolmé směry polarizace a libovolnou vlnu lineárně polarizovanou v libovolném jiném směru vyjádřit jako lineární kombinaci (směšování) těchto dvou vln.
Kombinací dvou vln se stejnou frekvencí, rychlostí a směrem pohybu, ale s různými fázemi a nezávislými směry posunu, získáme kruhově nebo elipticky polarizovanou vlnu. V takové vlně částice opisují kruhové nebo eliptické trajektorie, místo aby se pohybovaly tam a zpět.
Možná pomůže pochopení, když se vrátíme k výše zmíněnému myšlenkovému experimentu s napnutou strunou. Všimněte si, že vlny na struně můžete spustit také pohybem ruky doprava a doleva místo nahoru a dolů. To je důležitý bod. Existují dva nezávislé (ortogonální) směry, kterými se vlny mohou pohybovat (to platí pro jakékoliv dva směry v pravém úhlu, nahoru a dolů a doprava a doleva jsou zvoleny pro názornost). Jakékoli vlny spuštěné pohybem ruky po přímce jsou lineárně polarizované vlny.
Ale nyní si představte, že pohybujete rukou v kruhu. Váš pohyb spustí na struně spirálovou vlnu. Pohybujete rukou současně nahoru i dolů a ze strany na stranu. Maxima pohybu ze strany na stranu se vyskytují ve vzdálenosti čtvrtiny vlnové délky (neboli čtvrtiny cesty kolem kruhu, tj. 90 stupňů neboli π/2 radiánu) od maxim pohybu nahoru a dolů. V libovolném bodě podél struny bude posun struny opisovat stejnou kružnici jako vaše ruka, ale zpožděný o rychlost šíření vlny. Všimněte si také, že si můžete vybrat, zda se vaše ruka bude pohybovat po kružnici ve směru nebo proti směru hodinových ručiček. Tyto střídavé kruhové pohyby vytvářejí pravotočivé a levotočivé kruhově polarizované vlny.
V rozsahu, v jakém je váš kruh nedokonalý, bude pravidelný pohyb opisovat elipsu a vytvářet elipticky polarizované vlny. V krajním případě excentricity se vaše elipsa stane přímkou a bude produkovat lineární polarizaci podél hlavní osy elipsy. Eliptický pohyb lze vždy rozložit na dva ortogonální lineární pohyby s nestejnou amplitudou a 90 stupňů mimo fázi, přičemž kruhová polarizace je speciálním případem, kdy mají oba lineární pohyby stejnou amplitudu.
.